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专题07：轴对称
一、单选题
1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．将一张矩形纸片ABCD按下图所示操作：①将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处．②将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M． 若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
3．如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若∠1＝40°，则∠AEF＝（ ）
A．110° B．140° C．120° D．100°
4．如图，已知，求作一点P，使点P到的两边的距离相等，且，下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为、两角平分线的交点
B．P为的角平分线与线段CB的垂直平分线的交点
C．P为的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点
D．P为线段AB、AC的垂直平分线的交点
5．如图，分别以△ABC的边AB、AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有下列结论：①；②；③OA平分∠BOC；④．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，四边形ABCD为一长条形纸带，ABCD，将四边形ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．72° C．65° D．75°
7．如图，点、为边、上的两点，将沿线段折叠，点落在上的处，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知点P是直线l外一点，要求过点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于17，△ADC的周长为9，那么线段AE的长等于（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．8
10．某节数学课中，老师请同学自行证明等腰三角形一条性质：等腰三角形的两底角相等，下面三位同学的证明过程正确的有（ ）个．
小明：如图1，已知AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，可证明△ABD≌△ACD，则∠B＝∠C，性质得证．
小花：选取某一等腰三角形，通过折叠的方法，可以将两底角重合，故两底角相等，性质得证．
小帅：如图2，分别过点B，C作AB，AC的垂线，垂足分别为点M，N，因为AB＝AC，而△ABC面积不变，所以CM＝BN，可证明Rt△BNC≌Rt△CMB，则∠ABC＝∠ACB，性质得证．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝42°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则∠BCD的度数为 _____．
12．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，交于点，若，则______．
13．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部的位置，且与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°.若保持△DE的一边与BC平行，则∠ADE的度数____．
14．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．若，，当______时，点B在线段AF的垂直平分线上．
15．如图1，在矩形纸片ABCD中，点P在AD上，点Q在BC上，将纸片沿PQ折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．PF交BQ于点G．设∠QPG＝．继续折叠纸片，使GF落在BC边上（如图2），折痕为GM．
（1）若，则∠MGF=________°．
（2）沿GF继续折叠，若GM恰好是∠PGF 的三等分线，则=________°．
16．如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则______．
17．如图，把长方形沿对折，的对应边与交于点M，再把沿对折得，若，则___________．
18．已知△ABC与△DEF成轴对称，且△ABC的周长为12，则△DEF的周长为___ ．
19．如图，在四边形纸片ABCD中，ABCD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过点B，FD′交BC于点G，连结EG，EG平分∠BEF．
（1）若∠CFG=76°，则∠BEG的度数是______；
（2）若EGA′D′，∠A+∠DFE=125°，则∠CFE的度数是______．
20．如图，在△ACE中，AE=7，AC=9，CE=12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 ____．
三、解答题
21．为了方便市民接种新冠疫苗，我市设立了疫苗接种点．如图C，D分别是两处社区，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个新冠疫苗接种点M，使点M到两条路的距离相等，且，这个疫苗接种点应建在何处？
22．如图，已知，点，．
求作：一点，使，并且点到两边的距离相等（要求：不写作法，只保留作图痕迹）．
23．如图，在中，平分且平分，垂足为G，于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示(点M，N表示大学，OA，OB表示公路)．现计划在∠AOB的内部修建一座物资仓库，且仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规作图法确定仓库所在的位置．(保留作图痕迹，不写作法)
25．小宇同学将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕．问题：
(1)的度数是多少？写出解答过程；
(2)直线FA'与有怎样的位置关系？请说明理由；
