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专题08：三角形
一、单选题
1．在△ABC中，AB＝AC＞BC，小明按照下面的方法作图：
①以B为圆心BC为半径画弧，交AC于点D；
②分别以C、D为圆心大于为半径画弧，两弧交于点M；
③作射线BM，交AC于点E．
根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是（ ）
A．是中点 B．∠ABE＝∠CBE
C．BE⊥AC D．△ABC的内心一定在线段BE上
2．等腰三角形ABC中，，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，则AD等于（ ）
A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm
3．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少用( )
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．500a元
4．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC＝（ ）.
A．30° B．20° C．15° D．10°
5．如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
6．如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．15°
9．已知，四边形ABCD中，ADBC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①ABCD；② ED⊥CD；③S△EDF=S△BCF．其中错误的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，已知等腰三角形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在△ABC中，，，E是AB边上的中点，且，点D是AB上一个动点，当CD取最小值时，∠DCE=________．
12．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为20，BP＝4，则AB的长为__________．
13．如图，∠ABC＝60°，点E在射线BC上，且BE＝5，点D在射线AB上移动，在∠ABC内部找一点F，使FD＝FE＝ED，则EF取最小值的时候，BD＝______．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是______．
①线段AD是△ABC的角平分线； ②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上； ④．
15．在△ABC中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11取一值．满足这些条件的互不全等三角形的个数是_____个．
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边AC、BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的F点，若CD=4，CE=3，DE=5，则AB的长为_____________．
17．如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是______．
18．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，延长DE交于AB于F，若EF＝2，则DF＝_________．
19．已知等腰三角形的一边是5，周长是18，则它的腰长为___________．
20．如图，△ABC中，，，CD是△ABC的中线，过点D作BC的平行线与∠BCD的平分线交于点E，则DE的长度为______．
三、解答题
21．如图，点D在线段BC上，连接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的长．
22．如图，△ ABC和△ CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)求∠APM的度数；
(3)连接MN，求证：△ CMN是等边三角形．
23．如图，已知△ ABC是边长为10cm的等边三角形，点F为AC的中点，动点D，E同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点D运动的速度是1cm/s，点E运动的速度是2cm/s，设运动时为t秒．
(1)当t为何值时，△ AFD与△ CFE全等；
(2)当t为何值时，△ BDE为直角三角形．
24．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
(1)求证：∠BAD＝∠EDC：
(2)用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．
25．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：
①BD＝CE，
②AC＝CE＋CD；
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．
26．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
27．如图在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中给出了格点△ABC和格点线段DE（顶点或端点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
(1)画出△ABC关于直线成轴对称的△A1B1C1；
(2)将线段DE进行平移后，使点D的对应点D1与点B1重合，画出平移后的线段D1E1；
(3)填空：∠C1B1E1的度数是_____．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
29．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，EP是AB边的垂直平分线，FQ是AC边的垂直平分线，连接AE，AF，若AB=12，求EF的长．
