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专题12：因式分解
一、单选题
1．我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：①7是广义勾股数：②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数；则正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．对于任意的有理数,我们规定 ,如 ．求的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若多项式能因式分解成，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若，则m+n的值为（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
8．下列因式分解正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列多项式能进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________．
12．已知正整数a，b，c（其中）满足，则的最小值是__________．
13．已知：，因式分解，结果为_______________．
14．实数范围内分解因式x2 -3=________；化简：=_____．
15．已知，，则的值为____________．
16．某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数，再除以质数，结果又得到了567，则___________．
17．已知一个正方形的面积是，且，则它的边长是______．
18．矩形的周长是，两边x，y使，则矩形面积为_________
19．因式分解：______________；________；
__________；________
20．（________）；（________）； ________；
三、解答题
21．甲、乙两人各持一张分别写有整式A、B的卡片．已知整式，下面是甲、乙二人的对话：
甲：我的卡片上写着整式，加上整式C后得到最简整式D； 乙：我用最简整式B加上整式C后得到整式．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求整式D和B；
(2)请判断整式D和整式E的大小，并说明理由．
22．阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
23．如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示图中S3；
(2)求长方体的表面积．
24．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②），根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
(2)如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是 ；
(4)请你依照该同学的方法，在指定位置画出拼图并利用拼图分解因式＝ ．
25．附加题：已知实数m，n，p，q满足m+n=p+q=4，mp+nq=4，求（m +n ）pq+mn（p +q ）的值
26．（1）解不等式：
（2）解不等式组：
（3）分解因式：
（4）分解因式：
（5）先化简，再求值：，其中，．
27．把下列各式进行因式分解：
(1)
(2)
(3)
28．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
(1)不论x，y为何有理数，的值均为( )
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
(2)若，求的值．
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
29．阅读题目并回答下列问题：
(1)为了求整式的值，我们必须知道x的值．
若x＝1，则的值为 ；
若x＝2，则的值为 ．
可见，这个整式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是没有办法来考虑这个整式的值的范围；
(2)若把一个多项式进行部分因式分解可以来解决整式值的最大（或最小）值问题．例如：．因为是非负数，所以的最小值是 ，这时相应的x的值是 ；
(3)尝试探究并解答：
①求x2﹣10x+35的最小值，并写出相应x的值；
②求﹣x2﹣8x+15的最大值，并写出相应的x的值．
30．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
(1)上述操作能验迁的等式是 （请选择正确的选项）
A．a-ab=a（a-b） B．a-2ab+b=（a-b） C．a+ab=a（a+b） D．a-b=（a+b）（a-b）
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b=
②计算：
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专题12：因式分解
一、单选题
1．我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：①7是广义勾股数：②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数；则正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】结合题意，根据有理数乘方、有理数加法进行计算，即可得到答案．
【详解】∵或或，
∴7不是广义勾股数，即①错误；
∵ ，
∴13是广义勾股数，即②正确；
∵，，则5和10都是广义勾股数，
＝1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8，很显然15不是广义勾股数，
∴③错误；
设
则
＝
当ad=bc或ac=﹣bd时，，
∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2=4，4不是广义勾股数,故④结论正确；
故②④正确
故选：D
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、公式法因式分解等知识，解题的关键是熟练掌握有理数乘方、公式法因式分解．
2．对于任意的有理数,我们规定 ,如 ．求的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据新规定得出再根据提公因式法分解因式即可得出答案．
【详解】解：
故选A
【点睛】本题考查了新定义运算，涉及到提公因式法分解因式，灵活运用因式分解的方法是解题的关键．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过查看等式左右两边是否相等，即可判断因式分解正确与否．
【详解】A项：右边= 左边，错误；
B项：左边等于右边，正确，故为本题答案；
C项：右边= 左边，错误；
D项：右边= 左边，错误；
故本题答案为：B．