(3)试猜测么、、、、这5个角之间有怎样的数量关系，并说明理由．
26．如图，和为等腰三角形，，BE是AD边上的高，请仅用左刻度的直尺分别按下列要求画图：
(1)在图1中，作的边BD上的中线EF；
(2)在图2中，作的边AB上的高DG．
27．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
28．如图，已知，请用尺规作图法作出边上的中线．（保留作图痕迹，不写作法）
29．如图①，，，，连接BD，CE．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)如图②，延长CE交线段AB于点G，交线段BD于点F，若，，且点E在线段AC的垂直平分线上，求的度数．
30．综合与实践：折纸中的数学
知识背景
我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
知识初探
(1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝ ；
类比再探
(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．
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专题07：轴对称
一、单选题
1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．
【详解】解：∵∠BAC＝ ，
∴∠B+∠C＝ ，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，
∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，
＝
＝．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键．
2．将一张矩形纸片ABCD按下图所示操作：①将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处．②将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M． 若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（ ）
A．135° B．120° C．112.5° D．115°
【答案】C
【分析】由折叠的性质可知∠P1M A1=∠PM A1，P P1⊥DM；进而求出∠M P1 A1的度数，再根据∠M P1 A1的度数求出∠DP A和∠D P A1的度数；最后根据折叠的性质求出答案即可．
【详解】∵P1M⊥AB，
∴∠P1MP=90°，
连接PP1，
由折叠的性质可知，∠P1M A1=∠PM A1=45°，PP1⊥DM，
∴PP1经过点 A1，
∴∠M P1 A1=∠BPA1 =45°，
∴∠APA1=180°-45°=135°，
由折叠的性质可知：∠DP A=∠DPA1=67.5°，
∴∠DPB=∠D P A1+∠B P A1=45°+67.5°=112.5°，
由折叠的性质可知：∠DP1M=∠DPB=112.5°；
故选：C
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，熟练地掌握经过折叠会形成轴对称图形，对应角度相等，对应点连线垂直于对称轴是解题的关键．
3．如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若∠1＝40°，则∠AEF＝（ ）
A．110° B．140° C．120° D．100°
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质可求解．
【详解】解：∵把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，∠1=40°，
∴，
∵在长方形ABCD中，有，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=180°-∠BFE=110°，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
4．如图，已知，求作一点P，使点P到的两边的距离相等，且，下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为、两角平分线的交点
B．P为的角平分线与线段CB的垂直平分线的交点
C．P为的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点
D．P为线段AB、AC的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质和线段的垂直平分线的进行确定P点位置，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上；
∵PA=PB，
∴P点在AB的垂直平分线上，
∴P为∠A的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质．
5．如图，分别以△ABC的边AB、AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有下列结论：①；②；③OA平分∠BOC；④．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD＝90°，判断出①正确；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根据翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；无法求出∠ADE=30°，判断出④错误．
【详解】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，
∴∠EAD＝3∠BAC 360°＝3×150° 360°＝90°，
∴，故①正确．
∴∠BAE＝∠CAD＝（360° 90° 150°）＝60°，
由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，
又∵∠EPO＝∠BPA，
∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确．
∵△ACE≌△ADB，
∴，BD＝CE，
∴BD边上的高与CE边上的高相等，
即点A到∠BOC两边的距离相等，
∴OA平分∠BOC，故③正确．
在△EAD中，∠EAD＝90°，