30．如图，已知AD垂直平分线段BC，交BC于点D，连接AB，AC，且∠C＝60°，E为△ABC外一点，连接AE，BE和DE，DE交AB于点F，且AB平分∠EAD，ED＝EA．
(1)求∠EAD的度数；
(2)求证：AF⊥DE；
(3)试判断BF与BC之间的数量关系，并说明理由．
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专题08：三角形
一、单选题
1．在△ABC中，AB＝AC＞BC，小明按照下面的方法作图：
①以B为圆心BC为半径画弧，交AC于点D；
②分别以C、D为圆心大于为半径画弧，两弧交于点M；
③作射线BM，交AC于点E．
根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是（ ）
A．是中点 B．∠ABE＝∠CBE
C．BE⊥AC D．△ABC的内心一定在线段BE上
【答案】C
【分析】根据作图可知，，得和是等腰三角形，，又根据等腰三角形和全等三角形的性质，即可得到答案．
【详解】如图所示，连接、、，
∵，在以为圆心为半径圆弧上
∴
∴是等腰三角形
∵是分别以、为圆心大于为半径画弧的交点
∴
∴是等腰三角形
在与中
∴
∴，……
∴平分……
∴垂直平分
∴，……
A：由可知是中点，所以错误；
B：由可知，所以错误；
C：由可知，所以正确；
D：由可知不是的角平分线，所以错误；
故选C．
【点睛】本题考察了等腰三角形、全等三角形、三角形边长的关系等知识点，熟练掌握等腰三角的中垂线是解题的关键．
2．等腰三角形ABC中，，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，则AD等于（ ）
A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm
【答案】A
【分析】先根据等腰三角形的定义可得是顶角，再画出图形，根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可得．
【详解】解：等腰三角形中，，
是等腰三角形的顶角
由题意画出图形如下：
为的中点
又
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．
3．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少用( )
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．500a元
【答案】C
【分析】作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，则∠DAC=30°，由AC=30m，即可求出CD=15m，然后根据三角形的面积公式即可推出△ABC的面积为150平方米，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∵CD⊥BD，AC=30m，
∴CD=15m，
∵AB=20m，
∴=AB×CD=×20×15=150(平方米)，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格为150a元．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于做出AB边上的高，根据相关的性质推出高CD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
4．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，则∠DBC＝（ ）.
A．30° B．20° C．15° D．10°
【答案】A
【分析】根据MN是AB的垂直平分线，可得，再结合AB＝AC，∠A＝40°，即可求出∠DBC的度数．
【详解】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴，
∴40°，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴70°，
∴70°－40°＝30°，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形性质，垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质．
5．如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
【答案】C
【分析】首先连接AC，由AE的垂直平分线MN交BE于点C，可得AC＝EC，又由AB＋BC＝BE，易证得AB＝AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝180° 4∠E＋∠E＝105°，继而求得答案．
【详解】解：连接AC，如图所示：
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AC＝EC，
∴∠CAE＝∠E，
∵AB＋BC＝BE，BC＋EC＝BE，
∴AB＝EC＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠CAE＋∠E＝2∠E，
∴∠B＝2∠E，
∴∠BAC＝180° ∠B ∠ACB＝180° 4∠E，
∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝180° 4∠E＋∠E＝105°，解得：∠E＝25°，
∴∠B＝2∠E＝50°，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用是解决问题的关键．
6．如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质即可得到结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：①∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP，
∵PGAD，
∴∠APG=∠CAP，
∴∠APG=∠BAP，
∴GA=GP，故①正确；
②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，
如图，过点分别作垂直与，垂足分别为L，K，M，
则
∴点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠BCP，
故②正确；
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
（三线合一）
