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专题02：有三角形有关的角
一、单选题
1．如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的处，则∠AD等于（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
2．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则此三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
3．如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（ ）
A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3
C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3
4．如图，在三角形ABC中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④；⑤∠ADF=∠AFB．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点，使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法：①相等的角是对顶角；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两条平行线被第三条直线所截得的一组同旁内角的平分线互相垂直．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CEBD；②ABCD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E=140°；⑤∠QFM=20°．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤
8．如图，直线ABCD，射线EF分别交直线AB、CD于点G和点H，过点E作EM⊥AB于点M，若∠E＝43°，则∠EHD的度数为（ ）
A．137° B．133° C．127° D．103°
9．如图，，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．两块平面镜OM和ON如图放置，从点A处向平面镜ON射出一束平行于OM的光线，经过两次反射后（入射光线与平面镜的夹角始终与反射光线与平面镜的夹角相等），光线CD与平面镜ON垂直，则两平面镜的夹角的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．36°
11．如图所示，将一块含有60°角的直角三角尺放置在两条平行线上，若∠1=40°，则∠2等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
12．如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落则在内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
15．如图，，连接，，，且，下列结论：①若，则；②若与互补，则．则（ ）
A．仅①正确 B．仅②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确
二、填空题
16．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1＋∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①ABCD；②∠AEB＋∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠MAF＋∠NDA＝135°；⑤∠F＝135°，其中正确的有________（填写序号）
17．若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A＝80°，则∠B的度数为________．
18．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E、F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B＝∠DFB，∠G＝∠DEG，若，则∠BDE的度数为_____．
19．若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的4倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，D是边上一动点，当是“和谐三角形”时，的度数是_________．
20．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．
21．如图，已知△ABC中，于D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°，则∠DAE=_________度．
22．如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的平分线交于点P．下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB＋∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB＋∠PFD．其中正确的结论是______．
23．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；图②中，∠D＝90°，∠F＝45°．图③是该同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．要使F、C的连线与AB平行，此时∠CFE的度数为 _____．
24．有一张三角形纸片，已知，，点在边上，请在边上找一点，将纸片沿直线折叠，点落在点处，若与三角形纸片的边平行，则的度数为______．
25．若三角形满足一个角是另一个角的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是______度．
三、解答题
26．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．
(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
(2)如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ °；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，E为边AC上一点（不与点A，C重合），连接BE，在BE的延长线上取点D，连接DC．∠ABE的邻补角的角平分线和∠DCE的邻补角的角平分线交于点P．
(1)当∠D＝90°时，求证：
①∠ABE＝∠DCE；
②BP⊥CP；
(2)判断∠D与∠P的数量关系，并说明理由．
28．如图，四边形中，，，的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，的平分线交于点，与射线相交于点，．
