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专题09：最短路径问题
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是( )
A． B． C． D．
2．如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分线上一点，PD⊥AO，垂足为D，点M是OP的中点，且DM＝4，如果点C是射线OB上一个动点，则PC的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），，在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF=4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
6．如图，已知点、分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．如图，在中，，以AC为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交AB，AC于点E，F．若，，点P是直线DE上的一个动点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．20
8．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为( )
A．82° B．84° C．88° D．92°
9．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D，E，AC＝3，CB＝4．点F是直线l上的一个动点，则△ACF周长的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是______．
12．如图，已知，直线于点D，且，点P是直线a上一动点，连接PB，PC，若，，，则周长的最小值是______．
13．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是上的任意一点，则周长的最小值是________cm．
14．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是上的任意一点，则周长的最小值是________cm．
15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB= ____________ ．
16．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是________．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
17．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
18．如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为____________．
19．如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________．
20．如图，在Rt△ABC中，，，，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为______．
三、解答题
21．如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．
(1)求的最小值，并说明理由．
(2)求周长的最小值．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
(1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是 ；
(2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
(3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．
23．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
(1)请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
(2)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．
(3)若网格上的最小正方形边长为1，求△ABC的面积．
24．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（-4，1）、B（-3，3）、C（-1，2）．
(1)请作出△ABC向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的△A B C ；
(2)作△ABC关于y轴对称的△A B C ；
(3)在x轴上求作点N，使△NBC的周长最小（保留作图痕迹）．
25．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，D是BC的中点，，P为AB上一个动点．
(1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小________（填“是”或“否”）；
(2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中的坐标分别是，，．
(1)画出关于x轴对称的图形．
(2)求的面积．
(3)在y轴上是否存在一点P，使的值最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（3，4），请解答下列问题：
(1)画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)在 y 轴上画一点P，使PA+PB最短．
28．如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）．
29．已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
(1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
(2)求证：BD＝PC；
(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
30．如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
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专题09：最短路径问题
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，线段所在直线的解析式为，是的中点，是上一动点，则的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点关于的对称点，连接，与的交点，即符和条件的点，再求出，的坐标，根据勾股定理求出的值，即为的最小值．
【详解】作点关于的对称点，连接交于，
此时，的值最小，最小值为的长，
∵线段所在直线的解析式为，
∴，，
∴，，
是的中点，
∴，
∵是点关于的对称点，
∴，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴的最小值是．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数求点的坐标和性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，掌握轴对称最短路径的确定方法是解题的关键．
2．如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分线上一点，PD⊥AO，垂足为D，点M是OP的中点，且DM＝4，如果点C是射线OB上一个动点，则PC的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．
【详解】
∵P是∠AOB角平分线线上一点，且∠AOB＝
∴∠AOP＝∠AOB＝
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4
∴OP＝2DM＝8
∴PD＝OP＝4
∵C点是OB上一个动点
∴当PC丄OB时，PC的值最小
此时PC＝PD＝4
∴PC的最小值为4
故选C
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，直角三角形的性质，.熟记性质并做出辅助线构造直角三角形是集体的关键．
3．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，推出EF+CF最小时即为CM，再根据等边三角形的性质可得结果．
【详解】解：作点E关于AD对称的点M，连接CM，与AD交于点F，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴M在AB上，
∴MF=EF，
∴EF+CF=MF+CF=CM，
即此时EF+CF最小，且为CM，
∵AE=2，
∴AM=2，即点M为AB中点，
∴∠ECF=30°，
故选C．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到CM是解题的关键．
4．如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），，在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，可求得，，由三角形的内角和求得即可解答.
【详解】解：∵，
∴如图，分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，
∵BM垂直平分，EN垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查平面内最短路径问题，涉及两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平面内最短路径的求解方法是解答的关键.