∴BP垂直平分CE，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
7．如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【详解】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
CP+EP的最小值是：8．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．15°
【答案】A
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴D为BC中点，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP=30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
9．已知，四边形ABCD中，ADBC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①ABCD；② ED⊥CD；③S△EDF=S△BCF．其中错误的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据平行线性质求出∠ABC=∠ADC，得出∠A+∠ADC=180°，，推出ABCD；根据等腰三角形性质求出DE⊥AB即可推出DE⊥CD；根据等底等高的三角形面积相等即可推出③．
【详解】解：∵ADBC，
∴∠A+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，
∵∠A=∠BCD，
∴∠ABC=∠ADC，
∴∠A+∠ADC=180°，
∴ABCD，
∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
∴DE⊥CD，
∵ABCD，
∴△BED的边BE上的高和△EBC的边BE上的高相等，
∴由三角形面积公式得：S△BED=S△EBC，
都减去△EFB的面积得：S△EDF=S△BCF，
∴①②③都正确，
即错误的个数是0个，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用，关键是推出ABCD．
10．如图，已知等腰三角形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交腰于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质，得到∠ABC=∠ACB=∠BEC=70°，从而得到∠EBC=40°，故可求∠ABE=∠ABC-∠EBC=70°-40°，计算选择即可．
【详解】解：因为AB=AC，BE=BC，∠A=40°，
所以∠ABC=∠ACB=∠BEC=70°，
所以∠EBC=40°，
所以∠ABE=∠ABC-∠EBC=70°-40°=30°，
故选C．
【点睛】本题考查了等边对等角及三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角的性质是解题的关键．
二、填空题
11．在△ABC中，，，E是AB边上的中点，且，点D是AB上一个动点，当CD取最小值时，∠DCE=________．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据垂线段最短可得当时，取最小值，则此时，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可得．
【详解】解：是边上的中点，
，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当时，取最小值，则此时，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、垂线段最短等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
12．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为20，BP＝4，则AB的长为__________．
【答案】8
【分析】根据角平分线的定义得到∠CBQ=∠ABC，再由等角对等边得到CQ=BQ，得到BQ+AQ=CQ+AQ=AC；过点P作PDBQ，由“AAS”可证△ABP≌△ADP，由全等三角形的性质可得AB=AD，BP=DP，得到AB+BP=AD+CD=AC，即BQ+AQ=AB+BP，即可得出AB的长．
【详解】解：∵BQ是∠ABC的角平分线，
∴∠CBQ=∠ABC．
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠CBQ=∠ABC=∠C，
∴ BQ=CQ，
∴ BQ+AQ=CQ+AQ=AC（1）．
如图所示，过点P作PDBQ交CQ于点D，
则∠CPD=∠CBQ＝∠C，∠ADP=∠AQB，
∴△PDC是等腰三角形，
∴CD＝PD，
∵∠AQB=∠C+∠CBQ=2∠C，
∴∠ADP=2∠C，
∴∠ABC=∠ADP．
又∵AP是∠BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠CAP．
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=DP＝CD，
∴AB+BP=AD+CD=AC（2），
由（1）（2）得：BQ+AQ=AB+BP，
又∵△ABQ的周长为20，BP=4，
∴20－AB= AB+4，
∴ AB=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质、三角形的外角性质的综合应用．作辅助线，证三角形全等是解题的关键．
13．如图，∠ABC＝60°，点E在射线BC上，且BE＝5，点D在射线AB上移动，在∠ABC内部找一点F，使FD＝FE＝ED，则EF取最小值的时候，BD＝______．
【答案】2.5
【分析】由FD＝EF＝ED得到EF最小时，ED取得最小值，然后过点E作E⊥AB于点，即可得到EF最小，然后利用含30°角的直角三角形的三边关系求得BD的长度．
【详解】解：∵FD＝FE＝ED，
∴EF取最小值时，DE取得最小值，
如图，过点E作E⊥AB于点，则∠BD'E＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BE＝30°，
∵BE＝5，
∴BD'＝BE＝×5＝2.5，
∴EF取得最小值时，BD的长为2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是熟知“垂线段最短”得到EF最小值时点D的位置．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是______．
