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专题15：分式方程
一、单选题
1．若数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．2
【答案】D
【分析】解不等式组，根据题意确定a的范围；解出分式方程，根据题意确定a的范围，根据题意计算即可．
【详解】解：，
解不等式①得：y＞﹣8，
解不等式②得：y≤a，
∴原不等式组的解集为：﹣8＜y≤a，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a≥﹣5，
，
去分母得∶1﹣x﹣a＝x﹣3，
解得：x，
∵分式方程有非负整数解，
∴x≥0（x为整数）且x≠3，
∴为非负整数，且3，
∴a≤4且a≠﹣2，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣4，0，2，4，
∴符合条件的所有整数a的和是：2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
2．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．10 B．19 C．16 D．8
【答案】B
【分析】解不等式组可得，解分式方程可得，且，由此可求整数a的值．
【详解】解： ，
由①得，x＞7，
由②得，，
∵不等式组的解集为x＞7，
∴，
∴a≤9，
，
两边同乘以（y－1）得，y+2a﹣3y+8＝2y﹣2，
整理得，﹣4y＝﹣10﹣2a，
∴，
∵方程的解是非负整数，
∴a+5是2的倍数，且，
∴a≠﹣3，
∴a的取值为﹣5，﹣1，1，3，5，7，9
∴所有满足条件的整数a的值之和是19，
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
3．已知关于x的方式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为分式方程有解且是非负数，所以不会产生增根，即，然后解的分式方程的根且，化简即可出结果．
【详解】解：，
方程两边同乘以得
解得且
且
故选：C．
【点睛】本题考查了根据含参数的分式方程解的范围来求参数范围，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，注意增根的检验是易错点．
4．下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决．
【详解】①是分式方程，故正确；
②时，，即分母为0，故不是分式方程的解 ，错误；
③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘，故正确；
④解分式方程时不一定会出现增根，错误．
所以正确的有2个
故选：B
【点睛】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识．
5．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜6 B．a＞﹣6 C．a＞﹣6且a≠﹣4 D．a＜6且a≠﹣4
【答案】C
【分析】解分式方程，用a表示x，再根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式组，解出即可．
【详解】解：原分式方程可化为：，
去分母，得x+2﹣2x+4＝﹣a，
解得x＝a+6，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴，
解得：a＞﹣6且a≠﹣4．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式组的步骤，根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式组是解题关键，注意分式有意义的条件．
6．关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【分析】先化分式方程为整式方程，令分母x-1=0，代入整式方程计算m的值．
【详解】因为，
所以，
因为x-1=0，
所以m-2=0，
解得m=2,
故选C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，熟练掌握增根的计算问题是解题的关键．
7．在创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主要干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需要的时间与原计划植45棵所需要的时间相同，则现在平均每天植树( )
A．20棵 B．15棵 C．10棵 D．25棵
【答案】A
【分析】设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树(x-5)棵，根据工作时间=总工作量÷工作效率，结合现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树(x-5)棵，
根据题意得：，
解得x=20，
经检验x=20是原方程的解，且符合题意，
故现在平均每天植树20棵，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，列出方程是解决本题的关键．
8．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
【答案】B
【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为x≥6，列出不等式，求出a的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得a的范围；检验分式方程，列出不等式，求得a的范围；综上所述，得到a的范围，最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，求和即可．
【详解】解：
解不等式①得：x≥6，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为x≥6，
∴a＜7；
分式方程两边都乘（y-1）得：y+2a-3y+8=2（y-1），
解得：，