①若点在线段上，求的度数；
②若点在的延长线上，直接写出的度数．
29．根据题意解答：
(1)如图1，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，，若∠ECA为度，求∠GFB的度数（用关于的代数式表示），并说明理由．
(2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，BA⊥地面AE，CD∥地面AE，求∠1＋∠2的度数，并说明理由．
(3)如图3，若∠3＝40°，∠5＝50°，∠7＝70°，则∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＝ 度．
30．如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．
(1)若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °；
(2)探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；
(3)若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．
(4)如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ．
31．已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC=α．
(1)如图1，若 ，
①∠ABO的度数是________；
②当∠BAD=∠ABD时，∠OAC的度数是______；
当∠BAD=∠BDA时，∠OAC的度数是______；
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
32．如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．
33．如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠AFE＝∠ACB．
(1)求证：∠3＝∠B；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
34．如图，BF平分外角，CF平分外角．试确定和的数量关系．
35．如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．
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专题02：有三角形有关的角
一、单选题
1．如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的处，则∠AD等于（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【答案】A
【分析】先求出，由折叠得，得出=．
【详解】∵，，
∴，
由折叠得，
∴=，
故选：A．
【点睛】此题考查三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
2．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则此三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．
【详解】解：∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，
解得x＝15°．
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
故三角形为锐角三角形．
故选：A．
【点睛】此题主要考查三角形的分类，解题的关键是求出三角形三个内角的度数．
3．如图，∠1，∠2，∠3，∠4满足的关系式是（ ）
A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3
C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形内角与外角的关系．根据外角的性质，可推出∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3，从而推出∠1+∠4=∠2-∠3
【详解】解：∵∠6是△ABC的外角，
∴∠1+∠4=∠6①，
又∵∠2是△CDF的外角，
∴∠6=∠2-∠3②，
由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3．
故选D．
【点睛】此题考查了三角形内角和外角，解题的关键是记住外角和定理．
4．如图，在三角形ABC中，，平分，，，以下四个结论：①；②；③；④；⑤∠ADF=∠AFB．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据平行线的性质证得AH⊥EF，判断①，结合角平分线的定义可得∠ABF＝∠EFB，判断②，根据等角的余角相等可得∠E＝∠ABE判断③，由AC与BF不一定垂直，判断④，根据已知条件，结合三角形的内角和定理不能判断，即可判断⑤．
【详解】解：∵AH⊥BC，EFBC，
∴AH⊥EF，故①正确；
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵EFBC，
∴∠EFB＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠EFB，故②正确；
∵BE⊥BF，而AC与BF不一定垂直，
∴BEAC不一定成立，故③错误；
∵BE⊥BF，
∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，
∴∠E＝∠ABE，故④正确．
由③可知BEAC不一定成立，
∵∠ADF=∠BDH
又∴∠BDH+∠DBH=90°
∴∠ADF+∠DBH=90°
又∵∠BAF不一定等于90°
∴∠ADF=∠AFB不一定成立，故⑤不一定正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及余角的性质，垂直的定义,三角形内角和定理等知识的运用，解题的关键是两直线平行，内错角相等．
5．如图，，，点是边上一点，连接交的延长线于点．点是边上一点，使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，∠D=∠ABC，可证明，则∠AEF=180°-∠FEG-∠GEH=180°-2∠GEH，在△AEF中，76°+2∠FEB+180°-2∠GEH=180°，故∠GEH-∠FEB=39°，即可等量代换求解．
【详解】解：∵∠FBE=∠FEB，∠AFE=∠FBE+∠FEB，
∴∠AFE=2∠FEB，
∵∠FEH的角平分线为EG，
∴∠GEH=∠FEG，
∵，
∴∠ABC+∠BAD=180°，而∠D=∠ABC，
∴∠D+∠BAD=180°，
∴，而∠DEH=104°，
∴∠CEH=∠FAE=76°，
∵∠AEF=180°-∠FEG-∠GEH=180°-2∠GEH，
∴76°+2∠FEB+180°-2∠GEH=180°，
∴∠GEH-∠FEB=38°，
∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=∠GEH-∠FEB=38°．