5．如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF=4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为（ ）
A．15° B．25° C．30° D．45°
【答案】C
【分析】取AC得中点G，连接BG，交AD于点E，由等边△ABC的边长为8，BF＝4知点F是AB中点，据此得点G与点F关于AD对称，此时BE+FE＝BG最小，再根据等边三角形的性质可得答案．
【详解】解：取AC得中点G，连接BG，交AD于点E，
∵等边△ABC的边长为8，BF＝4，
∴点F是AB中点，
∴点G与点F关于AD对称，
此时BE+EF＝BG最小，
根据等边三角形的性质知∠EBC∠ABC＝30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是利用等边三角形的性质找对称点．
6．如图，已知点、分别是等边三角形中、边的中点，，点是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】连接CE交AD于点F，连接BF，此时BF＋EF的值最小，最小值为CE．
【详解】解：连接CE交AD于点F，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，D为BC中点，
∴BF＝CF，
∴BF＋EF＝CF＋EF＝CE，
此时BF＋EF的值最小，最小值为CE，
∵D、E分别是等边△ABC中BC、AB边的中点，
∴AD＝CE，
∵AD＝6，
∴CE＝6，
∴BF＋EF的最小值为6，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键．
7．如图，在中，，以AC为底边在外作等腰，过点D作的平分线分别交AB，AC于点E，F．若，，点P是直线DE上的一个动点，则周长的最小值为（ ）
A．15 B．17 C．18 D．20
【答案】A
【分析】根据点A与点C关于DE对称，即可得出PC＝PA，当点P与点E重合时，PC＋PB＝PA＋PB＝AB，此时△PBC的周长最小，根据含30度角的直角三角形的性质求出AB即可得到△PBC周长的最小值．
【详解】解：∵△ACD是以AC为底边的等腰三角形，DE平分∠ADC，
∴ED垂直平分AC，
∴点A与点C关于DE对称，
∴PC＝PA，
如图所示，当点P与点E重合时，PC＋PB＝PA＋PB＝AB，
此时△PBC的周长最小，
∵BC＝5，，，
∴AB＝2BC＝10
∴△PBC周长的最小值为：PB＋PC＋BC＝PB＋PA＋BC＝AB＋BC＝10＋5＝15，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．如图，若∠AOB=44°，为∠AOB内一定点，点M在OA上，点N在OB上，当△PMN的周长取最小值时，∠MPN的度数为( )
A．82° B．84° C．88° D．92°
【答案】D
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，的周长的最小值为长度，然后依据等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可．
【详解】解：如图所示：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接交OA于M，交OB于N，
∴，，，
根据轴对称的性质可得，，
∴的周长的最小值为长度，
由轴对称的性质可得，
∴等腰中，
，
∴
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
9．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7．
【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，直线l垂直平分AB分别交CB、AB于点D，E，AC＝3，CB＝4．点F是直线l上的一个动点，则△ACF周长的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】C
【分析】由直线垂直平分可得与点重合时，最小，最小值是，由三角形的周长公式即可求出周长的最小值．
【详解】解：连接，如下图：
直线垂直平分，
，关于直线为对称，
与点重合时，最小，最小值是，
周长的最小值，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解题的关键是正确地求出周长的最小值．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是______．
【答案】15
【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．
【详解】解：如图，连接PC．
∵EF垂直平分线段BC，
∴PB=PC，
∴PA+PB=PA+PC≥AC=9，
∴PA+PB的最小值为9，
∴△ABP的周长的最小值为6+9=15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
12．如图，已知，直线于点D，且，点P是直线a上一动点，连接PB，PC，若，，，则周长的最小值是______．
【答案】8
【分析】先找出点关于的对称点，交于，则的周长最小，求出即可．
【详解】解：设直线与交于，当点与点重合时，最小，即的周长最小，
直线于点，且，
直线是的垂直平分线，
，
的周长，
周长的最小值是8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查轴对称最短路线问题，解题的关键是确定点的位置．
13．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是上的任意一点，则周长的最小值是________cm．
【答案】12
【分析】当点于重合时，的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出的周长．
【详解】∵DE垂直平分AC，∴点C与A关于DE对称，
∴当点于重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），
∴的周长为：，
∵是垂直平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键．
14．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点是上的任意一点，则周长的最小值是________cm．
【答案】12
【分析】当点于重合时，的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出的周长．
【详解】∵DE垂直平分AC，∴点C与A关于DE对称，
∴当点于重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），
∴的周长为：，
∵是垂直平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键．
15．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB= ____________ ．
【答案】30°##30度
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；PN=CN，OP=OD，∠DOA=∠POA，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD=5，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明△OCD是等边三角形是解决问题的关键．
16．为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李厝B的群众出行到河岸a．张庄A和李厝B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李厝B到河岸b的距离分别为、，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥建造的位置是________．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）
【答案】到AC的距离为p（m）处．
【分析】作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，此时P点到A与B的距离和最短，然后求出AM＝（p＋q）m，可得∠CAP＝45°，则AC＝CP，问题得解．
【详解】解：作B点关于直线b的对称点B'，连接AB'交b于点P，
∴BP＝B'P，
∴AP＋BP＝AP＋B'P≥AB'，此时P点到A与B的距离和最短，