∵方程的解是正整数，
∴a＞-5；
∵y-1≠0，
∴a≠-3，
∴-5＜a＜7，且a≠-3，
则所有满足条件的整数a的值是：-1，1，3，5，其和为8，
故选B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，注意解分式方程一定要检验．
9．从，，，，这五个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于，的二元一次方程组有解，且使关于的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的的值之和是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别解出二元一次方程组，分式方程，根据题意得到满足条件的m的值，计算即可．
【详解】解：解方程组，
解得：，
当方程组有解时，，
解分式方程，得，
∵关于的分式方程有正数解，
∴，
解得，，
当，即时，分式方程无解，
∴，
∴或，
∴满足条件的的值之和为：．
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解法、二 元一次方程组的解法， 正确解出分式方程、二元一次方程组是解题的关键．
10．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把m看作已知量，先解一元一次不等式组，根据已知的解集确定m的取值范围，然后解分式方程，进一步确定m的取值范围，然后在m的取值范围内列举出所有符合条件的整数m，然后求和．
【详解】解： ，
由①得，x> m，
由②得，x>0，
∵这个不等式组的解集为x>0，
∴m ≤0，
∴分式方程有解，
∴y ≠2,
解分式方程，，
(4+ m ) y =6，
∴m ≠﹣4，，
∵分式方程的解为正整数，
∴y >0，且 y≠2, y 是正整数，
，，是正整数，
由得m＞﹣4，
由得m ≠﹣1，
∴-4＜m≤0且 m ≠﹣1，
当m =﹣3时，，是正整数，符合题意，
当 m =﹣2时，，是正整数，符合题意，
当 m =0时，，不是正整数，不符合题意，舍去，
综上所得，符合条件的整数m为﹣3和﹣2，
∴符合条件的所有整数 m 的和为﹣5，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组和解分式方程，其中一元一次不等式组和分式方程中都含有字母，把字母看成已知数来进行求解是解决本题的关键，注意：分式方程中有解时最简公分母不为0，用列举的方法把所有符合条件的 m 找到．
二、填空题
11．若关于x的方程﹣1＝无解，则a的值为______．
【答案】2或3##3或2
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，据此将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【详解】解：原方程去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
∵该方程无解，
∴或，
∴或．
故答案为：2或3．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的条件，解题的关键是理解分式方程无解的条件并能够根据题意得出关于a的方程．
12．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_________
【答案】＞2且≠3
【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程得到x=m-2，再利用解为正数且x-1≠0得到m-2＞0且m-2≠1，然后解不等式确定m的范围．
【详解】解：去分母得m-3=x-1，
解得x=m-2，
∵x＞0且x≠1，
即m-2＞0且m-2≠1，
∴m＞2且m≠3．
故答案为：m＞2且m≠3．
【点睛】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．也考查了解一元一次不等式．
13．关于的方程有正数解，则取值范围是______ ．
【答案】且
【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据这个方程有正数解和建立不等式，由此即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
关于的方程有正数解，
，且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键，需注意的是，分式方程有正数解隐含方程不能有增根．
14．已知关于的分式方程无解，则的值为_________．
【答案】-8，0或-4
【分析】分式方程先去分母，化简得（4+m）x=8，根据分式方程无解，分下面两种情况：一是方程有增根，二是方程中x的系数为0，分别求解即可．
【详解】解：去分母，得，
化简得（4+m）x=8，
∵方程无解，
∴x=2或-2，
∴当x=-2时，得-2（4+m）=8，
解得m=-8，
当x=2时，得2（m+4）=8，
解得m=0，
当4+m=0时，m=-4，
∴满足条件的m的值为-8，0或-4．
故答案为：-8，0或-4．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的含义是解决本题的关键．
15．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是____．
【答案】且
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m的取值范围．
【详解】解：去分母得，m+3＝2x﹣1，
∴x＝，
∵方程的解是非负数，
∴m+4≥0即m≥﹣4，
又因为2x﹣1≠0，
∴x≠，
∴≠，
∴m≠-3，
则m的取值范围是m≥﹣4且m≠-3．
故答案为：m≥﹣4且m≠-3．
【点睛】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解即可．
16．关于x的分式方程＋2＝的解为正实数，则k的取值范围是______．
【答案】k＞-2且k≠2
【分析】去分母把分式方程化为整式方程：，解得：，由x＞0且x≠2，得出且，解不等式组即可得出答案．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵x＞0且x≠2，