当∠ADE=30°时，，
∵题中条件无法证明∠ADE=30°，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
6．如图，四边形ABCD为一长条形纸带，ABCD，将四边形ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1=2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．72° C．65° D．75°
【答案】B
【分析】由翻折的性质可得∠AEF＝，由平行线的性质可得∠AEF＝∠1，设∠2＝x，易得∠AEF＝∠1＝＝2x，然后根据平角的定义构建方程即可解决问题．
【详解】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝，
∵ABCD，
∴∠AEF＝∠1，
设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝＝2x，
∵∠AEB＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
7．如图，点、为边、上的两点，将沿线段折叠，点落在上的处，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用折叠的性质及三角形外角与内角的关系，计算得结论．
【详解】解：由折叠的性质知：
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的推论，掌握“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键．
8．已知点P是直线l外一点，要求过点P作直线l的垂线PQ．下列尺规作图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线一一判断即可．
【详解】A、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
∵AP=BP，AQ=BQ，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，点Q在线段AB的垂直平分线上，
∴ 直线PQ垂直平分线线段AB，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
B、B选项无法判定直线PQ垂直直线l，本选项符合题意；
C、如图，连接AP、AQ、BP、BQ，
∵AP= AQ，BP =BQ，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴ 直线AB垂直平分线线段PQ，即直线l垂直平分线线段PQ，
本选项不符合题意；
D、如图，连接AC、BC、DP、PQ，
∵AC=BC，AD=BD，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，点D在线段AB的垂直平分线上，
∴ 直线CD垂直平分线线段AB，
∴
由作图痕迹可知：，
∴，
∴
∴PQ⊥AB，
本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的逆定理及两点确定一条直线等知识，读懂图像信息是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于17，△ADC的周长为9，那么线段AE的长等于（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据作图过程可得MN是AB的垂直平分线，进而可得AD＝BD，AE＝AB，再由△ABC的周长等于17，△ADC的周长为9，可得AC+AD+CD＝9，AC+CD+BD+AB＝17，两式相减可得答案．
【详解】解：根据题意可得MN是AB的垂直平分线，
∵△ADC的周长为9，
∴AC+AD+CD＝9，
∵△ABC的周长等于17，
∴AC+CD+BD+AB＝17，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝AB，
∴AC+CD+AD+AB＝17，
∴AB＝17﹣9＝8，
∴AE＝4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
10．某节数学课中，老师请同学自行证明等腰三角形一条性质：等腰三角形的两底角相等，下面三位同学的证明过程正确的有（ ）个．
小明：如图1，已知AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，可证明△ABD≌△ACD，则∠B＝∠C，性质得证．
小花：选取某一等腰三角形，通过折叠的方法，可以将两底角重合，故两底角相等，性质得证．
小帅：如图2，分别过点B，C作AB，AC的垂线，垂足分别为点M，N，因为AB＝AC，而△ABC面积不变，所以CM＝BN，可证明Rt△BNC≌Rt△CMB，则∠ABC＝∠ACB，性质得证．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】利用全等三角形的判定与性质进行判断即可．
【详解】解：小明证明过程正确，利用SSS证明△ABD≌△ACD，可得结论；
小明的证明过程正确，如图1
∵折叠，
∴∠BAD=∠CAD，
再利用SAS证明△BAD≌△CAD，可得∠B=∠C，
小帅的证明过程正确，
∵AB×CM=AC×BN，AB=AC，
∴CM=BN，
∵BC=BC，
∴Rt△BNC≌Rt△CMB（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，翻折的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝42°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为，当时，则∠BCD的度数为 _____．
【答案】27°##27度
【分析】由AC=BC可得∠A=∠B，根据，得到；根据点B、关于直线CD对称，得到，即有，根据三角形外角定理有，进而可得，再根据三角形内角和定理有，即问题得解．
【详解】∵AC=BC，∠B=42°，
∴∠A=∠B=42°，
∵，
∴，
∴，
∵点B关于直线CD的对称点为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：27°．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和、三角形的外角定理及平行线的性质等知识，根据轴对称的性质得到是解题的关键．
