高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册单元过关卷——第三章圆锥曲线的方程B（有答案）

一、单选题
1．已知双曲线的左 右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是抛物线：的焦点，直线与抛物线相交于，两点，满足，记线段的中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的左、右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为3时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
7．已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．椭圆的左右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为坐标原点，抛物线的方程为，的焦点为，直线与交于，两点，且的中点到轴的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．的最大值为6
C．若，则直线的方程为
D．若，则面积的最小值为16
10．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
11．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为 D．的面积为4
12．已知双曲线C：，，为C的左、右焦点，则（ ）
A．双曲线和C的离心率相等
B．若P为C上一点，且，则的周长为
C．若直线与C没有公共点，则或
D．在C的左、右两支上分别存在点M，N使得
三、填空题
13．已知双曲线的左、右焦点分别为 ，点在双曲线上．若为直角三角形，且，则双曲线的离心率为 _______________________ ．
14．已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.
① 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
② 存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；
③ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；
④ 不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.
其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）
15．已知，则的最值为_________.
16．已知椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为___________.
四、解答题
17．已知，是其左右焦点，，直线过点交于两点，在轴上方，且 在线段上，
(1)若是上顶点，，求；
(2)若，且原点到直线的距离为，求直线；
(3)证明：对于任意 ，使得的直线有且仅有一条.
18．已知抛物线C的顶点为原点，焦点F在x轴的正半轴上，直线交抛物线C于点A，交y轴于点B，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点，动直线l交抛物线C于M，N两点N两点均不与点P重合，且满足，求证：直线MN恒过定点，并求出这个定点的坐标．
19．已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
20．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.
21．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.
22．双曲线的中心在原点，焦点在轴上，且焦点到其渐近线的距离为2．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与其渐近线分别交于，（从左至右）两点．
①证明：；
②是否存在这样的直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由题意问题转化为双曲线的渐近线与双曲线有公共点即可，据此可得两曲线渐近线斜率间的关系，进而求出离心率范围.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
,
点P在双曲线上，
双曲线的渐近线方程为，
因为与双曲线相交，
所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，
则，解得，
故该双曲线离心率的取值范围是，
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键在于由题意转化为已知双曲线的渐近线与有交点，再根据双曲线渐近线判断直线与双曲线的的位置关系，建立不等式即可求出离心率，要掌握根据直线斜率与渐进线斜率的大小关系判断直线与双曲线的交点个数问题.
2．C
【分析】设，过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，进而得，再结合余弦定理得，进而根据基本不等式求解得.
【详解】解：设，
过点，分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
则，
因为点为线段的中点，
所以根据梯形中位线定理得点到抛物线的准线的距离为，
因为，
所以在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故.
所以的最大值为.
故选：C
【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设，进而结合抛物线的定于与余弦定理得， ，再求最值.
3．A
【解析】由双曲线定义得到，再利用焦点到渐近线的距离为求得设出渐近线方程求得的中点坐标代入双曲线方程联解求得的解.
【详解】解：，
，
又，，
双曲线的渐近线方程为：，
即，
焦点到渐近线的距离为，
即的最小值为b，
即，
不妨设直线OQ为：，
，
点，，的中点为，
将其代入双曲线C的方程，得：，
即，
解得：
又，，
，
故双曲线C的方程为．
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用双曲线定义及焦点到渐近线的距离为.
4．A
【分析】由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的横坐标，进而得到纵坐标，设出直线AB，代入抛物线方程利用根与系数的关系求出|y1-y2|，进而求出面积.
【详解】抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，
故选：A．
5．D
【分析】如图根据题意可得，在中利用余弦定理可得，再根据的范围，从而求得的范围.
【详解】
如图所示，由已知可知是的角平分线，
且，延长交于，
易知，
由，
所以，
又，，
所以，
在中，
由的斜率可无限靠近渐近线的斜率，所以，
所以，
解得.
故选：D
6．B
【分析】先求出抛物线的焦点，根据抛物线的方程设，则，，再由，可求得的值，即可得答案.
【详解】解：抛物线的准线方程为．
方程可化为．
由题意，知圆心到准线的距离，解得，
所以抛物线的方程为，焦点为．
设，则，，
所以，解得，
所以点的坐标为或．
故选B．
7．D
【分析】设，则，设直线l方程为，，，由得①，联立可得，由点P的任意性知，即可求得椭圆方程.
【详解】由长轴长为4得，解得，
设，直线l方程为，，，
则，，
由得，，即，
所以①，
又P在椭圆上，所以，即，
代入①式得，即，
因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与无关，
所以，解得，
所以所求椭圆方程为．
故选：D．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
8．A
【分析】根据向量运算和椭圆的定义可得关于的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项.
【详解】设，
因为，
所以，所以，
因为，所以，所以，
设中点为H，则，，，
代入数据并整理得：，
等式两边同除以得：，解得：或(舍).
故选：A.