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，涉及到角平分线、外角定理，三角形的内角和定理的应用，本题关键是掌握有关定理、定义，题目难度较大．
6．下列说法：①相等的角是对顶角；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两条平行线被第三条直线所截得的一组同旁内角的平分线互相垂直．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据对顶角的性质，平行公理及其推论可判断①②③；如图，画出图形，根据平行线的性质和三角形内角和定理求出∠C＝90°可判断④．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法正确；
③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；
④如图，直线ADBE，AC和BC分别是一组同旁内角的平分线，
则∠DAB＋∠ABE＝180°，∠BAC＝∠DAB，∠ABC＝∠ABE，
∴∠BAC＋∠ABC＝（∠DAB＋∠ABE）＝90°，
∴∠C＝180°－（∠BAC＋∠ABC）＝90°，即AC⊥BC，
∴两条平行线被第三条直线所截得的一组同旁内角的平分线互相垂直，原说法正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角，平行线的性质，平行公理及其推论，三角形内角和定理；平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
7．如图，点E在CA延长线上，DE，AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点，Q为PC上一点，且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．下列结论：①CEBD；②ABCD；③FQ平分∠AFP；④∠B+∠E=140°；⑤∠QFM=20°．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤
【答案】A
【分析】①由∠BDE=∠AEF可得出CEBD，结论①正确；②由CEBD进而可得出∠B=∠EAF，结合∠B=∠C可得出∠EAF=∠C，根据“同位角相等，两直线平行”可得出ABCD，结论②正确；③由ABCD可得出∠AFQ=∠FQP，结合∠FQP=∠QFP可得出∠AFQ=∠QFP，即FQ平分∠AFP，结论③正确；④由ABCD可得出∠EFA=∠FDC，结合∠EFA比∠FDC的余角小10°可求出∠EFA的度数，再由∠B=∠EAF结合三角形内角和定理可求出∠B+∠E=140°，结论④正确；⑤根据角平分线的定义可得出∠MFP=∠EFA+∠AFP以及∠QFP=∠AFP，将其代入∠QFM=∠MFP-∠QFP可求出∠QFM的角度为定值20°，结论⑤正确．综上即可得出结论．
【详解】解：①∵∠BDE=∠AEF，
∴CEBD，结论①正确；
②∵CEBD，
∴∠B=∠EAF．
∵∠B=∠C，
∴∠EAF=∠C，
∴ABCD，结论②正确；
③∵ABCD，
∴∠AFQ=∠FQP．
∵∠FQP=∠QFP，
∴∠AFQ=∠QFP，
∴FQ平分∠AFP，结论③正确；
④∵ABCD，
∴∠EFA=∠FDC．
∵∠EFA比∠FDC的余角小10°，
∴∠EFA=40°．
∵∠B=∠EAF，∠EAF+∠E+∠EFA=180°，
∴∠B+∠E=180°-∠EFA=140°，结论④正确；
⑤∵FM为∠EFP的平分线，
∴∠MFP=∠EFP=∠EFA+∠AFP．
∵∠AFQ=∠QFP，
∴∠QFP=∠AFP，
∴∠QFM=∠MFP-∠QFP=∠EFA=20°，结论⑤正确．
综上所述：正确的结论有①②③④⑤．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理，逐一分析各条结论的正误是解题的关键．
8．如图，直线ABCD，射线EF分别交直线AB、CD于点G和点H，过点E作EM⊥AB于点M，若∠E＝43°，则∠EHD的度数为（ ）
A．137° B．133° C．127° D．103°
【答案】B
【分析】根据垂直定义、三角形的外角的性质求出∠EGB的度数，然后根据平行线性质即可求出∠EHD的度数．
【详解】解：∵EM⊥AB，
∴∠EMG=90°，
又∠E＝43°，
∴∠EGB=∠E+∠EMG=133°，
∵ABCD，
∴∠EHD=∠EGB=133°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，正确求出∠EGB的度数是解题的关键．
9．如图，，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则∠2的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，根据等腰三角板的特点可求出∠4，根据三角形内角和即可求出∠5，再根据平角的性质即可求出∠3，进而根据两直线平行同位角相等即可求出∠2．
【详解】设∠2的同位角为∠3，∠3的邻补角为∠5，三角板的一个锐角为∠4，如图，
∵直角三角板含一个45°的锐角，
∴该三角板为等腰三角形，
∴∠4=45°，
∵∠1=58°54′，
又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，
∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，
∵∠3+∠5=180°，
∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，
∵，
∴∠2=∠3，
∴∠2=103°54′，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键．
10．两块平面镜OM和ON如图放置，从点A处向平面镜ON射出一束平行于OM的光线，经过两次反射后（入射光线与平面镜的夹角始终与反射光线与平面镜的夹角相等），光线CD与平面镜ON垂直，则两平面镜的夹角的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．36°
【答案】C
【分析】设∠MON=x，根据平行线的性质可得∠ABN=x，根据题意可得∠ABN=∠OBC=x，∠DCO=∠BCM，再利用三角形的外角可得∠DCO=2x，然后利用垂直定义可得∠ODC=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【详解】解：设∠MON=x，
∵ABOM，
∴∠ABN=∠MON=x，
由题意得：∠ABN=∠OBC=x，
∵∠BCM是△OBC的一个外角，
∴∠BCM=∠MON+∠OBC=2x，
由题意得：∠DCO=∠BCM=2x，
∵CD⊥ON，
∴∠ODC=90°，
∴∠MON+∠DCO=90°，
∴x+2x=90°，
∴x=30°，
∴∠MON=30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．如图所示，将一块含有60°角的直角三角尺放置在两条平行线上，若∠1=40°，则∠2等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【分析】根据平行可知∠3＝∠1＝40°，由三角形外角的性质可知∠2+∠3＝60°，进而可求出∠2．
【详解】解：如图
由平行可知∠3＝∠1＝40°，
由三角形外角的性质可知∠2+∠3＝60°，