12．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使顶点，分别落在点，处，交于点，若，则______．
【答案】##20度
【分析】利用对称性求出，再利用平行线的性质求出，相减可求得
【详解】是折痕
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的定义，平行线的性质，灵活运用性质是解题关键．
13．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部的位置，且与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝34°.若保持△DE的一边与BC平行，则∠ADE的度数____．
【答案】45°或28°
【分析】根据题意，分，两种情况分析，根据平行线的性质与三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，
∴当时，经过折叠在上，不符题意，
依题意，，
①当，
②当时，
故答案为：45°或28°
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握三角形的外角的性质，内角和定理，平行线的性质是解题的关键．
14．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．若，，当______时，点B在线段AF的垂直平分线上．
【答案】4
【分析】通过求证△FEC≌△AED来证明CF=AD；若点B在线段AF的垂直平分线上，则应有AB=BF因为AB=8，CF=AD=2，所以BC=BF-CF=6-2=4时有AB=BF．
【详解】解：∵ADBC，
∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE △FCE(AAS)，
∴CF=AD；
连接BE，
∵BE垂直平分AF，
∴AB=BF，
∵AD=CF，
∵AD=2，AB=6，
∴BC=BF-CF，
=AB-AD，
=6-2，
=4，
∴当BC为4时，点B在线段AF的垂直平分线上．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
15．如图1，在矩形纸片ABCD中，点P在AD上，点Q在BC上，将纸片沿PQ折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．PF交BQ于点G．设∠QPG＝．继续折叠纸片，使GF落在BC边上（如图2），折痕为GM．
（1）若，则∠MGF=________°．
（2）沿GF继续折叠，若GM恰好是∠PGF 的三等分线，则=________°．
【答案】 60 或36
【分析】（1）根据矩形的性质可得BCAD，从而利用平行线的性质可得，然后根据折叠的性质可得∠GPQ=∠GPD，∠MGF=，即可解答；
（2）根据折叠的性质可得∠MGF==α，再利用平行线的性质可得∠PGF=180°-2α，然后分两种情况：当∠MGF=∠PGF时，当∠MGF=∠PGF时，进行计算即可解答．
【详解】解：（1）如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BCAD，
∴，
由折叠得：
∠GPQ=∠GPD，∠MGF=，
∴∠MGF=∠GPQ=α=60°，
故答案为：60；
（2）如图：
由折叠得：
∠MGF==α，
∵BCAD，
∴∠PGF=180°-∠GPD=180°-2α，
∵GM是∠PGF的三等分线，
∴分两种情况：
当∠MGF=∠PGF时，
∴α=（180°-2α），
∴α=；
当∠MGF=∠PGF时，
∴α=（180°-2α），
∴α=36°，
综上所述，α=或36°，
故答案为：或36．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，翻折变换（折叠问题），熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．
16．如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，则______．
【答案】15°##15度
【分析】由折叠可知：∠BFE=∠B'FE，∠AEF=∠A'EF，∠A'EG=∠HEG，由三角形的内角和定理结合平行线的性质可求解∠A'EF=115°，过B'作B'M∥AD，则∠DGB'=∠GB'M，结合平行线的性质易求∠DGB'=40°，即可得A'GE=40°，由直角三角形的性质可求解∠HEG=50°，进而可求解．
【详解】解：由折叠可知：∠BFE=∠B'FE，∠AEF=∠A'EF，∠A'EG=∠HEG，
∵∠1+∠BFE+∠B'FE=180°，∠1=50°，
∴∠BFE=65°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=115°，
∴∠A'EF=115°，
过B'作B'M∥AD，则∠DGB'=∠GB'M，
∵AD∥BC，
∴∠MB'F=∠1，
∴∠1+∠DGB'=∠GB'F=90°，
∴∠DGB'=90°-50°=40°，
∴∠A'GE=∠DGB'=40°，
∵∠A'=90°，
∴∠HEG=∠A'EG=90°-40°=50°，
∴∠A'EH=2×50°=100°，
∴∠FEH=∠A'EF-∠A'EH=115°-100°=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识的综合运用，作适当的辅助线是解题的关键．
17．如图，把长方形沿对折，的对应边与交于点M，再把沿对折得，若，则___________．
【答案】50
【分析】由折叠的性质求出∠DFG＝40°，∠C＝∠FGH＝90°，过点G作GPAB，根据平行线的性质求出∠AMG＝50°，然后根据对顶角相等和折叠的性质可得的度数．
【详解】解：由折叠的性质得：，
∴∠DFG＝180°－70°－70°＝40°，∠C＝∠FGH＝90°，
过点G作GPAB，
∵在长方形ABCD中，ABCD，
∴ABCDGP，
∴∠DFG＝∠PGF＝40°，∠AMG＝∠PGM，
∵∠FGH＝∠PGF＋∠PGM＝90°，
∴∠AMG＝∠PGM＝90°－40°＝50°，
∴∠HME＝∠AMG＝50°，
由折叠的性质得：，
故答案为：50．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质等知识，作出合适的辅助线是解题的关键．
18．已知△ABC与△DEF成轴对称，且△ABC的周长为12，则△DEF的周长为___ ．
【答案】12
【分析】根据轴对称的性质，得到两个三角形全等，得到周长相等．
【详解】解：因为△ABC与△DEF成轴对称，