【点睛】方法点睛：求椭圆离心率或其范围的方法
（1）根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．
（2）由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要注意椭圆本身所含的一些范围的应用，如椭圆上的点的横坐标等．
9．BCD
【分析】直接求出准线方程即可判断A选项；由以及抛物线的定义结合即可判断B选项；设出直线的方程为，联立抛物线，由解出点坐标，即可判断C选项；由求得直线恒过点结合即可求出面积最小值，即可判断D选项.
【详解】
由题意知的标准方程为，故的准线方程为， A错误；
设的中点为，分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，
因为到轴的距离为2，所以.
由抛物线的定义知，，所以.
因为，所以，所以B正确；
由得直线过点，直线的斜率存在，
设直线的方程为，联立方程得化简得，
则.由于，所以，得，
得，所以，
所以，直线的方程为，故C正确；
设，，由，得，又
所以，由题意知，所以.
又，故直线的方程为.
由于，所以，
则直线恒过点，所以，
所以面积的是小值为16，故D正确.
故选：BCD.
10．BCD
【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可．
【详解】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，
即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”
故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，
其方程是，故A错误
点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，
即两者是没有交会的轨迹，故B正确
要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，
把代入抛物线，
消去y并整理得
因为，无解，
所以不是“最远距离直线”，故C正确；
把代入抛物线，
消去y并整理得，
因为，有解，
所以是“最远距离直线”，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题．
11．AC
【解析】A．根据抛物线性质，结合角度之间的关系，求解出的度数；B．利用抛物线的焦半径结合，判断为等腰直角三角形的可能性；C．根据，设出直线方程完成直线斜率的求解；D．取直线的方程，联立抛物线方程求解出的值，根据求解出三角形面积.
【详解】过点向准线作垂线，垂足为，，设，
如下图所示：
A．因为，所以，
又因为，所以，所以平分，
同理可知平分，所以，故结论正确；
B．假设为等腰直角三角形，所以，
所以四点共圆且圆的半径为，
又因为，所以，
所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；
C．设直线的方程为，所以，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；
D．取，由上可知，所以，
所以，故结论错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质的综合应用，对于图形分析和计算能力要求较高，难度较难.抛物线焦点弦的性质的另一种表示形式：过抛物线焦点的直线的倾斜角为，焦点弦与抛物线的交点为(在轴的上方，在轴的下方)，此时，.
12．BC
【分析】求得双曲线和C的离心率判断选项A；求得的周长判断选项B；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C；求解满足题意条件的直线MN判断选项D.
【详解】选项A：双曲线C：的离心率
双曲线的离心率
则双曲线和C的离心率不一定相等.判断错误；
选项B：P为C：上一点，且
则有，整理得
则的周长为.判断正确；
选项C：由，可得
由题意可知，方程无解
当时，方程有解；
当时，则有，解之得或
故若直线与C没有公共点，则或.判断正确；
选项D：根据题意，过双曲线C的左焦点的直线方程可设为
令，由，可得
由，可得
则有，则有，
整理得，显然不成立.
当过双曲线C的左焦点的直线为水平直线时，方程为
则，，即.
综上可知，不存在分别在C的左、右两支上M，N使得.判断错误.
故选：BC
13．或
【分析】设点在双曲线的右支上，由为直角三角形，可分类讨论或，由，设长度，再结合结合勾股定理，得到关系，求出离心率.
【详解】根据双曲线的对称性，设点在双曲线的右支上
由为直角三角形，可知或
（1）若，由，设
由勾股定理知：，又，即
（2）若，由，设
由勾股定理知：，
又，即
综上可知，双曲线的离心率为：或
故答案为：或
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了双曲线的离心率的求法，双曲线的定义，通过已知条件找到几何关系是解题的关键，考查学生的分类讨论思想与计算能力，属于中档题.
14．②④
【分析】由题意首先求得点P的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.
【详解】设点P的坐标为：P（x，y），
依题意，有：，
整理，得：，
对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，
椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；
对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，
椭圆方程为：，则，解得：，符合；
对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；
对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，
不可能成为焦点在y轴上的双曲线，
所以，不存在满足题意的实数a，正确.
所以，正确命题的序号是②④.
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．最大值为，最小值为.
【分析】由，可知点的轨迹表示以定点，的距离之和为定长20的椭圆，进而结合点到直线的距离得到答案.
【详解】满足题设的点的轨迹是定点，的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在、长半轴a满足，即.线段长为，即，所以椭圆的短半轴长.又椭圆长轴所在直线方程为.如图可知，使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过.
即，解得.
椭圆上任意一点均满足.
由，得的最大值为，最小值为.
故答案为：最大值为，最小值为.
16．
【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据求得的最小值.
【详解】如图，
由为椭圆上任意一点，则
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，，则，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】思路点睛；本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，主要根据椭圆的定义将目标等价转化为能够通过数形结合解题的类型，考查学生的转化与化归思想，属于较难题.