故∠2＝20°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质和三角形外角的性质进行角的计算．
12．如图，已知三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落则在内，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长和，交于点，根据三角形内角和定理求出的度数，根据折叠的性质得：，，求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，得到的度数，从而得出的度数．
【详解】解：如图，延长和，交于点，
∵，，
∴，
根据折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理．延长和，交于点，根据三角形内角和定理和折叠的性质求角的度数是解题的关键．
13．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；
④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．
【详解】解：
①如图1，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，
故①错误；
②如图2，∵∠1是△CEP的外角，
∴∠1＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠1，
即∠P＝∠A﹣∠C，
故②正确；
③如图3，过点E作直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，
故③错误；
④如图4，∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠COF＝∠α﹣∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故④正确；
综上结论正确的个数为2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（ ）
A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和求得，根据折叠的性质得到，根据已知条件∠A'BC＝30°即可建立关于∠CBD的等式．
【详解】解：设，
∵在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
故选C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理和图形折叠的性质，解题的关键是根据图形折叠的性质得．
15．如图，，连接，，，且，下列结论：①若，则；②若与互补，则．则（ ）
A．仅①正确 B．仅②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确
【答案】C
【分析】根据平行线的性质及三角形内角和定理得∠ABC=∠BCD=90°-∠BDC，再结合①、②中的已知条件用∠BDC表示∠ACB，进而推导出结论是否正确便可．
【详解】解：∵ABCD，
∴∠ABC=∠BCD，∠A+∠ACD=180°，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠BCD=90°-∠BDC，
①∵∠A=2∠BDC，
∴∠ACD=180°-∠A=180°-2∠BDC，
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=180°-2∠BDC-（90°-∠BDC）=90°-∠BDC，
∴∠ACB=∠ABC，
故①正确；
②∵∠BDC与∠A互补，
∴∠BDC=180°-∠A，
∴∠ACD=180°-∠A=∠BDC，
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=∠BDC-（90°-∠BDC）=2∠BDC-90°，
∴2∠ABC+∠ACB=2（90°-∠BDC）+（2∠BDC-90°）=90°，
故②正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，关键是正确应用这些知识进行推理．
二、填空题
16．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1＋∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①ABCD；②∠AEB＋∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠MAF＋∠NDA＝135°；⑤∠F＝135°，其中正确的有________（填写序号）
【答案】①③⑤
【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：标注角度如图所示：
∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠1=∠DEC，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠DEC+∠2=90°，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠C=180°，
∴ABCD，故①正确；
∴∠ADN=∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN=180°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵AE⊥DE
∴∠4+∠3=90°，
又∵∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，
∴∠2=∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵ABCD
∴∠MAD＋∠NDA＝180°
即∠MAF＋∠FAD ＋∠NDA＝180°
∴∠MAF＋∠NDA＝180°-∠FAD
∵∠FAD大小不确定，
∴∠MAF＋∠NDA不是定值，故④错误．
∵∠1+∠2=90°，
∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，
∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180°-45°=135°，故⑤正确．
故答案是：①③⑤．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°．
17．若∠A与∠B的一组边平行，另一组边垂直，且∠A＝80°，则∠B的度数为________．
【答案】170°或10°
【分析】首先由两个角的两边分别平行，另一组边互相垂直，分两种情况画出图形，根据两直线平行同旁内角互补，两直线平行同位角相等，以及垂直的定义，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】解：如图所示：
∵，
∴∠1=∠A＝80°，
∵AC⊥BC，
∴∠C=90°，
∴，
∴；
如图所示：
∵AE∥BF，
∴∠1=∠A＝80°，
∵AC⊥BC，
∴∠C=90°，
∴；
综上所述，∠B的度数为170°或10°．
故答案为：170°或10°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及垂直的定义，本题容易丢解，分类讨论是关键．