∴且，
解得：k＞-2且k≠2，
故答案为：k＞-2且k≠2．
【点睛】本题考查了分式方程的解及解不等式，掌握解分式方程的步骤是解决问题的关键．
17．已知，，，…，若的值为2022，则的值为______．
【答案】
【分析】把a1代入a2中计算得到结果，把a2代入a3中计算得到结果，依次类推得到一般性规律，根据题意确定出x的值即可．
【详解】解：把a1=x+1代入得；，
把代入得：，
把代入得：，
依次类推，结果以x+1，，循环，
∵2022÷3=674，
∴a2022==2022，
去分母得：x=2022（x+1），
去括号得：x=2022x+2022，
解得：．
经检验，是方程的解且符合题意，
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，解分式方程，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
18．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为__________．
【答案】－2
【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为x≥5，列出不等式求得a的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且y 2≠0列出不等式，求得a的范围；综上所述，求得a的范围．根据a为整数，求出a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
分式方程两边都乘以得：，
解得：，
∵分式方程有非负整数解，
∴，为整数，
∴，a为偶数，
∵分式要有意义，
∴，
∴a≠2，
综上所述， 2≤a＜3且a≠2且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的数有： 2，0，
∴符合条件的所有整数的和为 2＋0＝ 2．
故答案为： 2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，熟知相关计算方法是解题的关键，解分式方程时一定记得要检验．
19．已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】把看作常数，去分母得到一元一次方程，求出的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为列不等式并求解即可．
【详解】解：由得，
关于x的方程的解为负数，
，即，解得，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
20．若关于x的方程有增根，则a的值是______．
【答案】5
【分析】先将分式方程转化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母为0的未知数的值，然后代入计算即可求得a的值．
【详解】解：将 两边乘以得：
∵分式方程有增根，
∴，
解得，
∴将代入，
解得．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解题关键是掌握增根的求解方法．
三、解答题
21．淇淇同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键再输入“b”，就可以得到运算．
(1)按此程序运算3★（－2）；
(2)若淇淇输入数“－1”加“★”键再输入“x”后，电脑输出的数为1，求x的值；
(3)嘉嘉同学在运用淇淇设置的这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行．”你能说出嘉嘉在什么地方出错了吗？
【答案】(1)
(2)
(3)错误出现在“★”键再输入“0”
【分析】（1）根据定义进行计算即可求解；
（2）根据题意列出方程，解分式方程求解即可；
（3）根分式有意义的条件分析即可求解．
(1)
解：∵，
∴3★（－2）
(2)
根据题意得
即
解得
经检验是方程的解
(3)
输入数“a”加“★”键再输入“b”，就可以得到运算．
错误出现在“★”键再输入“0”，根据分式有意义的条件可知，分母不为0，
当操作无法进行时，出现了分母为0的情形，
错误出现在“★”键再输入“0”
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，分式方程，分式有意义的条件，根据新定义列出式子或方程是解题的关键．
22．为落实“精准扶贫惠民政策”，某村计划将自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，恰好在规定时间内完成．若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
【答案】问题：甲单独施工需要多少天？甲单独施工需要30天．
【分析】问题：甲单独施工需要多少天？设甲单独施工需要x天，根据“如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天”列分式方程，求解即可．
【详解】解：问题：甲单独施工需要多少天？
设甲单独施工需要x天，
根据题意，得，
解得x=30，
经检验，x=30是原方程的根，且符合题意，
答：甲单独施工需要30天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，提出问题并根据题意建立方程是解题的关键．
23．“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知用600元购买《论语》的数量和用900元购买《孟子》的数量相同，《论语》的单价比《孟子》的单价少10元．求《论语》和《孟子》这两种书的单价．
【答案】《论语》单价是20元，《孟子》的单价是30元
【分析】根据题意可设《孟子》这种书的单价为x元，则《论语》这种书的单价为(x-10)元，已知已知用900元购买《孟子》的数量和用600元购买《论语》的数量相同，所以可得等量关系式：，代入数据计算即可．
【详解】解：设《孟子》这种书的单价为x元，则《论语》这种书的单价为(x-10)元，
根据题意，得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：《论语》和《孟子》这两种书的单价分别为20元和30元．
