中小学教育资源及组卷应用平台
专题06：角的平分线的性质
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心，大于为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG=4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．10cm D．不能确定
3．如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长交BC于点D．则下列结论正确的是（ ）
A．AD是△ABC的高 B．AD是△ABC的中线
C．AD是△ABC的角平分线 D．AD一定经过△ABC的重心
6．三角形是一种常见且神奇的图形，我们小学阶段就知道，三角形的内角和等于180°．如图，△ABC的角平分线BE、CD相交于点F，∠A＝90°，GD//BC，BG⊥GD于点G，下列结论：①∠CBG＝90°；②∠BDG＝2∠ABE；③∠BFD＝∠FBC＋∠FCB；④∠AEB＝∠EBG；⑤∠CFE＝45°，其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．如图，在中，，平分交于点，若的面积为，的面积为，则关于与之间的数量关系，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝4，BC＝6，△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
9．如图，点E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，在中，和的角平分线相交于点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则有（ ）
A． B． C． D．
11．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．在RtΔABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝5cm，则点D到AB的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
13．到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点 B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条角平分线的交点 D．不存在这个点
14．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
B．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
C．每个命题都有逆命题；
D．每个定理都有逆定理．
15．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题
16．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．
17．如图，已知ABCD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 ______．
18．如图，在△ABC中， CD是△ABC的角平分线，于，，分别是边，上的点，连接，，若，△CDF和的面积分别为50和15，则△CDG的面积为_________．
19．如图，在中，，的平分线交于点，已知，，则点到边的距离为______．
20．如图，在中，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接．若的面积是，则的面积是____________．
21．如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，那么下面四个结论：①AS=AR：②QPAR；③△BRP≌△QSP：④BR=QS，其中一定正确的是（填写编号）________．
22．如图，是的角平分线，于点，点，分别是边，上的点，且，则______度．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．按照以下步骤画图：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线AP，交边BC于点D．
若给出条件CD=2，AB=7，则可求出△ABD的面积为__________．
24．如图，，和分别平分和，过点P，且．则：
（1）___________．
（2）若，，那么___________．
25．如图，，∠BAE和∠ABF的平分线交于点P，过点P作DP⊥AE于点D，且交BF于点C．若，则点P到AB的距离是______．
三、解答题
26．如图，四边形中，，，平分，平分，求：
(1)的值；
(2)的值．
27．如图，AD平分∠MAN，，，垂足分别为B，C，E为线段AB上一点，在射线AN上有一点F，并使得与全等，若，则线段AE与AF的有怎样的数量关系，并说明理由．
28．如图，的面积是18，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作于点，连接，求的面积．
29．如图，在和中，，，，．连接，交于点O．
(1)求证：；
(2)求的度数：
(3)小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了，并提出了下面结论：平分．请给予证明．
30．北师大版义务教育教科书七年级下册第126页，告诉我们一种利用尺规作已知角的平分线的方法，请完成下列问题．
一、作图．
(1)已知：如图，，．
求作：的平分线AF．
作法：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点E，交AB于点D．
②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F．
③作射线AF，交BC于点G．
AF就是的平分线
二、解释
(2)请你依据上面的作图，说明AF平分的道理．
三、应用
(3)若，，求的面积．
31．如图，已知．请按步骤用尺规作图，并回答下列问题：
第一步：在，上分别截取，，使．
第二步：分别以点D和点E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点C．
第三步：作射线．（保留作图痕迹）
(1)射线是_______________________．
(2)连接，，与全等吗？请说明理由．
32．如图，在中，垂直平分，请用尺规作图法在线段上求作一点，使点到线段的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）
33．完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分．求证：．
证明：∵（已知），
∴（ ），
又∵（已知），
∴，
∴______，
∵（已知），
∴______，
又∵平分（已知），
∴______（ ），
又∵平分（已知），
∴______，
∴（______+______），
∴，
∴，
即．
34．如图，，，，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且，，，在同一条直线上．
(1)求∠PAD的度数；
(2)求证：P是线段CD的中点．
35．（1）已知：如图①，点在上，且平分，，求证：．
（2）如图②，点在上，且平分，，求证：．