18．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E、F在AB上，点G在DF的延长线上，且∠B＝∠DFB，∠G＝∠DEG，若，则∠BDE的度数为_____．
【答案】
【分析】设，则，再根据三角形的内角和定理可得，根据三角形的外角性质可得，然后在中，根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：设，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
19．若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的4倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形中，，，D是边上一动点，当是“和谐三角形”时，的度数是_________．
【答案】或．
【分析】分四种情况进行讨论：①当∠B＝4∠ADB时；②当∠ADB＝4∠BAD时；③当∠BAD＝4∠ADB时；④当∠B＝4∠DAB时；⑤当∠ADB＝4∠B时；⑥当∠BAD＝4∠B时．根据“和谐三角形”的定义求解即可．
【详解】解：∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，
当△ADC是“和谐三角形”时，分四种情况：
①当∠B＝4∠ADB时；
∠ADB==15°<30°；
不符合题意；
②当∠ADB＝4∠BAD时；
,
解得；
③当∠BAD＝4∠ADB时；
解得：，不符合题意；
④当∠B＝4∠DAB时；
；
解得．
⑤当∠ADB＝4∠B时；
∠ADB＝4∠B；不符合题意；
⑥当∠BAD＝4∠B时．
∠BAD＝4∠B；不符合题意；
综上所述，∠DAB的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查新定义，三角形内角和定理，理解“和谐三角形”的定义并且能够应用是解题的关键．
20．在“妙折生平——折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠C＝60°，点D是AB边上的固定点（BD＜AB），请在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，使EF与三角形ABC的一边平行，则∠BDE为____________度．
【答案】28°或74°或118°
【分析】分三种情况，分别画出图形，结合平行线的性质和三角形内角和定理，三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：当时，
由折叠得，∠B=∠F=32°，∠BED=∠DEF，
∵，
∴∠B=∠CEF=32°，
∴∠BEF=180°-32°=148°，
∴；
当时，
∵，
∴∠BEF=∠C=60°，
∴，
∴；
当时，
∴∠CEF=∠C=60°，
∴∠BGD=∠CEF+∠F=92°，
∴∠BDG=180°-∠B-∠BGD=56°，
∴；
综上所述，∠BDE为28°或74°或118°．
故答案为：28°或74°或118°
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
21．如图，已知△ABC中，于D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝40°，则∠DAE=_________度．
【答案】20
【分析】根据题意可以求得∠BAC的度数，进而求得∠BAE的度数，再根据AD⊥BC于D，∠B=80°，可以求得∠BAD的度数，从而可以求得∠DAE的度数．
【详解】解：∵∠B=80°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-80°-40°=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=10°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-10°=20°，
故答案为：20．
【点睛】本题考查三角形内角和、角平分线、三角形的高，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．如图，∠A＝45°，∠BCD＝135°，∠AEB与∠AFD的平分线交于点P．下列结论：①EP⊥FP；②∠AEB＋∠AFD＝∠P；③∠A＝∠PEB＋∠PFD．其中正确的结论是______．
【答案】①②③
【分析】延长EP于AB交于G根据角平分线的定义得到，再根据邻补角的定义求出∠BCF=180°-∠BCD=45°，然后利用三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BEG+45°+∠AEG+2∠PFG+45°=180°，从而推出∠BEG+∠PFG=45°，由此进行逐一推导判断即可．
【详解】解：如图所示，延长EP于AB交于G
∵∠AEB与∠AFD的平分线交于点P，
∴，，
∵∠BCD=135°，
∴∠BCF=180°-∠BCD=45°，
∵∠EGB=∠A+∠AEG=45°+∠AEG，∠EBG=∠CFB+∠BCF=2∠PFG+45°，∠BEG+∠EGB+EBG=180°，
∴∠BEG+45°+∠AEG+2∠PFG+45°=180°，
∴2∠BEG+2∠PFG=90°，即∠BEG+∠PFG=45°，
∴∠EPF=∠EGB+∠PFG=45°+∠AEG+∠PFG=45°+∠BEG+∠PFG=90°，
∴EP⊥FP，故①正确；
∴∠AEB+∠AFD=2∠BEG+2∠PFG=90°=∠EPF，故②正确；
∵∠BEG+∠PFG=∠BEG+∠PFD=45°，
∴∠A=∠PEB+∠PFD，故③正确；
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B＝90°，∠A＝30°；图②中，∠D＝90°，∠F＝45°．图③是该同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．要使F、C的连线与AB平行，此时∠CFE的度数为 _____．
【答案】15°##15度
【分析】要使FCAB，则需∠FCE＝∠A＝30°，再根据三角形外角的性质求∠CFE的度数即可．
【详解】解：如图，当FCAB时，∠FCE＝∠A＝30°，
在Rt△DEF中，∠DFE＝45°，∠EDF＝90°，
∴∠FED＝180° 90° 45°＝45°，
∴∠FED＝∠CFE＋∠FCE＝45°，
∴∠CFE＝45° 30°＝15°，
故答案为：15°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题关键．
24．有一张三角形纸片，已知，，点在边上，请在边上找一点，将纸片沿直线折叠，点落在点处，若与三角形纸片的边平行，则的度数为______．
【答案】25°或115°
【分析】分两种情况：①当点F在AB的上方时，根据平行线的性质求出∠BEF，由折叠的性质得出答案；②当点F在BC的下方时，根据平行线的性质求出∠CEF，再根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：①当点F在AB的上方时，如图：
∵ACEF，∠C＝50°，
∴∠BEF＝∠C＝50°，
∴∠BED＝∠FED＝∠BEF＝×50°＝25°；
②当点F在BC的下方时，如图：
∵ACEF，∠C＝50°，
∴∠CEF＝∠C＝50°，