①线段AD是△ABC的角平分线； ②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上； ④．
【答案】①②③④
【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式即可得出两个三角形的面积之比．
【详解】解：由作法得，AD平分∠BAC，故①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴点D在AB的垂直平分线上，故③正确；
∵在直角△ACD中，∠CAD=30°，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴．故④正确．
综上所述，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
15．在△ABC中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11取一值．满足这些条件的互不全等三角形的个数是_____个．
【答案】6
【分析】作出图形，过点A作AD⊥BC于D，根据直角三角形30°30°角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后讨论求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵∠ABC=30°，AB=10，
∴AD=5，
当AC=4时，不能作出三角形，
当AC=5时，可作1个三角形，
当AC=7时，可作2个三角形，
当AC=9时，可作2个三角形，
当AC=11时，可作1个三角形，
所以，满足条件的互不全等的三角形共有1+2+2+1=6(个)，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，难点在于AC的长度大于AD小于AB时可以作2个三角形．
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在边AC、BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的F点，若CD=4，CE=3，DE=5，则AB的长为_____________．
【答案】
【分析】连接交于，由已知，由三角形面积公式可求，由折叠的性质可求，由等腰三角形的判定可得，即可求的长．
【详解】解：如图，连接交于，
将沿折叠，点恰好落在上的处，
，，
，，，，
，
，
，
，
，且，，
，
，
同理可求：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定，证明是本题的关键．
17．如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是______．
【答案】
【分析】如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，根据“SAS”证明，得出，得出，从而得出当A、G、E三个点在同一直线上时，的值最小，最后求出AG的值即可．
【详解】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵CD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
，
，
，
当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
18．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，延长DE交于AB于F，若EF＝2，则DF＝_________．
【答案】6
【分析】由，得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质和，推出BE=4，再由∠DBE=∠CDE=30°，推出ED=BE=4，从而求出DF的长度．
【详解】解：∵，，
∴△ABC是等边三角形，
又∵，
∴∠AEB=90°，∠ABE=∠DBE=30°，
∵∠ACB=60°，，
∴∠CED=∠CDE=30°，
∴∠AEF=30°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BFE=90°，
∵，
∴BE=4，
∵∠DBE=∠CDE=30°，
∴ED=BE=4，
∴ ED+EF=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF是直角三角形．
19．已知等腰三角形的一边是5，周长是18，则它的腰长为___________．
【答案】5或6.5
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，分类讨论，即可判断求解．
【详解】以5为腰，则第三边等于8，因为 ，符合；
以5为底，则腰为6.5，因为 符合．
故答案为：5或6.5
【点睛】本题考查等腰三角形的定义以及三角形三边长关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，”是关键．
20．如图，△ABC中，，，CD是△ABC的中线，过点D作BC的平行线与∠BCD的平分线交于点E，则DE的长度为______．
【答案】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，根据30°所对的直角边等于斜边的一半得出CD=AC，再根据平行线的性质求得∠E=∠ECB，进而求得∠E=∠DCE，从而得出DE的长．
【详解】解：∵∠A=∠B=30°，
∴AC=BC=7，
∵CD是底边AB上的中线，
∴CD⊥AB，
∵∠A=30°，
∴CD=AC==，∵DEBC，
∴∠E=∠ECB，
∵CE平分∠BCD，
∴∠ECB=∠DCE，
∴∠E=∠DCE，
∴DE=CD=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，判断出DE=CD是解题的在关键．
三、解答题
21．如图，点D在线段BC上，连接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的长．
【答案】2
【分析】过B作BM⊥AD，交AD的延长线于点M，再证明△BDM≌△CDA，即有AC=BM；在Rt△ABM中，∠1=30°，即可得BM=AB=2，则问题即可得解．
【详解】过B作BM⊥AD，交AD的延长线于点M，如图，