（3）如如图③，平分，点是上一点，过点作交于点，：：，直接写出的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题06：角的平分线的性质
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心，大于为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG=4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：过点G作⊥AB于点，
由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，
∵∠C=90°，⊥AB，CG =4，
∴GC==4，
∵P为边AB上一动点，
∴，
∴GP的最小值为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，熟记垂线段最短是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．10cm D．不能确定
【答案】C
【分析】根据角平分线定义和性质得出∠EAD=∠CAD，CD=DE，根据全等三角形的判定得出△DCA≌△DEA，根据全等三角形的性质得出AE=AC，求出AE=BC，再求出△DEB的周长=AB即可．
【详解】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠EAD=∠CAD，∠C=∠AED=90°，CD=DE，
在△DCA和△DEA中，
，
∴△DCA≌△DEA(AAS)，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴AE=AC=BC，
∵AB=10cm，
∴△DEB的周长为BD+DE+BE
=BD+CD+BE
=BC+BE
=AE+BE
=AB
=10cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，能求出CD=DE和AE=AC是解此题的关键．
3．如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过O分别作，，，根据角平分线的性质得到OD=OE=OF，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：过O分别作，，，
BO是平分线，
，
CO是平分线，
，
，
，，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是本题的关键．
4．如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质求出DE=DF，根据三角形的面积公式列式计算即可．
【详解】
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
∴×AB×DE+AC×DF=S△ABC=20，
即×15×DE+×5×DE=20，
解得DE=2，
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质找到DE=DF．
5．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长交BC于点D．则下列结论正确的是（ ）
A．AD是△ABC的高 B．AD是△ABC的中线
C．AD是△ABC的角平分线 D．AD一定经过△ABC的重心
【答案】C
【分析】根据作图痕迹判断即可．
【详解】由作图可知AD平分，
线段AD是的角平分线．又三角形的重心是三角形三条中线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的角平分线，重心等知识，解题的关键是读懂图像信息．
6．三角形是一种常见且神奇的图形，我们小学阶段就知道，三角形的内角和等于180°．如图，△ABC的角平分线BE、CD相交于点F，∠A＝90°，GD//BC，BG⊥GD于点G，下列结论：①∠CBG＝90°；②∠BDG＝2∠ABE；③∠BFD＝∠FBC＋∠FCB；④∠AEB＝∠EBG；⑤∠CFE＝45°，其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】①由平行线的性质和垂直的定义即可判断；②根据角平分线的定义和平行线的性质即可判断；③根据三角形的外角定理即可判断；④根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可判断；⑤根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可判断；
【详解】①∵GD//BC，且BG⊥GD，
∴∠CBG＝∠G=90°，故①正确；
②∵GD//BC，
∴∠BDG=∠DBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBC=2∠ABE，
∴∠BDG＝2∠ABE，故②正确；
③∵∠BFD是△BFC的一个外角，
∴∠BFD＝∠FBC＋∠FCB，故③正确；
④ 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°-∠ABE，
∠EBG=∠GBC-∠EBC=90°-∠EBC，
∵∠ABE=∠EBC
∴∠AEB＝∠EBG，故④正确；
⑤∵∠ABC+∠ACB=90°，BE、CD为△ABC的角平分线，
∴∠CFE＝∠FBC+∠FCB=(∠ABC+∠ACB)=45°，故⑤正确；
综上：正确的结论有5个；
故选：A
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理以及三角形的内角定理，熟练地掌握各个定理是解题的关键．
7．如图，在中，，平分交于点，若的面积为，的面积为，则关于与之间的数量关系，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于，于，由角平分线的性质得出，根据三角形面积可得出答案．
【详解】解：过点作于，于，
平分，，，
，
，，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，证出是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝4，BC＝6，△ABD的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得DE=DF，根据△ABD的面积可得DE的长，进一步可得DF的长，求出△BDC的面积，进一步可得△ABC的面积．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴DE=DF，
∵AB=4，△ABD的面积为6，
∴×4DE＝6，
解得：DE=3，
∴DF=3，
∵BC=6，
∴△BDC的面积为×6×3=9，
∴△ABC的面积为6+9=15，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，涉及三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
9．如图，点E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】先利用△ABE的面积，求得点E到直线AB的距离，然后再利用角平分线的性质求解即可
【详解】解：∵AB＝4，△ABE的面积为12，
∴点E到直线AB的距离==6，
∵E为∠BAC平分线AP上一点，
∴点E到直线AC的距离＝6．