∵∠F＝∠B＝30°，
∴∠BGD＝50°＋30°＝80°，
∴∠BDG＝180° 80° 30°＝70°，
∴∠BDE＝∠BDG＝×70°＝35°；
∴∠BED＝180° ∠B ∠BDE＝180° 30° 35°＝115°，
综上所述，∠BED的度数为25°或115°．
故答案为：25°或115°．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质、平行线的性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握翻折的性质是解决此题的关键．
25．若三角形满足一个角是另一个角的3倍，则称这个三角形为“智慧三角形”，其中称为“智慧角”．在有一个角为60°的“智慧三角形”中，“智慧角”是______度．
【答案】60或90##90或60
【分析】根据“智慧三角形”及“智慧角”的定义，列方程求解即可．
【详解】解：在有一个角为60°的三角形中，
①当“智慧角”α=60°时，β=20°，另一个角为100°；
②当α+β=180°-60°=120°且α=3β时，
则3β+β=120°，
解得β=30°，
∴α=90°，
即“智慧角”是90°，
故答案为：60或90
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是180°”和“智慧三角形”、“智慧角”的定义是解决本题的关键．
三、解答题
26．∠MOQ＝90°，点A，B分别在射线OM、OQ上运动（不与点O重合）．
(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
(2)如图2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ °；
②点A、B在运动的过程中，∠ADB是否发生变化，若不变，试求∠ADB的度数；若变化，请说明变化规律．
【答案】(1)135°
(2)①45；②不变，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解．
（1）
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAO＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA＝∠ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣(∠IBA+∠IAB)＝135°．
（2）
①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，
∵∠CBA＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝45°，
故答案为：45．
②不变，
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO，
＝(∠MBA﹣∠BAO)，
＝∠AOB＝×90°，
＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
27．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，E为边AC上一点（不与点A，C重合），连接BE，在BE的延长线上取点D，连接DC．∠ABE的邻补角的角平分线和∠DCE的邻补角的角平分线交于点P．
(1)当∠D＝90°时，求证：
①∠ABE＝∠DCE；
②BP⊥CP；
(2)判断∠D与∠P的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)∠D+2∠P＝270°，理由见解析
【分析】（1）①根据三角形内角和都为180°和对顶角相等可以得出∠ABE＝∠DCE；
②BP平分∠MBE，CP平分∠NCE，以及∠ABE＝∠DCE；得到∠MBP＝∠PCE，再通过∠MBP与∠ABP互补，得到∠PCE与∠ABP互补，最后通过四边形ABPC内角和为360°得出结论；
（2）不妨设∠PBE＝x，∠PCE＝y，结合由（1）得的∠ABE+∠A＝∠DCE+∠D，∠A+∠ABP+∠P+∠ACP＝360°，等量代换得出答案．
（1）
证明：①∵∠A＝90°，∠D＝90°，
∴∠A＝∠D，
∵∠A+∠ABE+∠AEB＝∠D+∠DCE+∠DEC＝180°，∠AEB＝∠DEC，
∴∠ABE＝∠DCE；
②记AB，DC的延长线上分别有M，N点，
∵∠ABE＝∠DCE，∠ABE+∠MBE＝∠DCE+∠NCE，
∴∠MBE＝∠NCE，
∵BP平分∠MBE，CP平分∠NCE，
∴∠MBE＝2∠MBP，∠NCE＝2∠PCE，
∴∠MBP＝∠PCE，
∵∠MBP+∠ABP＝180°，
∴∠PCE+∠ABP＝180°，
∵∠A+∠ABP+∠P+∠PCE＝360°，∠A＝90°，
∴∠P＝90°，
∴BP⊥CP；
（2）
∠D+2∠P＝270°，
理由：设∠PBE＝x，∠PCE＝y，
则∠DBM＝2x，∠ACN＝2y，
∴∠ABE＝180°﹣2x，∠DCE＝180°﹣2y，
由（1）①得∠ABE+∠A＝∠DCE+∠D，
∴∠D＝∠ABE+∠A﹣∠DCE＝180°﹣2x+90°﹣（180°﹣2y）＝90°﹣2x+2y，
由（1）②得∠A+∠ABP+∠P+∠ACP＝360°，
且∠ABP＝∠ABE+∠PBE＝180°﹣2x+x＝180°﹣x，
∴∠P＝360°﹣∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝360°﹣90°﹣（180°﹣x）﹣y＝90°+x﹣y，
∴∠D+2∠P＝90°﹣2x+2y+2（90°+x﹣y）＝270°．
【点睛】本题考查角度之间的运算，能够熟练掌握三角形内角和，四边形内角和，角平分线的性质并运用是解题关键．
28．如图，四边形中，，，的平分线交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，的平分线交于点，与射线相交于点，．
①若点在线段上，求的度数；
②若点在的延长线上，直接写出的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)①∠AFC＝20°；②∠AFC＝160°．
【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线的定义即可证明；
（2）①根据角平分线的定义可得∠GCF＝45°，由三角形内角和定理求出∠BGA，然后根据三角形外角的性质可得∠AFC的度数；
②求出∠CGF，然后根据三角形外角的性质计算即可．
（1）
证明：∵ADBC，
∴∠GAD＝∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠GAD，
∴∠BAG＝∠BGA；
（2）
解：①∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝45°，
∵∠ABC＝50°，
由（1）可得：∠BAG＝∠BGA＝×（180°－50°）＝65°，
∴∠AFC＝∠BGA ∠GCF＝65° 45°＝20°；
②如图，由①可知∠BGA＝65°，∠BCF＝45°，
∴∠CGF＝180°－65°＝115°，
∴∠AFC＝∠CGF＋∠BCF＝115°＋45°＝160°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键．
29．根据题意解答：