【点睛】本题考查因式分解，关键要牢记其运算方法并灵活运用．
4．若多项式能因式分解成，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式先确定m，再确定a即可．
【详解】解：因为多项式x2 ax+36能因式分解为(x m)2，
所以m=±6，
当m=6时，(x 6)2= x2 12x+36，a=12，
当m=-6时，(x+6)2= x2+12x+36，a=-12，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的特点，注意m的两种情况．
5．下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义去判断即可．
【详解】解：A、因为是单项式乘以多项式，
不是因式分解，
故A不符合题意；
B、因为不是因式乘积的形式，
不是因式分解，
故B不符合题意；
C、因为是因式分解，
故C符合题意；
D、因为不是因式乘积的形式，
不是因式分解，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个因式积的形式，熟练掌握定义是解题的关键．
6．下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分解因式是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，根据定义先从形式上分析，再结合因式分解的常用方法：提公因式法及公式法去逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、根据提公因式法分解因式得，该选项不符合题意；
B、根据平方差公式因式分解得，该选项不符合题意；
C、根据分解因式定义知没有化成几个整式乘积的形式，该选项不符合题意；
D、综合利用提公因式法及公式法分解因式得，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查分解因式，熟悉分解因式的定义，掌握分解因式的方法是解决问题的关键．
7．若，则m+n的值为（ ）
A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1
【答案】D
【详解】先将展开，再根据已知条件可得﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，求出m和n的值，进一步求解即可．
【解答】解：∵，
又∵，
∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，
解得n＝2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是根据等式的性质求出参数m和n的值．
8．下列因式分解正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可．
【详解】解：A、，原式错误，不符合题意；
B、，原式错误，不符合题意；
C、，原式错误，不符合题意；
D、，原式正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
9．下列多项式能进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的提公因式法和公式法进行计算判断，即可得出结果．
【详解】解：A、=2（a+1）（a-1），故符合题意．
B、不能分解因式，故不符合题意．
C、，不能分解因式，故不符合题意．
D、不能分解因式，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式．
10．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、是整式的乘法，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选B．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．
二、填空题
11．多项式2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________．
【答案】2x
【分析】按照公因式的提取方法提取公因式即可．
【详解】解：
多项式的公因式为2x．
故答案为：2x．
【点睛】此题考查了多项式的公因式，解题的关键是记住提取公因式方法，方法如下：方法如下：公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
12．已知正整数a，b，c（其中）满足，则的最小值是__________．
【答案】7
【分析】由已知可化为，因为a、b、c都是正整数，a只能取2的倍数且最大值只能取4，即可得出b、c的值，计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
即，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝2，b＝1，c＝5时，a＋b＋c＝8，
当a＝2，b＝2，c＝3时，a＋b＋c＝7，
当a＝2，b＝3，c＝2时，a＋b＋c＝7，
当a＝4，b＝1，c＝3时，a＋b＋c＝8，
所以则a＋b＋c的最小值是 7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则进行计算是解决本题的关键．
13．已知：，因式分解，结果为_______________．
【答案】
【分析】将提出一个，再将提出一个，继续提出一个，以此类推，直到原式变为，再化简即可．
【详解】解：
…
故答案为：
【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成多项式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法．
14．实数范围内分解因式x2 -3=________；化简：=_____．
【答案】 （x+）（x-）
【分析】运用平方差公式因式分解和算术平方根的性质解答即可．
【详解】解：=（x+）（x-）；
∵
∴a＜0
∴．
故答案为（x+）（x-），．
【点睛】本题主要考查了平方差公式因式分解、算术平方根的性质等知识点，掌握算术平方根的非负性是解答本题的关键．
15．已知，，则的值为____________．
【答案】
【分析】先将因式分解，然后将、代入计算即可．
【详解】解：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、因式分解的应用等知识点，灵活应用因式分解成为解答本题的关键．
16．某同学自己设计了一个运算程序，任意输入一个三位数，如567，重复该数，得到567567，将该数除以7，然后除以质数，再除以质数，结果又得到了567，则___________．
【答案】24
【分析】根据题意可知567567÷7÷567=ab，然后即可得到ab的值，再将ab的积分解为两个质数的积，即可得到a、b的值，然后作和即可．
【详解】解：由题意可得，
567567÷7÷567=ab，
解得ab=143，
∵143=11×13，
∴a=11，b=13或a=13，b=11，