∵BM⊥AD，CA⊥AD，
∴∠DAC=∠DMB=90°，
∵BD=DC，∠BDM=∠CDA，
∴△BDM≌△CDA，
∴AC=BM，
∵在Rt△ABM中，∠1=30°，AB=4，
∴BM=AB=2，
∴AC=2，
即AC的长为2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，构造辅助线BM、DM是解答本题的关键．
22．如图，△ ABC和△ CDE都是等边三角形，B、C、D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC与BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)求∠APM的度数；
(3)连接MN，求证：△ CMN是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)60°
(3)见解析
【分析】（1）由△ ABC和△ CDE都是等边三角形得到，，∠BCE＝∠ACD
（2）证
（3）先证△ MCE≌△ NCD，求出∠MCN＝60°，再由等边三角形的判定证明
（1）
证明：∵△ ABC和△ CDE都是等边三角形，
∴ BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴ ∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△ ACD和△ BCE中
，
∴ △ ACD≌△ BCE（SAS）；
（2）
解：由（1）知，△ACD≌△BCE，
则∠DAC＝∠EBC，
即∠PAM＝∠CBM，
∵∠AMP＝∠BMC，
∴∠APM＝∠BCM，
∵∠BCM＝60°，
∴∠APM＝60°；
（3）
证明：由（1）知，△ACD≌△ BCE，
则∠ADC＝∠BEC，
即∠CDN＝∠CEM，
∵∠ACE＝60°，∠ECD＝60°，
∴∠MCE＝∠NCD，
在△MCE和△ NCD中，
，
∴ △ MCE≌△ NCD（AAS），
∴ CM＝CN，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN是等边三角形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，等边三角形的判定及性质，找到判定定理需要的条件是解题关键．
23．如图，已知△ ABC是边长为10cm的等边三角形，点F为AC的中点，动点D，E同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点D运动的速度是1cm/s，点E运动的速度是2cm/s，设运动时为t秒．
(1)当t为何值时，△ AFD与△ CFE全等；
(2)当t为何值时，△ BDE为直角三角形．
【答案】(1)
(2)t＝2或5
【分析】（1）由△ AFD与△ CFE全等的性质分类讨论，列方程求解．
（2）分成∠DEB＝90°或者∠BDE＝90°两种情况讨论求解．
（1）
解：由题意可得：t秒时，AD＝tcm，BE＝2tcm，
在等边△ ABC中，∠A＝∠C＝∠B＝60°，AC＝BC＝AB＝10cm，
∵点F为AC的中点，
∴ AF＝CF＝5cm，
①当△ AFD≌△ CFE时，AD＝CE，
∴ t＝10﹣2t，
解得：t＝，
②当△ AFD≌△ CEF时，AF＝CE，
∴ 10﹣2t＝5，
解得：t＝，
此时AD＝CF，故此情况不成立，
综上，当t＝时，△ AFD与△ CFE全等；
（2）
∵∠B＝60°，
当∠DEB＝90°时，则∠BDE＝30°，
∴ BE＝BD，
∴ 2t＝×（10﹣t），
解得：t＝2，
当∠BDE＝90°时，则∠DEB＝30°，
∴ BD＝BE，
10﹣t＝，
解得：t＝5，
综上，当t＝2或5时，△ BDE为直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形的全等性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题关键．
24．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．
(1)求证：∠BAD＝∠EDC：
(2)用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)AB＝CD+CE，见解析
【分析】（1）先证△ CEF为等边三角形，再求得∠ADB＝∠DEF
（2）由△ADB≌△DEF的性质得到
（1）
证明：延长BC至F，使CF＝CE，连接EF，
∵△ ABC是等边三角形，
∴ AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ECF＝∠ACB＝60°，
∵CF＝CE，
∴ △ CEF为等边三角形，
∴∠F＝∠CEF＝60°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵∠ADB＝∠DAE+∠ACB＝∠DAE+60°，
∠DEF＝∠CEF+∠DEA＝60°+∠DEA，
∴∠ADB＝∠DEF，
在△ ADB和△ DEF中，
，
∴ △ADB≌△DEF（AAS），
∴ ∠BAD＝∠EDF，
即∠BAD＝∠EDC．
（2）
证明：∵△ADB≌△DEF，
∴ AB＝DF，BD＝EF，
∵ DF＝DC+CF＝CD+CE，
∴ AB＝CD+CE．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，找出对应边与对应角是解题关键．
25．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：
①BD＝CE，
②AC＝CE＋CD；
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)AC+CD＝CE，见解析
【分析】（1）①证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得证；②根据BD＝CE．BC＝BD+CD，有BC＝CE+CD．即有AC＝CE+CD；
（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）即可得证．
（1）
①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
∵在等边△ABC中，BC＝AC，
∴AC＝CE+CD；
（2）
不成立，AC+CD＝CE．理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD，
∵BC＝AC，
∴AC+CD＝CE．