故选：B．
【点睛】本题主要是考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解决本题的关键．
10．如图，在中，和的角平分线相交于点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作于于于，先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后根据三角形三边的关系对各选项进行判断．
【详解】解：过点作于于于，如图，
和的角平分线相交于点，
，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．
11．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】过D作DG⊥AC于点G，根据角平分线的性质以及割补法可列出等式，进而可求出BF的值．
【详解】解：如图，过D作DG⊥AC于点G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DG=DE=2，
∵，
∴，
∴，
解得BF=5，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，割补法求面积，能够熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．
12．在RtΔABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD＝5cm，则点D到AB的距离是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，可得DE=CD，据此解答．
【详解】解：如图，过点D作，
在RtΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
13．到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点 B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条角平分线的交点 D．不存在这个点
【答案】C
【分析】根据所学相关的性质判断即可．
【详解】因为三角形三条高的交点到三边的距离不相等，
故A不符合题意；
因为三角形三条中线的交点到三边的距离不相等，
故B不符合题意；
因为三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，
故C符合题意；
因为存在这个点到三边的距离相等，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了角的平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
14．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
B．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
C．每个命题都有逆命题；
D．每个定理都有逆定理．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定、角平分线的判定、命题和定理的定义判断即可．
【详解】A、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；
B、根据角平分线的判定：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，是真命题；
C、每个命题都有逆命题，是真命题；
D、每个定理不一定都有逆定理，每个定理都有逆命题，而命题有真有假，故每个定理都有逆定理是假命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
15．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF；根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC；利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，即得出AB+BE＝AC-FC，从而即可得到AC-AB＝2BE；由垂线段最短可得AE＜AD．
【详解】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC-FC，
∴AC-AB＝BE+FC＝2BE，
即AC-AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定与角平分线的证明，熟练掌握相关概念是解题关键．
二、填空题
16．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．
【答案】3
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴S△ABC=AB×DE+AC×DF=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
17．如图，已知ABCD，O为∠CAB、∠ACD的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE＝1.5，则两平行线AB、CD间的距离等于 ______．
【答案】3
【分析】过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，分别求出ON＝OM＝1.5，则可求MN＝3，即可求解．
【详解】解：过点O作MN⊥AB，交AB于点M，交CD于点N，
∵ABCD，
∴ON⊥CD，OM⊥AB，
∵AO平分∠MAC，OE⊥AC，
∴OM＝OE，
∵OC平分∠ACD，OE⊥AC，
∴OE＝ON，
∴OM＝ON，
∵OE＝1.5，
∴MN＝OM+ON＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行线间的距离，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
18．如图，在△ABC中， CD是△ABC的角平分线，于，，分别是边，上的点，连接，，若，△CDF和的面积分别为50和15，则△CDG的面积为_________．
【答案】20
【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据定理证出和，从而可得和，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
是的角平分线，且，
，
在和中，，
，
，
同理可得：，
，
和的面积分别为50和15，
，
即的面积为20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
19．如图，在中，，的平分线交于点，已知，，则点到边的距离为______．
【答案】1
【分析】过D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得DE＝DC，由条件可求得CD的长，则可求得答案．
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于点E，DE的长度即是点D到AB的距离，
∵∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∵AC＝3，AD＝2，
∴CD＝3﹣2＝1，