(1)如图1，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，，若∠ECA为度，求∠GFB的度数（用关于的代数式表示），并说明理由．
(2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，BA⊥地面AE，CD∥地面AE，求∠1＋∠2的度数，并说明理由．
(3)如图3，若∠3＝40°，∠5＝50°，∠7＝70°，则∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＝ 度．
【答案】(1)∠GFB＝90° α；理由见解析
(2)∠1＋∠2＝270°
(3)160
【分析】（1）根据平角定义表示∠ECB＝180° α，由角平分线定义得：∠DCB＝90° α，最后根据平行线性质得结论；
（2）作平行线，根据平行线的性质得：∠BAE＝∠ABH＝90°和∠1＋∠CBH＝180°，所以∠1＋∠2＝∠1＋∠CBH＋∠ABH＝270°；
（3）作辅助线，根据外角定理和四边形的内角和360°列式后可得结论．
（1）
解：∵∠ACE＝α，
∴∠ECB＝180° α，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB＝∠ECB＝（180° α）＝90° α，
∵，
∴∠GFB＝∠DCB＝90° α．
（2）
解：过B作，如图所示：
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝∠ABH＝90°，
∵，
∴，
∴∠1＋∠CBH＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠1＋∠CBH＋∠ABH＝180°＋90°＝270°．
（3）
解：延长图中线段，构建如图所示的三角形和四边形，
由三角形外角定理得：∠9＝∠1＋∠2，
∠BAC＝∠9＋∠8＝∠1＋∠2＋∠8，
∵∠5＝50°，∠7＝70°，
∴，，
∴，
∴，
∵∠3＝40°，
∴∠AFE＝140°，
∵∠BAC＋∠4＋180° ∠GDH＋140°＝360°，
∴∠BAC＋∠4 ∠GDH＝40°，
∴∠1＋∠2＋∠4＋∠8 120°＋∠6＝40°，
∴∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＝160°，
故答案为：160．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，构建恰当的辅助线是解答本题的关键；熟练掌握外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知道四边形的内角和为360°．
30．如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．
(1)若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °；
(2)探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；
(3)若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．
(4)如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ．
【答案】(1)80，40
(2)∠A=∠O；理由见解析
(3)∠ACB=60°；
(4)120°
【分析】（1）由三角形内角和定理可求∠A，求出∠OBC，和∠BCO，再由三角形内角和定理即可求出结论；
（2）由题中角平分线可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC，进而得出∠A=180°-∠ABC-180°+∠ACD=∠ACD-∠ABC，即可得出结论；
（3）AC与BO交于点E，由OCAB，证得∠ABO=∠O，由AC⊥BO，证得∠AEB=90°，故2∠O+∠O=90°，进而证得∠A=60°，∠ABC=2∠ABO即可证得结论；
（4）连接，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
（1）
解：∵∠ABC=66°，∠ACB=34°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∵∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC=33°，∠OCD=（180°-34°）=73°，
∴∠O=∠OCD-∠OBC=40°，
故答案为：80、40；
（2）
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC，
∵CO平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACD，
如图，AC与BO交于点E，
∵∠AEB=∠CEO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACD，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠ABO，
∴∠A+∠ABO=∠O+∠A+∠ABO，
∴∠A=∠O；
（3）
解：如图，AC与BO交于点E，
∵OCAB，
∴∠ABO=∠O，
∵AC⊥BO，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABO=90°，
∴2∠O+∠O=90°，
∴∠O=30°，
∴∠A=60°，∠ABC=2∠ABO=60°，
∴∠ACB=60°；
（4）
解：如图，连接，
∵平分∠ABC，平分∠ACB，
∴=∠ABC，=∠ACB，
∵=120°，
∴=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折叠，
∴，，
∵∠1=，∠2=，
∴∠1+∠2=2=2∠BAC=2×60°=120°，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．
31．已知∠MON=40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（A，B，C不与点O重合），连接AB，连AC交射线OE于点D，设∠BAC=α．
(1)如图1，若 ，
①∠ABO的度数是________；
②当∠BAD=∠ABD时，∠OAC的度数是______；
当∠BAD=∠BDA时，∠OAC的度数是______；
(2)在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的2倍，我们称这样的四边形为“完美四边形”，如图2，若AB⊥OM，延长AB交射线ON于点F，当四边形DCFB为“完美四边形”时，求α的值．
【答案】(1)①20°； ②120°，60°；
(2)30°或 75°或 15°
【分析】（1）①利用角平分线的定义求出∠BON，根据平行线的性质可得出答案；
②当∠BAD=∠ABD时，利用三角形内角和定理求出∠BAO，进而可得∠OAC的度数；
当∠BAD=∠BDA时，求出∠BDA，然后根据三角形外角的性质即可求出∠OAC的度数；
（2）分三种情况进行讨论：①当∠BDC＝2∠BFC时，②当点C在F左边，∠DBF＝2∠DCF时，③当点C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时，分别根据三角形外角的性质以及三角形内角和定理求解即可．
（1）