过B'作B'M∥CD，延长AC与B'M交于点M，
∴B'M＝CD，
∵AC＝p（m）、BD＝q（m），CD＝（p＋q）m，
∴AM＝（p＋q）m，
∴∠CAP＝45°，
∴AC＝CP，
∴P点与C点的距离是p（m），
∴这座桥建造的位置是：到AC的距离为p（m）处，
故答案为：到AC的距离为p（m）处．
【点睛】此题主要考查了最短路线问题；作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的难点．
17．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
【答案】3
【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及，对线段长度进行等量转化即可．
【详解】
解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点、，连接、、、、，其中分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得周长的最小的位置．
由对称性可知：，
，
为等边三角形
的周长===3
故答案为：3
【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．
18．如图，的面积为24，的长为8，平分，E、F分别是和上的动点，则的最小值为____________．
【答案】6
【分析】在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，得出．根据E、F分别是和上的动点，三角形三边的关系和垂线段最短得出，求出的长即可得出的最小值．
【详解】解：如图所示，在上取点，使，过点C作，垂足为H，连接、，交于，．
∵的面积为24，的长为8，
∴，
∴，
∵平分，
∴
又∵，，
∴≌（SAS），
∴，
∴，
∵E、F分别是和上的动点，
∴，
∴
∴当C、E、共线且点与点H重合时，即，这时的值最小，
∴最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题．灵活应用角平分线性质、三角形三边的关系、垂线段最短，将所求最小值转化为求的长是解题的关键．
19．如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________．
【答案】160°
【分析】要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案．
【详解】
作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，
则即为周长最小值
，
故答案为：160°．
【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题，涉及平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC中，，，，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作点M关于BD的对称点，连接P=PM，BM=B=1，当N，P，在同一直线上，且时，的值最小，等于垂线段的长，据此解答
【详解】解：作点M关于BD的对称点，连接P=PM，BM=B=1，
，
当N，P，在同一直线上，且时，的值最小，等于垂线段的长，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查最短路线问题，涉及垂线段最短、含30°角直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
21．如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．
(1)求的最小值，并说明理由．
(2)求周长的最小值．
【答案】(1)6，理由见解析
(2)10
【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；
（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．
（1）
解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短
；
原因：两点之间，线段最短．
（2）
∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，
∴点C关于直线m的对称点是点B，
则，
∵，
∵，
要使周长最小，
即最小，
当点P是直线m与AB的交点时，最小，
即，此时．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
(1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是 ；
(2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
(3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)50°
(2)∠AMN =2∠B-90°，理由见解析
(3)①6cm；②存在，图见解析，8cm
【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（2）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，再根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
（3）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据题意得出点B关于直线MN的对称点为点A，要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，此时点P与点M重合，则可得PB＋PC的最小值．
（1）解：∵AB=AC，∠B=70°，∴∠B=∠C=70°，∴，∵MN垂直平分AB，∴，∴．故答案为：50°．
（2）解：∠AMN =2∠B-90°；理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B，又∵MN是AB的垂直平分线，∴∠ANM=90°，∴∠A+∠AMN=90°，∴∠AMN=90-∠A=90°-（180°-2∠B）=2∠B 90°．
（3）①∵MN是AB的垂直平分线∴AM=BM∵C△BCM =BM+BC+CM=AM+MC+BC=AC+BC=14cm，又∵AB=AC=8cm，∴BC=14-8=6（cm）；②∵MN是AB的垂直平分线，∴AN=BN，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，∴点P与点M重合，PB+PC=AC=8cm，∴PB＋CP的最小值是8cm．
【点睛】本题主要考查了轴对称，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
23．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
(1)请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1，B1，C1的坐标．
(2)在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．
(3)若网格上的最小正方形边长为1，求△ABC的面积．
【答案】(1)见解析；点A1（1，-1），点B1（4，-2），点C1（3，-4）
(2)见解析
(3)
【分析】（1）找出三个顶点的对称点，顺次连接即可；
（2）先做出点A关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为点P；
（3）根据割补法，三角形面积为3×3的正方形面积减去三个三角形的面积．
(1)
如图所示，△A1B1C1即为所求：A1（1，-1），B1（4，-2），C1（3，-4）
；
(2)
(3)
．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的对称、将军饮马问题、割补法求面积等内容，掌握点的坐标是解题的关键．
24．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A（-4，1）、B（-3，3）、C（-1，2）．
(1)请作出△ABC向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的△A B C ；
(2)作△ABC关于y轴对称的△A B C ；
(3)在x轴上求作点N，使△NBC的周长最小（保留作图痕迹）．
【答案】(1)答案见详解；
(2)答案见详解；
(3)答案见详解；