【点睛】本题是关于分式方程的实际问题，解题的关键在于能从题目中找到等量关系式，并能用合适的未知数来表示各个量，（注意：解得到的答案需要检验）．
24．宜兴紧靠太湖，所产百合有“太湖人参”之美誉，今年百合上市后，“美好”超市用12000元以相同的进价购进一定质量的百合，该超市销售方案是：将百合按分类包装销售，其中挑出优质的百合400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的百合以高于进价10%销售．若该超市将百合全部售完，获利8400元（其它成本不计）．问：百合进价为每千克多少元
【答案】百合的进价为20元每千克
【分析】设百合的进价为每千克x元，则进货的总重量为千克，则优质百合的售价为2x元每千克，普通百合的售价则为，根据题意列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】设百合的进价为每千克x元，则进货的总重量为千克，则优质百合的售价为2x元每千克，普通百合的售价则为，
根据题意，有：，
解：x=20，
经检验，x=20是原方程的根，
即百合的进价为20元每千克，
答：百合的进价为20元每千克．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，明确题意是解答本题的关键．注意，解分式方程，要对所得的根进行检验．
25．已知关于x的分式方程
(1)已知m=4，求方程的解；
(2)若该分式方程无解，试求m的值．
【答案】(1)x＝ 1
(2)m＝ 1或 6或．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将m＝2代入计算即可求出x的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求解得到，由分式方程无解，得到m＋1＝0或（x＋2）（x 1）＝0，解m＋1＝0可求得一个m的值，将x＝ 2或x＝1代入整式方程即可求出另外两个m的值．
（1）
解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x 1，
整理得：（m＋1）x＝ 5．
当m＝4时，（4＋1）x＝ 5，
解得：x＝ 1
经检验：x＝ 1是原方程的解．
（2）
解：分式方程去分母得：2（x＋2）＋mx＝x 1，
整理得：（m＋1）x＝ 5．
∴
∵分式方程无解，
∴m＋1＝0或（x＋2）（x 1）＝0，
当m＋1＝0时，m＝ 1；
当（x＋2）（x 1）＝0时，x＝ 2或x＝1．
当x＝ 2时m＝；
当x＝1时m＝ 6，
∴m＝ 1或 6或时该分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
26．某学校计划从商店购进A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品多花10元，并且花费600元购买A商品和花费200元购买B商品的数量相等．
(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
(2)根据学校实际情况，该学校需要购买B种商品的个数是购买A种商品个数的3倍，还多11个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买A种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买A，B两种商品的总费用不超过1000元，那么该学校最多可购买多少个A种商品？
【答案】(1)购买一个商品需要15元，一个商品5元．
(2)该学校最多可购买35个种商品．
【分析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量总价单价结合花费600元购买商品和花费200元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该学校可购买个种商品，则可购买个种商品，根据总价单价数量结合总费用不超过1000元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
（1）
解：设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个商品需要15元，一个商品5元．
（2）
解：设该学校可购买个种商品，则可购买个种商品，
依题意，得：，
解得：．
答：该学校最多可购买35个种商品．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
27．我校对校园卫生进行清理，某班有13名同学参加这次卫生大扫除，按学校要求，需要完成总面积为80的三项清理任务．
三项任务的面积比例如图1， 每人每分钟完成各项的工作量如图2．
(1)擦玻璃、擦课桌椅、扫地拖地的面积分别是 ， ， ；
(2)如果人每分钟擦玻璃面积，那么关于的函数关系式是 ；
(3)完成扫地拖地的任务后，把13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，怎样分配才能同时完成任务，请写出解题过程．
【答案】(1)16，20，44；
(2)y=x
(3)擦玻璃的8人，擦课桌椅的有5人
【分析】（1）根据某部分的面积=总面积×其占的百分比，即可得出答案；
（2）每人每分钟擦玻璃的面积为，x人每分钟擦玻璃面积y，则每人每分钟擦玻璃的面积为得y=x；
（3）设擦玻璃的人数为x人，则擦课桌的人数为13-x人，根据擦玻璃所用的时间为16÷x，擦课桌用的时间为20÷[0.5×（13-x）]，最后根据擦玻璃的与擦课桌椅的所用的时间相等，即可列方程求解．
（1）
解：擦玻璃的面积：80×20%=16（）；
擦课桌椅的面积：80×25%=20（）；
扫地拖地的面积：80×55%=44（）；
故答案为：16，20，44；
（2）
由题意可得，每人每分钟擦玻璃的面积为
得y=x；
故答案为：y=x
（3）
设擦玻璃的人数为x人，则擦课桌的人数为（13-x）人，根据题意得：
解得x=8，
经检验x=8是原方程的解，
则擦课桌椅的有：13-8=5（人），
答：擦玻璃的8人，擦课桌椅的有5人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，分式方程的应用，列函数关系式，掌握以上知识是解题的关键．