所以△ABC≌△DEF，
因为△ABC的周长为12，
所以△DEF的周长为12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了成轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
19．如图，在四边形纸片ABCD中，ABCD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过点B，FD′交BC于点G，连结EG，EG平分∠BEF．
（1）若∠CFG=76°，则∠BEG的度数是______；
（2）若EGA′D′，∠A+∠DFE=125°，则∠CFE的度数是______．
【答案】 26°##26度 130°##130度
【分析】（1）根据折叠的性质求得∠DFE=∠GFE=52°，再根据平行线的性质求得∠BEF=∠DFE=52°，
最后根据角平分线的定义即可求解；
（2）设∠BEG=∠FEG=α，由折叠的性质得∠1=∠2+2α，∠A′+2α=125°①，再根据平行线的性质得到∠A′+∠2+α=180°②，通过计算即可求解．
【详解】解：（1）根据折叠的性质得∠DFE=∠GFE，
∵∠CFG=76°，
∴∠DFE=∠GFE==52°，
∵ABCD，
∴∠BEF=∠DFE=52°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠BEF=26°，
故答案为：26°；
（2）如图：设∠BEG=∠FEG=α，
∵ABCD，
∴∠DFE=2α，
根据折叠的性质得∠1=∠2+2α，∠A=∠A′，
∵∠A+∠DFE=125°，
∴∠A′+2α=125°①，
∵EG∥A′D′，
∴∠A′+∠2+α=180°②，
②-①得∠2-α=55°，即∠2 =55°+α，
由平角的性质得∠1+2α=180°，
∴∠2+2α+2α=180°，即55°+α+2α+2α=180°，
解得α=25°，
∴∠DFE=50°，
∴∠CFE=180°-50°=130°，
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平行线的性质，解第（2）问的关键是利用参数构建方程解决问题．
20．如图，在△ACE中，AE=7，AC=9，CE=12，点B、D分别在边CE、AE上，若△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，则△BDE的周长为 ____．
【答案】10
【分析】根据轴对称图形的性质即可求得．
【详解】解：∵△ACD与△BCD关于CD所在直线对称，
∴AD=DB，AC=BC=9，
∵AE=7，AC=9，BC=12，
∴△DBE的周长=BD+DE+BE=AD+DE+EC﹣AC=AE+EC﹣AC=7+12﹣9=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，熟练掌握和运用轴对称图形的性质是解决本题的关键．
三、解答题
21．为了方便市民接种新冠疫苗，我市设立了疫苗接种点．如图C，D分别是两处社区，现要在道路AO，OB的交叉区域内设一个新冠疫苗接种点M，使点M到两条路的距离相等，且，这个疫苗接种点应建在何处？
【答案】详见解析
【分析】分别作的角平分线和线段的中垂线，两者的交点即为所求．
【详解】解：如图所示，点M即为所求．
【点睛】本题考查了基本作图，线段垂直平分线的性质（即垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），以及角平分线的性质（即角平分线上的点到角两边的距离相等），熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的性质是解题的关键．
22．如图，已知，点，．
求作：一点，使，并且点到两边的距离相等（要求：不写作法，只保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】先作MN的垂直平分线和∠AOB的平分线，它们的交点为P点，则根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质得到PM=PN，且P到∠AOB两边的距离相等．
【详解】解：如图，点P为所作．
【点睛】本复考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．如图，在中，平分且平分，垂足为G，于点E，于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解．
【分析】（1）连接DB，DC，根据线段垂直平分线的性质可得DB=DC，根据角平分线的性质可得DE=DF，可得Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得证；
（2）易证Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），可得AE=AF，从而可得AC+2BE=AB，即可求出BE的长．
（1）
证明：连接DB，DC，如图所示：
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
又∵BE=CF，
∴AC+2BE=AB，
∵AB=5，AC=3，
∴BE=1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．
24．某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示(点M，N表示大学，OA，OB表示公路)．现计划在∠AOB的内部修建一座物资仓库，且仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规作图法确定仓库所在的位置．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】见解析
【分析】作∠AOB的角平分线OC，连接MN作线段MN的垂直平分线EF，EF交OC于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图点P即为所求仓库
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质解决问题．
25．小宇同学将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕．问题：
(1)的度数是多少？写出解答过程；
(2)直线FA'与有怎样的位置关系？请说明理由；
(3)试猜测么、、、、这5个角之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)90°；见解析