∴DE＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
20．如图，在中，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接．若的面积是，则的面积是____________．
【答案】12
【分析】延长CD交AB于点E，由题意可得，AP为∠BAC的平分线，易证△ACD≌△AED，则CD=DE，可得S△BCD=S△BDE，S△ACD=S△ADE，则S△ABC=2（S△ADE+S△BDE）=2S△ABD=12cm2．
【详解】解：延长CD交AB于点E，
由题意可得，AP为∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∵CD⊥AP，
∴∠ADC=∠EDA=90°，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD=DE，
∴S△BCD=S△BDE，S△ACD=S△ADE，
∴S△ABC=S△ACD+S△ADE+S△BCD+S△BDE=2（S△ADE+S△BDE）=2S△ABD=2×6=12（cm2）．
故答案为：12．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，熟知角平分线的作法是解答本题的关键．
21．如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，那么下面四个结论：①AS=AR：②QPAR；③△BRP≌△QSP：④BR=QS，其中一定正确的是（填写编号）________．
【答案】①②##②①
【分析】通过证明△APR≌△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠PAS，可证QPAR，可求解．
【详解】解：如图，连接AP，
①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
又AP=AP，∠ARP=∠ASP=90°，
∴△APR≌△APS（AAS），
∴AR=AS，∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QPAR，∴②正确；
③④在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．如图，是的角平分线，于点，点，分别是边，上的点，且，则______度．
【答案】180
【分析】过点作于点，由是的角平分线可得，可证出，可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：180．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，证出．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．按照以下步骤画图：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线AP，交边BC于点D．
若给出条件CD=2，AB=7，则可求出△ABD的面积为__________．
【答案】7
【分析】根据要求作出图形，过点D作DH⊥AB于点H．利用角平分线的性质定理证明DH=DC=2即可．
【详解】解：图形如图所示，过点D作DH⊥AB于点H．
∵AP平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH=DC=2，
∴S△ADB= AB DH=×7×2=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质．
24．如图，，和分别平分和，过点P，且．则：
（1）___________．
（2）若，，那么___________．
【答案】 90
【分析】（1）根据，可得，再结合PB和PC分别平分和，可知，即可求出；
（2）过点P作于点E，根据PB和PC分别平分和，可得，即点P为AD中点，再根据，可知，再由，可得PE，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵PB和PC分别平分和，
∴，
∴在中，
故答案为：90
（2）过点P作于点E，如下图：
∵PB和PC分别平分和，
∴，即点P为AD中点，
∵，
∴，
又，
∴，即．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了角平分线性质、平行线的性质，解题关键是添加辅助线．
25．如图，，∠BAE和∠ABF的平分线交于点P，过点P作DP⊥AE于点D，且交BF于点C．若，则点P到AB的距离是______．
【答案】4
【分析】过P作PH⊥AB于H，根据角平分线的性质PH=PD，由平行线的性质推出DC⊥BF，同理可证PH=PC，得到PC=PD=4即可．
【详解】解：过P作PH⊥AB于H，
∵AP平分∠BAE，PH⊥AB，PD⊥AE，
∴PH=PD，
∵，
∴DC⊥BF，
同理可证PH=PC，
∴PC=PD=4，
∴PH=4，
∴点P到AB的距离是4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，平行线的性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
三、解答题
26．如图，四边形中，，，平分，平分，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）直接根据四边形的内角和可得；
（2）由角平分线的定义可得，最后由三角形外角的性质可得，进而可求解．
（1）
解：四边形中，，，
；
（2）
解：如图，
平分，平分，
，，
，
由三角形外角的性质可得：
，，
．
【点睛】本题考查多边形的内角和以及三角形外角的性质、角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式和三角形外角的性质．
27．如图，AD平分∠MAN，，，垂足分别为B，C，E为线段AB上一点，在射线AN上有一点F，并使得与全等，若，则线段AE与AF的有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】或，理由见解析
【分析】分点F在C点左侧时和点F在C点右侧时两种情况，根据全等三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：有两种情况：或，
理由：∵AD平分，，，
∴，∠DCA=∠DCN=∠DBE=90°，
当=3时，，
此时，点F可在C点左侧，也可在C点右侧，如图，
当点F可在C点左侧时，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵DB=BC,AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴AB=AC，
∴；
当点F可在C点右侧时，由（1）知，AC=AB=AE+3，
∴AE+6=AF，
即；
∴线段AE与AF的数量关系是：或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，利用角平分线的性质证得DB=DC是解题关键，注意分类讨论思想的运用．
28．如图，的面积是18，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作于点，连接，求的面积．
【答案】9
【分析】延长CD交AB于E，如图，由作法得∠EAD＝∠CAD，再证明∠ACD＝∠AED得到AC＝AE，则根据等腰三角形的性质得到CD＝ED，接着根据三角形面积公式得到S△ADE＝S△ADC，S△BDE＝S△BDC，从而得到S△DABS△ABC．