28．观察下面的变形规律：；；；…，解答下面的问题：
(1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想______．
(2)说明你猜想的正确性．
(3)计算：______．
(4)解关于n的分式方程．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据题干的变形规律猜想填空即可；
（2）将通分化简即可．
（3）根据将原式变形即可求解；
（4）根据将分式方程整理解答即可．
（1）
故答案为：；
（2）
∵，
∴成立；
（3）
．
故答案为：；
（4）
解：
解得：
经检验是原方程的解．
∴关于n的分式方程的解为．
【点睛】本题考查分式的加减混合运算，解分式方程．熟练掌握运算法则是解题关键．
29．列方程解应用题：
某商店用2000元购进一批小学生书包，出售后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果购买第二批书包用了6600元．
(1)请求出第一批每只书包的进价；
(2)该商店第一批和第二批分别购进了多少只书包；
(3)若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【答案】(1)20元
(2)第一批购进100只，第二批购进300只
(3)3400元
【分析】（1）设第一批书包的单价为x元，然后可得到第二批书包的单价，最后依据第二所购书包的数量是第一批购进数量的3倍列方程求解即可；
（2）依据书包的数量=总价÷单价求解即可；
（3）先求得全部卖出后的总售价，然后用总售价-总进价可求得获得的利润．
（1）
解：设第一批书包的单价为x元．
根据题意得：，
解得：x=20．
经检验：x=20是分式方程的解．
答：第一批每只书包的进价是20元．
（2）
第一批进货的数量=2000÷20=100个；
第二批的进货的数量=3×100=300个．
（3）
30×（100+300）-2000-6600=3400元．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用，根据第二所购书包的数量是第一批购进数量的3倍列出关于x的方程是解题的关键．
30．我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以．
(1)【探索规律】f（20）＝ ；f（36）＝ ；
(2)若x是正整数，猜想f（x2＋2x）＝ ；
(3)【应用规律】若f（）＝，其中x是正整数，求x的值；
(4)若，其中x是正整数，所有x的值的和为 ．
【答案】(1)，1
(2)
(3)x的值为4042
(4)28
【分析】（1）理解题意，根据“最佳分解”的定义进行计算即可；
（2）由结合“最佳分解”的定义即可得出答案；
（3）结合（2）可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可；
（4）根据最佳分解的定义，建立方程求解．
（1）
解：∵20=1×20=2×10=4×5，
又∵20-1>10-2>5-4，，
∴；
∵36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，
又∵36-1>18-2>12-3>9-4>6-6，
∴．
故答案为：，1；
（2）
解：∵，．
∴，
故答案为：；
（3）
由（2）可知
去分母，得：
解得：
经检验符合题意．
故x的值为4042；
（4）
解：由，可设( t为正整数)，即，
∴，
有以下几种情况：
①当t=x 6时，，解得x=7；
②当t=x 5时，，解得，不符合题意，舍；
③当t=x-4时，，解得x=8；
④当t=x-3时，，解得，不符合题意，舍；
⑤当t=x-2时，，解得x=13；
⑥当t=x-1时，，解得，不符合题意，舍；
⑦当t=x时，，无解；
⑧当t=x+1时，，解得，不符合题意，舍；
⑨当t=x+2时，，解得，不符合题意，舍；
⑩当t=x+3时，，解得，不符合题意，舍；
当t=x+4时，，解得，不符合题意，舍；
当t=x+5时，，解得，不符合题意，舍；
当t=x+6时，，解得，不符合题意，舍；
综上所述，符合题意的x的值为：7或8或13，
∴所有x的值的和为7+8+13=28．
故答案为：28．
【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，根据最佳分解，表示出f（k），建立方程是求解本题的关键．
31．阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程有两个解，分别为2，________．
(2)关于x的方程的两个解分别为2，_________．
(3)关于x的方程的两个解分别为，求的值．
【答案】(1)4．
(2)．
(3)．
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．
(1)
解：∵2×4=8，2+4=6，
∴方程的两个解分别为x1=2，x2=4．
故答案为：4．
(2)
解：方程变形得：，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为；
则x1=2，x2=；
故答案为：．
(3)
解：方程整理得： ，
得2x1=n1或2x1=n，
可得x1=，x2=，
则原式=．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
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专题15：分式方程
一、单选题
1．若数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．0 D．2
2．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．10 B．19 C．16 D．8
3．已知关于x的方式方程的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＜6 B．a＞﹣6 C．a＞﹣6且a≠﹣4 D．a＜6且a≠﹣4
6．关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