(2)，见解析
(3)，见解析
【分析】（1）根据由折叠的性质可得．再由 ，可得∠AEF＋∠BEG＝90°，即可；
（2）由折叠的性质可得，即可求解；
（3）分别过点作DC的平行线，可得过点的平行线互相平行，且都与AB平行，从而得到∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，即可求解．
（1）
解：由折叠的性质得：．
又因为 ，
所以2（∠AEF＋∠BEG）＝180°，
所以∠AEF＋∠BEG＝90°．
（2）
解∶ ，理由如下：
由折叠的性质得：，
所以 ，
所以；
（3）
解：，理由如下：
如图，分别过点作DC的平行线，
因为AB∥DC，
所以过点的平行线互相平行，且都与AB平行，
所以∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，
所以∠1+∠4+∠5+∠8=∠2+∠3+∠6+∠7，
即．
【点睛】本题考查了角的计算以及图形的折叠，解题的关键是明确题意，熟练掌握折叠的性质，平行线的判定和性质是解题的关键．
26．如图，和为等腰三角形，，BE是AD边上的高，请仅用左刻度的直尺分别按下列要求画图：
(1)在图1中，作的边BD上的中线EF；
(2)在图2中，作的边AB上的高DG．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由可知AC是BD的垂直平分线，连接AC交BD于F点，此时F为BD的中点，连接EF即为所求；
（2）根据三角形的三条高线所在的直线交于一点，即可作出的边AB上的高DG．
（1）
解：如图所示：为所求；
（2）
如图所示：为所求．
【点睛】本题考查根据题意作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
(1)图中点C的对应点是点 ，∠B的对应角是 ；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为 ；
(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
【答案】(1)E，∠D
(2)3
(3)∠EAF＝39°
【分析】（1）根据△ABC和△ADE关于直线MN对称，得到图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
（2）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称，得到△ABC≌△ADE，推出BC＝DE＝5，根据BF＝2，得到CF＝BC﹣BF＝3；
（3）根据∠BAC＝108°和∠BAE＝30°，推出∠CAE＝108°﹣30°＝78°，根据对称性得到∠EAF＝∠CAF，推出∠EAF＝＝39°．
（1）
∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
故答案为：E，∠D．
（2）
∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE＝5，
∵BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝3．
故答案为：3．
（3）
∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，
根据对称性知，∠EAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝＝39°．
【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的定义，成轴对称的两个图形的全等性．
28．如图，已知，请用尺规作图法作出边上的中线．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接．
【详解】解：如图，线段即为所求．
【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
29．如图①，，，，连接BD，CE．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)如图②，延长CE交线段AB于点G，交线段BD于点F，若，，且点E在线段AC的垂直平分线上，求的度数．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)
【分析】（1）由可得，即可证明；
（2）由点在线段的垂直平分线上可得，从而可得 ，可得 ，由（1）可得，从而可得，即可求解．
（1）
，理由如下：
证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）
解：点在线段的垂直平分线上，
，
，
，
由（1）可得，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是明确垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
30．综合与实践：折纸中的数学
知识背景
我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线．
知识初探
(1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝ ；
类比再探
(2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由；
(3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）先根据折叠的性质可得，再根据平角的定义可得，然后根据平行线的性质即可得；
（2）先根据折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得出结论；
（3）过点作于，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据折叠的性质可得，从而可得，最后根据等量代换即可得出结论．
（1）
解：由折叠的性质得：，
，，
，
，
，
故答案为：．
（2）
解：，理由如下：
由折叠的性质得：，，
，
，
，
．
（3）
解：，理由如下：
如图，过点作于，
，
又，
，
，
由折叠的性质得：，
，
．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键．
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