【详解】解：延长CD交AB于E，如图，
由作法得AP平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
∴∠ACD＝∠AED，
∴AC＝AE，
而AD⊥CE，
∴CD＝ED，
∴S△ADE＝S△ADC，S△BDE＝S△BDC，
∴S△DABS△ABC18＝9（cm2）．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
29．如图，在和中，，，，．连接，交于点O．
(1)求证：；
(2)求的度数：
(3)小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了，并提出了下面结论：平分．请给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)38°
(3)见解析
【分析】（1）由“SAS”可证△BAD△CAE，由全等角形的性质可得出BD＝CE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由三角形外角性质可得出答案；
（3）过点A作AGBD于点G，AHCE于点H，可证明（AAS），可得AG＝AH，由角平分线的性质可得OA平分BOE．
（1）
解：如图所示标注角度：
∵
∴
即
在和中
∴（SAS）
∴
（2）
解：∵
∴
设交于点F，则是和的外角
∴，
∴
∵
∴
即的度数是38°
（3）
证明：过点作于G，于H，
则，
∴
在和中
∴（AAS）
∴
而于G，
∴点A在的平分线上
即平分
【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形外角性质及角平分线的性质，解题时注意结合图形分析已知条件与问题之间的位置关系，把条件与问题的联系作为主要的思考方向．
30．北师大版义务教育教科书七年级下册第126页，告诉我们一种利用尺规作已知角的平分线的方法，请完成下列问题．
一、作图．
(1)已知：如图，，．
求作：的平分线AF．
作法：
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点E，交AB于点D．
②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F．
③作射线AF，交BC于点G．
AF就是的平分线
二、解释
(2)请你依据上面的作图，说明AF平分的道理．
三、应用
(3)若，，求的面积．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据SSS证明三角形全等即可；
（3）过点G作GH⊥AB于点H，证明GH=CG=2cm，可得结论．
（1）
如图，射线AG即为所求；
（2）
连接EF，DF
由作图可知，AE=AD，EF=DF，
在△AEF和△ADF中，
∴△AEF≌△ADF（SSS），
∴∠EAF=∠FAD，
∴AG平分∠CAB；
（3）
过点G作GH⊥AB于点H.
∵AG平分∠CAB，GC⊥AC，GH⊥AB，
∴HG=GC=2cm，
∴
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的作法，学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题．
31．如图，已知．请按步骤用尺规作图，并回答下列问题：
第一步：在，上分别截取，，使．
第二步：分别以点D和点E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点C．
第三步：作射线．（保留作图痕迹）
(1)射线是_______________________．
(2)连接，，与全等吗？请说明理由．
【答案】(1)图见解析，的角平分线
(2)全等，理由见解析
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据证明三角形全等即可．
（1）
解：图形如图所示：
的角平分线，
故答案为：角平分线；
（2）
解：结论：．
理由：在和中，
，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
32．如图，在中，垂直平分，请用尺规作图法在线段上求作一点，使点到线段的距离等于（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据要求作出图形即可．
【详解】解：如图，点即为所求．
【点睛】本题考查作图复杂作图，点到直线的距离相等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
33．完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分．求证：．
证明：∵（已知），
∴（ ），
又∵（已知），
∴，
∴______，
∵（已知），
∴______，
又∵平分（已知），
∴______（ ），
又∵平分（已知），
∴______，
∴（______+______），
∴，
∴，
即．
【答案】两直线平行，内错角相等；∠3+∠4；∠EFD；∠BEF；角平分线的性质；；∠BEF；
【分析】根据平行线的性质，角平分线的性质，逐个进行分析填空即可．
【详解】解：证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵（已知），
∴，
∴∠3+∠4，
∵（已知），
∴∠EFD，
又∵平分（已知），
∴∠BEF（角平分线的性质），
又∵平分（已知），
∴，
∴（∠BEF +），
∴，
∴，
即．
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠3+∠4；∠EFD；∠BEF；角平分线的性质；；∠BEF；
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，能够熟练运用平行线的性质是解决本题的关键．
34．如图，，，，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且，，，在同一条直线上．
(1)求∠PAD的度数；
(2)求证：P是线段CD的中点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】根据平行线的性质得到，再计算出，则利用角平分线的定义得到，所以，然后利用角平分线的定义得到的度数；
过点作于点，如图，根据角平分线的性质得到，从而得到．
（1）
解：，
，
，
平分，
，
，
，
，
平分，
；
（2）
证明：过点作于点，如图，
平分，
，
平分，
，
，
是线段的中点．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质
35．（1）已知：如图①，点在上，且平分，，求证：．
（2）如图②，点在上，且平分，，求证：．
（3）如如图③，平分，点是上一点，过点作交于点，：：，直接写出的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由角平分线的性质得则可证明；
（2）由角平分线的性质得，再由平行线的性质得，即可得出结论；
（3）由角平分线的性质得，再由平行线的性质得，，然后求出，则，即可求解．
【详解】解：（1）平分，
，
又∵，
；
（2）平分，
，
，
，
；
（3）平分，
，
，
，，
：：，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