得证．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质综合以及等边三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
26．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)直角三角形，见解析
(3)125°，或140°，或110°
【分析】（1）根据旋转后，图形不变，，，根据等边三角形的判定定理，即可证明是等边三角形；
（2）根据旋转后，图形不变，，根据是等边三角形，得，得，即可证明的形状；
（3）根据是等腰三角形，依次讨论，，；根据等边对等角，进行讨论，求出的度数，即可．
（1）
∵绕点按顺时针方向旋转得
∴，
∴是等边三角形．
（2）
∵是由旋转后得到的
∴
∵是等边三角形
∴
∵
∴
∴是直角三角形．
（3）
∵是由旋转后得到的
∴
∴
∵是等边三角形
∴，
∴
∵
∴
∴
∵在中，
∴
∴
∵是等腰三角形
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴当为、、时，是等腰三角形．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形，等腰三角形等知识，解题的关键是掌握旋转后图形大小不变，等边三角形的判定，等腰三角形的性质．
27．如图在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中给出了格点△ABC和格点线段DE（顶点或端点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
(1)画出△ABC关于直线成轴对称的△A1B1C1；
(2)将线段DE进行平移后，使点D的对应点D1与点B1重合，画出平移后的线段D1E1；
(3)填空：∠C1B1E1的度数是_____．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)45°
【分析】（1）根据轴对称作出点A，B，C的对应点，连接可得．
（2）由平移的性质作出点E平移后的点，连接D1E1
（3）补出，易知为等腰直角三角形，可求∠C1B1E1
（1）
解：如图，△A1B1C1即为所求．
（2）
解：如图，线段D1E1即为所求
（3）
延长交于格点F，连接，如图，
易知为等腰直角三角形
故答案为：45°
【点睛】本题考查作图—轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠DEF=65°．
【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠BDE=∠CEF，然后求出∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B=∠DEF．
（1）
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）
解：∵△BDE≌△CEF，
∴∠BDE=∠CEF，
∴∠BED+∠CEF=∠BED+∠BDE，
∵∠B+（∠BED+∠BDE）=180°，
∠DEF+（∠BED+∠BDE）=180°，
∴∠B=∠DEF，
∵∠A=50°，AB=AC，
∴∠B=（180°-50°）=65°，
∴∠DEF=65°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
29．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，EP是AB边的垂直平分线，FQ是AC边的垂直平分线，连接AE，AF，若AB=12，求EF的长．
【答案】
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=180°-∠B-∠C=105°．由线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质得出AE=BE，AP=PB=AB=6，∠AEF=∠BAE+∠B=60°．在Rt△BPE中，通过勾股定理求出BE=，再求出∠EAF=30°，∠AFE=90°，根据含30度角的直角三角形的性质求出EF．
【详解】解：在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=105°．
∵EP是AB边的垂直平分线，
∴AE=BE，AP=PB=AB=×12=6，EP⊥AB．
∴∠BAE=∠B=30°，
∴∠AEF=∠BAE+∠B=60°．
在Rt△BPE中，∵∠BPE=90°，∠B=30°，
∴BE=2PE，，
∴
解得：，
∴BE=，
∵FQ是AC边的垂直平分线，
∴FC=FA，
∴∠FAC=∠C=45°，
∴∠EAF=∠BAC-∠BAE-∠FAC=105°-30°-45°=30°，
∴∠AFE=180°-∠EAF-∠AEF=180°-30°-60°=90°，
∴EF=AE=BE=．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟记定理是解题的关键．
30．如图，已知AD垂直平分线段BC，交BC于点D，连接AB，AC，且∠C＝60°，E为△ABC外一点，连接AE，BE和DE，DE交AB于点F，且AB平分∠EAD，ED＝EA．
(1)求∠EAD的度数；
(2)求证：AF⊥DE；
(3)试判断BF与BC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠EAD＝60°
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质结合题意可证明△ABC为等边三角形，即得出∠BAD＝30°，再由角平分线的定义即可求出∠EAD＝60°；
（2）由等边三角形“三线合一”的性质即可证明；
（3）由等边三角形的性质可知∠FBD=60°，．再结合含30°角的直角三角形的性质即得出．
（1）
∵AD垂直平分线段BC，
∴AB=AC．
∵∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAD＝30°．
∵AB平分∠EAD，
∴∠EAD＝60°；
（2）
∵ED＝EA，
∴△AED为等边三角形．
∵AB平分∠EAD，
∴AF⊥DE；
（3）
∵△ABC为等边三角形，
∴∠FBD=60°，．
∵∠BFD=90°，
∴，
∴．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题关键．
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