【分析】（1）分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A ，B ，C 再顺次连接A B C1；
(2)分别作出点A， B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；
(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，即可；
(1)
如图所示：分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A ，B ，C 再顺次连接A B C1；
(2)
如图所示：分别作出点A， B， C关于y轴的对称点A2，B2，C2，再首尾顺次连接可得；
(3)
作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，△NBC的周长最小；
【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，图形的平移，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．
25．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，，D是BC的中点，，P为AB上一个动点．
(1)在AB上，是否存在一点P，使PC + PD的值最小________（填“是”或“否”）；
(2)若存在，请直接写出PC + PD的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是；
(2)
【分析】（1）作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小；
（2）证明∠CBE=90°，根据PC + PD的最小值等于CE计算即可．
（1）
如图，作D关于直线AB的对称点E，连接CE，与AB的交点即为P，此时PC + PD的值最小；
故答案为：是
（2）
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CBA=45°
∵D关于直线AB的对称点E
∴∠CBA=∠EBA=45°，EB=BE，PD=PE
∴∠CBE=90°
∵D是BC的中点
∴DB=DC=BE
∵
∴
∴
∴
即PC + PD的最小值为
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的性质及判定，利用轴对称的性质对线段进行转化是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中的坐标分别是，，．
(1)画出关于x轴对称的图形．
(2)求的面积．
(3)在y轴上是否存在一点P，使的值最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)画图见解析；
(2)9；
(3)存在，P(0，3)，理由见解析．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴对称的图形；
（2）根据网格利用割补法即可求出的面积；
（3）作B点关于y轴的对称点B′，连接A B′交y轴与点P，此时PA+PB的值最小．
(1)
解：如图，即为所求：
(2)
解：；
(3)
解：如图，作B点关于y轴的对称点B′，连接A B′交y轴与点P，此时PA+PB的值最小，由图可知，P点坐标为P(0，3)．
【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
27．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（3，4），请解答下列问题：
(1)画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)在 y 轴上画一点P，使PA+PB最短．
【答案】(1)图见解析，B1（5，-2）
(2)见解析
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）先作B点关于y轴的对称点B′，然后连接AB′交y轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
(1)
解：如图，△A1B1C 1 为所求作；B1（5，﹣2）；
(2)
解：如图，点P即为所作．
【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
28．如图，点A在中，点B、C分别在边OM、ON上．请画出，使的周长最小（请保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】分别作出点A关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点即为所确定的点．
【详解】①分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；
②连接A′、A″，分别交OM，ON于点B、点C，连接AB、AC、BC，则△ABC即为所求．
【点睛】此题主要考查了作图 复杂作图，轴对称 最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．
29．已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
(1)直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
(2)求证：BD＝PC；
(3)点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
【答案】(1)△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由见解析
(2)见解析
(3)45°
【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠BEC=∠ACB=67.5°，∠A=∠ACD=45°，∠CPE=∠CEP=67.5°，可得结论；
（2）在线段DA上取一点H，使得DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=EC，可得结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的值最小，证明∠M+∠F=67.5°，可得结论．
(1)
解：△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
(2)
证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴ ；
(3)
解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
30．如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；
（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7
【分析】（1）证明△ADC≌△CEB（SAS）即可；
（2）根据DE∥BC，得到AD=AE，即t=10-t，求出t即可；
（3）作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，则DP+PE=D'E，证明△CD′E为等边三角形，即可求D'E的值．
【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，
∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），
∴BE=CD，
∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，
∴AD=AE，
∵AB=AC=10，
∴t=10-t，
∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，
∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，
∴DP+PE=D'P+PE=D'E，
∵t=7，
∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，
∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E为等边三角形，
∴D'E=CD′=7，
∴PD+PE的最小值为7．
【点睛】本题考查动点及等边三角形的性质，利用轴对称性确定线段DP+PE=D'E，再由等边三角形的性质求解D'E的长是解题的关键．
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