17．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆方程确定，以及，根据，即可求得答案;
（2）设，利用结合向量的坐标运算，求得坐标，再利用原点到直线的距离为，即可求得直线方程；
（3）设直线的斜率为，取中点，利用点差法求出k与直线OC的斜率之间的关系，即可证明结论.
（1）
由题意知： ,，因为，
因为，所以，
所以；
（2）
设，其中，
因为，，
所以，
所以，（舍去），所以，
故，则直线方程可以设为，
又因为到直线的距离为，
所以，
所以，得或，
当时，直线方程为，此时（舍），
所以直线方程为.
（3）
设，，设直线的斜率为，连接，，取中点，
连接，可知为梯形的中位线，
因为，令.
由点差法得，得，
化简得，即，
故当确定时，也就只有唯一与对应，
故对任意时，满足条件的直线只有一条.
18．(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）由抛物线的简单几何性质得标准方程；
（2）由直线与抛物线联立方程组，由根与系数的关系以及直线的斜率得结论．
（1）
设抛物线C的方程为，设，
由抛物线定义，得，
又，即，
．
将点代入抛物线方程，解得．
抛物线C的方程为．
（2）
显然直线l与x轴不平行，设直线l的方程为，
联立消去x，
得．
设，，
直线l与拋物线交于两点，
，，，
，
．
由，得．
，N是拋物线上异于P点的不同两点，
，，，，．
又，
，
，
即，
即．
将代入得，，
即．
代入直线方程，
得．
直线MN恒过定点．
19．(1)
(2)1，
【分析】（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；
（2）由（1）知和到直线的距离，利用三角形面积公式求得面积，可求得S的最小值和直线的方程.
(1)
设，，，
则以A为切点的切线为，整理得：，
同理：以为切点的切线为：，
联立方程组：，解得，
设直线的方程为：，
联立方程组，整理得：，
恒成立，
由韦达定理得：，，故，
所以点的轨迹方程为；
(2)
解：由（1）知：，
到直线的距离为：，
∴，
∴时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.
20．（1）；（2）见解析.
【分析】（1）分过点的直线斜率存在和不存在两种情况，设过点的直线方程为，，联立，求得两根只和，两根之积，再根据半焦距公式几块求得p，从而得出答案；
（2）不妨设点P在第一象限，则，设直线PQ的方程为，，求得点G的坐标，根据，可求得点E的坐标，从而可求的PE的斜率，联立，求得点Q的坐标，从而可得直线l的方程，联立消元，利用根的判别式即可得证.
【详解】（1）解：设过点的直线方程为，，
联立，得，
则，
所以，
，
因为，
所以，
化简得，所以，
当过点的直线斜率不存在时，则，
故，
又因为，
则，所以，
综上所述，，
所以；
（2）证明：不妨设点P在第一象限，
则，
设直线PQ的方程为，，
联立，消元整理得，
则，即故，即，
当时，，则，
又因，且点介于点点之间，则为的中点，
所以，
则直线的斜率为，
因为直线平行直线，
所以直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
联立，消元整理得，
，
所以直线l与抛物线只有一个交点，
有直线l斜率不为0，
所以是抛物线的切线.
21．（1）；（2）.
【分析】（1）利用，再代入，联立即得解；
（2）设l的方程为：，，，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解
【详解】（1）由已知可得，
∴，解得①
又∵点在E上，
∴②
由① ②可得，.
∴双曲线E的方程为.
（2）过点的直线l斜率显然存在，
设l的方程为：，，，
将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，
依题意，且，
所以且，
因此，可得，.
∴
.
22．（1）；（2）①见详解；②.
【分析】（1）根据双曲线的基本量的运算，结合距离公式即可得解；
（2）①若要证明则需求得各点坐标利用距离公式来证，可设直线l方程为y＝kx+2，和椭圆方程联立利用韦达定理求得A，B两点间的相关关系，再分别和渐近线联立求得M、N两点坐标即可得证；对②进行转化可得，化简求值即可得解.
【详解】（1）因为双曲线C的渐近线为y＝±2x，
由双曲线的焦点在x轴上时，则双曲线，
渐近线的方程为，焦点F（±c，0），
所以解得a＝1，b＝2，
所以双曲线的方程为；
（2）①由（1）知双曲线的方程为，
其渐近线的方程为y＝±2x，设直线l：y＝kx+2，
因为直线l交C双曲线的左右两支分别于A，B，所以﹣2＜k＜2，
联立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
所以x1+x2＝，x1x2＝，
联立，解得x＝，y＝，则M（，），
联立，解得x＝，y＝，则N（，），
所以|AM|＝，|BM|＝，
所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）[（x1﹣）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（﹣x2﹣）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（﹣﹣x2）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（+x2）2﹣（x2+）2]＝0，
所以|AM|＝|BN|．
②由共线，可得，
由①可得，
解得，所以符合题意，
所以直线的方程为.
答案第1页，共2页
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