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专题03：多边形及其内角和
一、单选题
1．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
3．一个多边形的内角和是，从这个多边形同一个顶点可以画的对角线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
4．下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A．正八边形和正三角形 B．正八边形和正方形
C．正八边形和正五边形 D．正六边形和正方形
5．只用下列一种全等的正多边形能够铺满地面的是（ ）
A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
6．正n边形的一个内角是150°，则n等于（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
7．如图，在三角形中，点是上一点，点是三角形内一点，连接、，过点作的平行线，若，，，，则的度数为（ ）
A．124° B．125° C．126° D．127°
8．雷峰塔位于杭州市西湖风景区南岸夕照山的雷峰上，它远借西湖，邻借古刹，晚借夕阳，朝借钟声，水、光、声、色俱全，绝妙无比，是杭州的风景名胜建筑．雷锋塔底呈平面八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
9．如果三角形两个不同顶点外角的和为，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是线段的中点
B．
C．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是九边形
D．钟表的时间是9点30分，此时时针与分针所成的夹角是105°
11．如图，，则下列关系中正确的是（ ）
A．∠C＝∠B+∠D
B．∠B+∠E+∠C﹣∠D＝180°
C．∠B+∠D+∠E﹣∠C＝180°
D．∠E+∠B＝∠C+∠D
12．下列说法正确的是（ ）
A．钟表的时间是10点30分，此时时针与分针所成的夹角是105°
B．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是九边形
C．若，则点是线段的中点
D．
13．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝19°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．36° C．41° D．45°
14．下列叙述中，正确的有（ ）
①任意一个三角形的三条中线都相交于一点；②任意一个三角形的三条高都相交于一点；③任意一个三角形的三条角平分线都相交于一点；④一个五边形最多有3个内角是直角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．下列说法：① 四边形的四个外角的度数之比为4：3：2：1，则相应的内角之比为1：2：3：4；②若线段a、b、c，满足b+c>a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；③ 三角形的高至多有两条在三角形外部；④在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是钝角三角形； ⑤ 图形经过平移后，对应点的连线段互相平行且相等；⑥多边形的内角中，至多有3个角是锐角．其中正确的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
16．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则_________．
17．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺（两边a∥b）如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数为_____．
18．在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于点O，若△ABC不是直角三角形，且∠A=50°，则∠BOC= __________
19．从十边形的一个顶点出发可以引 _____条对角线，将这个十边形分成了 _____个三角形，十边形的内角和为 _____度．
20．用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和______ 个正方形．
21．小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是___________．（填一种即可）
22．如图，__________°．
23．如图，五边形ABCDE是正五边形，且．若，则_______．
24．如图，小明从A点出发，前进4m到点B处后向右转20°，再前进4m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了____m．
25．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．
三、解答题
26．按要求回答下列各小题．
(1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值；
(2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．
27．如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N．试解答下列问题：
(1)在图①中，写出一个关于∠A、∠B、∠C、∠D的关系的等式 ．
(2)在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数；
(3)在图②中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C，∠B之间存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠P），并说明理由；
(4)如图③，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为 ．
28．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
29．如图，在四边形中，，平分，平分，．
(1)求的度数．
(2)求证：．
30．如图1，四边形ABCD中，点E在边AB上，∠BCE与∠BEC互余，过点E作EFCD，交AD于点F．
(1)若EF⊥CE，求证：∠AEF＝∠BCE；
(2)如图2，EG平分∠BEC交DC延长线于点G，∠BCD+∠ECD＝180°．点H在FD上，连接EH，CH，∠AHE+∠BCH＝90°．当∠D+∠AEF＝2∠G时，判断线段CH与CE的大小关系，并说明理由．
31．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC= °；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q与∠BPC之间满足的数量关系 ；
(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，若∠Q=∠E，求∠A的度数．
32．如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，
(1)探索与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如果点落在四边形外点的位置，与、之间的数量关系有何变化，请说明理由．
33．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．
(1)如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；
(2)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；
(3)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
34．探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
(1)已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
(2)已知：如图2，△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
(3)已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系．
35．（1）问题发现：小红在数学课上学习了外角的相关知识后，她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，于是，爱思考的小红在想，四边形的外角是否也具有类似的性质呢？
如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是_________________；
（2）总结归纳：如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；
（4）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．
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专题03：多边形及其内角和
一、单选题
1．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B3．一个多边形的内角和是，从这个多边形同一个顶点可以画的对角线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】A4．下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ）
A．正八边形和正三角形 B．正八边形和正方形
C．正八边形和正五边形 D．正六边形和正方形
【答案】B5．只用下列一种全等的正多边形能够铺满地面的是（ ）
A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