解：①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵ABON，
∴∠ABO＝∠BON＝20°；
②当∠BAD＝∠ABD时，
∵∠ABO＝∠AOB＝20°，
∴∠BAD＝20°，∠BAO＝180°－20°－20°＝140°，
∴∠OAC＝∠BAO－∠BAD＝120°；
当∠BAD＝∠BDA时，
∵∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝∠BDA＝80°，
∵∠AOB＝20°，
∴∠OAC＝∠BDA－∠AOB＝60°；
故答案为：①20°； ②120°，60°；
（2）
解：①当∠BDC＝2∠BFC时，如图，
∵AB⊥OM，∠MON＝40°，
∴∠BFC＝50°，
∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，
∵∠ABO＝∠BFC＋∠BON＝50°＋20°＝70°，
∴∠BAC＝∠BDC ∠ABO＝100° 70°＝30°，
∴α＝30°；
②当点C在F左边，∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠AOB＋∠OAB＝20°＋90°＝110°，∠BFC＝50°，
∴∠DCF＝∠DBF＝55°，
∴∠BAC＝180° ∠BFC ∠ACF＝180° 50° 55°＝75°，
∴α＝75°；
③当点C在F右边，∠DBF＝2∠DCF时，
∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，
∴∠DBF＝∠ABO＝90° ∠AOB＝90° 20°＝70°，∠AFO＝50°，
∴∠DCF＝∠DBF＝35°，∠AFC＝130°，
∴∠BAC＝180° ∠DCF ∠AFC＝180° 35° 130°＝15°，
∴α＝15°；
综上所述，当四边形DCFB为“完美四边形”时，α的值是30°或75°或15°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．本题利用角平分线的定义求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．
32．如图所示，的内角平分线和外角平分线相交于点D，证明：．
【答案】证明见解析．
【分析】根据角平分线性质可得∠DCM=∠ACM，∠CBD=∠ABC，另根据三角形的外角性质得∠ACM=∠A+∠ABC，∠DCM=∠D+∠CBD，从而得∠D+∠CBD∠A+∠CBD，即可证明结论成立．
【详解】证明：如图，
∵BD平分∠ABC， CD平分∠ACM，
∴∠DCM=∠ACM，∠CBD=∠ABC，
∵∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠DCM=∠A+∠ABC=∠A+∠CBD，
∵∠DCM=∠D+∠CBD，
∴∠D+∠CBD=∠A+∠CBD，
∴∠D=∠A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角等于不相邻两内角的和的性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
33．如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠AFE＝∠ACB．
(1)求证：∠3＝∠B；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】（1）先证明，得出∠3＝∠AEF，再根据平行线的判定证明，得出∠AEF＝∠B，即可得证；
（2）根据∠3＝∠B得∠B＝50°，根据三角形内角和定理求出∠ECB＝20°，根据角平分线定义得出∠ACB＝2∠ECB＝40°，即可得出答案．
（1）
证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠FDE＝180°，
∴∠FDE＝∠2，
∴，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠AFE＝∠ACB，
∴，
∴∠AEF＝∠B，
∴∠B＝∠3；
（2）
解：∵∠3＝∠B，∠3＝50°，
∴∠B＝50°，
∵∠2+∠B+∠ECB＝180°，∠2＝110°，
∴∠ECB＝20°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ECB＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理的应用，能运用定理进行推理是解此题的关键．
34．如图，BF平分外角，CF平分外角．试确定和的数量关系．
【答案】∠F=90°-∠A
【分析】根据角平分线性质可得∠FBC=∠PBC，∠FCB=∠QCB，根据三角形内角和为180°可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可解题．
【详解】解：∵BF平分∠CBP， CF平分∠BCQ
∴∠FBC=∠PBC，∠FCB=∠QCB，
∵∠PBC+∠ABC =180°，∠QCB+∠ACB =180°，
∴∠PBC=180°-∠ABC，∠QCB=180°-∠ACB，
∵∠F+∠FBC+∠FCB=180°，
∴∠F=180°-∠FBC-∠FCB
=180°- (∠PBC+∠QCB )
=180°-（ 180°-∠ABC+180°-∠ACB) ．
= (∠ABC+∠ACB)，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠F=( 180°-∠A ) =90°-∠A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，考查了三角形内角和定理以及三角形外角等于不相邻两内角的和的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
35．如图所示，的外角平分线和相交于点D，证明：．
【答案】证明见解析．
【分析】根据角平分线性质可得∠DBC=∠PBC，∠DCB=∠QCB，根据三角形内角和为180°可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，进而即可证明结论成立．
【详解】证明：如下图，
∵BD平分∠CBP， CD平分∠BCQ
∴∠DBC=∠PBC，∠DCB=∠QCB，
∵∠PBC+∠ABC =180°，∠QCB+∠ACB =180°，
∴∠PBC=180°-∠ABC，∠QCB=180°-∠ACB，
∵∠BDC +∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠BDC =180°-∠DBC-∠DCB
=180°- (∠PBC+∠QCB )
=180°-（ 180°-∠ABC+180°-∠ACB) ．
= (∠ABC+∠ACB)，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BDC=( 180°-∠A ) =90°-∠A，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，考查了三角形内角和定理以及三角形外角等于不相邻两内角的和的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
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