7．在创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主要干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需要的时间与原计划植45棵所需要的时间相同，则现在平均每天植树( )
A．20棵 B．15棵 C．10棵 D．25棵
8．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥6，且关于y的分式方程＝2的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5 B．8 C．12 D．15
9．从，，，，这五个数中，随机抽取一个数，记为，若使得关于，的二元一次方程组有解，且使关于的分式方程有正数解，那么这五个数中所有满足条件的的值之和是( )
A． B． C． D．
10．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若关于x的方程﹣1＝无解，则a的值为______．
12．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_________
13．关于的方程有正数解，则取值范围是______ ．
14．已知关于的分式方程无解，则的值为_________．
15．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是____．
16．关于x的分式方程＋2＝的解为正实数，则k的取值范围是______．
17．已知，，，…，若的值为2022，则的值为______．
18．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为__________．
19．已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是__________．
20．若关于x的方程有增根，则a的值是______．
三、解答题
21．淇淇同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“a”加“★”键再输入“b”，就可以得到运算．
(1)按此程序运算3★（－2）；
(2)若淇淇输入数“－1”加“★”键再输入“x”后，电脑输出的数为1，求x的值；
(3)嘉嘉同学在运用淇淇设置的这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行．”你能说出嘉嘉在什么地方出错了吗？
22．为落实“精准扶贫惠民政策”，某村计划将自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，恰好在规定时间内完成．若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
23．“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知用600元购买《论语》的数量和用900元购买《孟子》的数量相同，《论语》的单价比《孟子》的单价少10元．求《论语》和《孟子》这两种书的单价．
24．宜兴紧靠太湖，所产百合有“太湖人参”之美誉，今年百合上市后，“美好”超市用12000元以相同的进价购进一定质量的百合，该超市销售方案是：将百合按分类包装销售，其中挑出优质的百合400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的百合以高于进价10%销售．若该超市将百合全部售完，获利8400元（其它成本不计）．问：百合进价为每千克多少元
25．已知关于x的分式方程
(1)已知m=4，求方程的解；
(2)若该分式方程无解，试求m的值．
26．某学校计划从商店购进A，B两种商品，购买一个A商品比购买一个B商品多花10元，并且花费600元购买A商品和花费200元购买B商品的数量相等．
(1)求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；
(2)根据学校实际情况，该学校需要购买B种商品的个数是购买A种商品个数的3倍，还多11个，经与商店洽谈，商店决定在该学校购买A种商品时给予八折优惠，如果该学校本次购买A，B两种商品的总费用不超过1000元，那么该学校最多可购买多少个A种商品？
27．我校对校园卫生进行清理，某班有13名同学参加这次卫生大扫除，按学校要求，需要完成总面积为80的三项清理任务．
三项任务的面积比例如图1， 每人每分钟完成各项的工作量如图2．
(1)擦玻璃、擦课桌椅、扫地拖地的面积分别是 ， ， ；
(2)如果人每分钟擦玻璃面积，那么关于的函数关系式是 ；
(3)完成扫地拖地的任务后，把13人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅，怎样分配才能同时完成任务，请写出解题过程．
28．观察下面的变形规律：；；；…，解答下面的问题：
(1)若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想______．
(2)说明你猜想的正确性．
(3)计算：______．
(4)解关于n的分式方程．
29．列方程解应用题：
某商店用2000元购进一批小学生书包，出售后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了2元，结果购买第二批书包用了6600元．
(1)请求出第一批每只书包的进价；
(2)该商店第一批和第二批分别购进了多少只书包；
(3)若商店销售这两批书包时，每个售价都是30元，全部售出后，商店共盈利多少元？
30．我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以．
(1)【探索规律】f（20）＝ ；f（36）＝ ；
(2)若x是正整数，猜想f（x2＋2x）＝ ；
(3)【应用规律】若f（）＝，其中x是正整数，求x的值；
(4)若，其中x是正整数，所有x的值的和为 ．
31．阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程有两个解，分别为2，________．
(2)关于x的方程的两个解分别为2，_________．
(3)关于x的方程的两个解分别为，求的值．
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