【答案】C6．正n边形的一个内角是150°，则n等于（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A7．如图，在三角形中，点是上一点，点是三角形内一点，连接、，过点作的平行线，若，，，，则的度数为（ ）
A．124° B．125° C．126° D．127°
【答案】B8．雷峰塔位于杭州市西湖风景区南岸夕照山的雷峰上，它远借西湖，邻借古刹，晚借夕阳，朝借钟声，水、光、声、色俱全，绝妙无比，是杭州的风景名胜建筑．雷锋塔底呈平面八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720° B．900° C．1080° D．1440°
【答案】C9．如果三角形两个不同顶点外角的和为，则此三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】D10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是线段的中点
B．
C．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是九边形
D．钟表的时间是9点30分，此时时针与分针所成的夹角是105°
【答案】D11．如图，，则下列关系中正确的是（ ）
A．∠C＝∠B+∠D
B．∠B+∠E+∠C﹣∠D＝180°
C．∠B+∠D+∠E﹣∠C＝180°
D．∠E+∠B＝∠C+∠D
【答案】C12．下列说法正确的是（ ）
A．钟表的时间是10点30分，此时时针与分针所成的夹角是105°
B．若经过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成八个三角形，则这个多边形是九边形
C．若，则点是线段的中点
D．
【答案】D13．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1＝19°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．36° C．41° D．45°
【答案】C14．下列叙述中，正确的有（ ）
①任意一个三角形的三条中线都相交于一点；②任意一个三角形的三条高都相交于一点；③任意一个三角形的三条角平分线都相交于一点；④一个五边形最多有3个内角是直角
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C15．下列说法：① 四边形的四个外角的度数之比为4：3：2：1，则相应的内角之比为1：2：3：4；②若线段a、b、c，满足b+c>a，则以a、b、c为边一定能组成三角形；③ 三角形的高至多有两条在三角形外部；④在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是钝角三角形； ⑤ 图形经过平移后，对应点的连线段互相平行且相等；⑥多边形的内角中，至多有3个角是锐角．其中正确的有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
二、填空题
16．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则_________．
【答案】224度##224°17．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺（两边a∥b）如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数为_____．
【答案】115°18．在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于点O，若△ABC不是直角三角形，且∠A=50°，则∠BOC= __________
【答案】130°或50°19．从十边形的一个顶点出发可以引 _____条对角线，将这个十边形分成了 _____个三角形，十边形的内角和为 _____度．
【答案】 7 8 144020．用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和______ 个正方形．
【答案】21．小张同学家要装修，准备购买两种边长相同的正多边形瓷砖用于铺满地面．现已选定正三角形瓷砖，则选的另一种正多边形瓷砖的边数可以是___________．（填一种即可）
【答案】4或6或1222．如图，__________°．
【答案】36023．如图，五边形ABCDE是正五边形，且．若，则_______．
【答案】129°##129度24．如图，小明从A点出发，前进4m到点B处后向右转20°，再前进4m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了____m．
【答案】7225．如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．
【答案】36
三、解答题
26．按要求回答下列各小题．
(1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值；
(2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．
【答案】(1)14
(2)该正多边形的边数为9，一个外角的度数是
27．如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N．试解答下列问题：
(1)在图①中，写出一个关于∠A、∠B、∠C、∠D的关系的等式 ．
(2)在图②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度数；
(3)在图②中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C，∠B之间存在着怎样的数量关系（用α，β表示∠P），并说明理由；
(4)如图③，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为 ．
【答案】(1)∠A+∠C＝∠B+∠D，见解析
(2)98°
(3)∠P＝（β+2α），见解析
(4)360°
28．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍．
(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？
(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？
【答案】(1)12
(2)140°；十三边形
29．如图，在四边形中，，平分，平分，．
(1)求的度数．
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
30．如图1，四边形ABCD中，点E在边AB上，∠BCE与∠BEC互余，过点E作EFCD，交AD于点F．
(1)若EF⊥CE，求证：∠AEF＝∠BCE；
(2)如图2，EG平分∠BEC交DC延长线于点G，∠BCD+∠ECD＝180°．点H在FD上，连接EH，CH，∠AHE+∠BCH＝90°．当∠D+∠AEF＝2∠G时，判断线段CH与CE的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠D＝∠BCG，理由见解析
31．如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，则∠BPC= °；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q与∠BPC之间满足的数量关系 ；
(3)如图③，延长线段BP、QC交于点E，若∠Q=∠E，求∠A的度数．
【答案】(1)125
(2)∠Q+∠BPC=180°
(3)∠A＝72°
32．如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，
(1)探索与之间的数量关系，并说明理由．
(2)如果点落在四边形外点的位置，与、之间的数量关系有何变化，请说明理由．
【答案】(1)2∠A=∠1+∠2，理由见解析
(2)∠A=（∠2-∠1），理由见解析
33．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．
(1)如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数；
(2)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式；
(3)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)105°
(2)β-α=90°
(3)BE∥DF，理由见解析
34．探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
(1)已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC＋∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
(2)已知：如图2，△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
(3)已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系．
【答案】(1)∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；
(2)∠P＝90°+∠A；
(3)∠P＝（∠A+∠B）．
35．（1）问题发现：小红在数学课上学习了外角的相关知识后，她很容易地证明了三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，于是，爱思考的小红在想，四边形的外角是否也具有类似的性质呢？
如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是_________________；
（2）总结归纳：如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
（3）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；
（4）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．
【答案】（1）∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）四边形的相邻的两个外角的和等于和它不相邻的两个内角的和；（3）65°；（4）30°
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