∴a+b=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、质数与合数，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．
17．已知一个正方形的面积是，且，则它的边长是______．
【答案】5-a##-a+5
【分析】直接根据完全平方公式，结合a的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵一个正方形的面积是a2-10a+25=（a-5）2，且0＜a＜5，
∴它的边长是：5-a．
故答案为：5-a．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
18．矩形的周长是，两边x，y使，则矩形面积为_________
【答案】49
【分析】先利用矩形的周长公式求出，再由得出，进而得出，解二元一次方程组求出x，y，即可求出矩形的面积．
【详解】解：∵矩形的周长是，两边为x，y，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解方程组，
得，
∴矩形面积．
【点睛】本题考查因式分解的应用，矩形的周长、面积公式，以及解二元一次方程组，通过因式分解得出是解题的关键．
19．因式分解：______________；________；
__________；________
【答案】 ## ； ； ．
【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分组分解法求解即可．
【详解】解：；
；
；
；
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
20．（________）；（________）； ________；
【答案】
【分析】利用幂的乘方和积的乘方法则，即可得出结果；利用平方差公式，即可得出结果；利用完全平方公式，即可得出答案．
【详解】解：．
故答案为：
．
故答案为：
∵；
，
∴，
即．
故答案为：
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、平方差公式、完全平方公式，解本题的关键在熟练掌握相关法则．积的乘方：；平方差公式：；完全平方公式：．
三、解答题
21．甲、乙两人各持一张分别写有整式A、B的卡片．已知整式，下面是甲、乙二人的对话：
甲：我的卡片上写着整式，加上整式C后得到最简整式D； 乙：我用最简整式B加上整式C后得到整式．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求整式D和B；
(2)请判断整式D和整式E的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据题意得：D=A+C，B=E-C，把各自的整式代入，去括号合并即可得到结果；
（2）利用作差法判断D与E的大小即可．
(1)
解：∵，，
∴D=A+C
，
B=E-C
，
∴；
(2)
，理由如下：
∵
>0
【点睛】此题考查了整式的加减，运用完全平方公式因式分解，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键．
22．阅读材料：若，求的值．
解：
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)，则 ， ．
(2)已知，求的值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；
（2）由得，然后由非负数性质求得结果；
（3）把两个方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角形的周长．
（1）
解：由，得，
∵≥0，，
∴a-3=0，b=0，
∴a=3，b=0．
故答案为：3；0．
（2）
由得，
∴x-y=0，y-4=0，
∴x=y=4，
∴=16；
（3）
∵a+b=8，
∴b=8-a，
∵，
∴，
∴，
∴a-4=0，c-5=0，
∴a=4，c=5，
∴b=4，
∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．
23．如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2．
(1)用x表示图中S3；
(2)求长方体的表面积．
【答案】(1)S3＝4x+x2
(2)-2x2+16x+32
【分析】（1）分别表示长方体的长和宽，可得S3；
（2）根据表面积公式代入可得答案．
（1）
∵S2＝4x x2＝x(4 x)，
∴长方体的宽=4-x,
∵S1＝16 x2＝(4 x)(4+x)
∴长方体的长=4+x,
∴S3＝x(4+x)＝4x+x2；
（2）
长方体的表面积=2（4x+x2）+2（16-x2）+2（4x-x2）
=8x+2x2+32-2x2+8x-2x2
=-2x2+16x+32．
【点睛】本题考查了长方体，整式的加减，以及因式分解的应用,掌握长方形的面积=长×宽是解题的关键．
24．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题．初中数学中有一些代数恒等式可以用一些卡片拼成的图形面积来解释．某同学在学习的过程中动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②），根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
(2)如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是 ；
(4)请你依照该同学的方法，在指定位置画出拼图并利用拼图分解因式＝ ．
【答案】(1)（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
(2)2；3
(3)（a＋2b）（a＋b）
(4)（a＋2b）（a＋3b）
【分析】（1）把完全平方式和图形的面积相联系，从而得出乘法公式；
（2）利用乘法公式把（a＋2b）（a＋b）进行展开，找出b2和ab项的系数，也就是对应的卡片数量；
（3）观察图形可以得出a2＋3ab＋2b2等于大长方形的面积（a＋2b）（a＋b）；
（4）根据1号、2号、3号卡片的数量进行画图，从而得出结果．
（1）
解：大正方形的面积＝（a＋b）2，
也等于各部分面积之和，即a2＋2ab＋b2，
∴（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．
故答案为：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．
（2）
解：把（a＋2b）（a＋b）展开得：a2＋3ab＋2b2，
∴需要2号卡片数量是2张，3号卡片数量是3张．
故答案为：2；3．
（3）
解：由图③根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积，
∴a2＋3ab＋2b2＝（a＋2b）（a＋b）．
故答案为：（a＋2b）（a＋b）．
（4）
解：如图所示：
∴a2＋5ab＋6b2＝（a＋2b）（a＋3b）．
故答案为：（a＋2b）（a＋3b）．
【点睛】考查了完全平方式和因式分解以及多项式乘多项式，找出多项式与几何图形的面积关系，是解题关键．
25．附加题：已知实数m，n，p，q满足m+n=p+q=4，mp+nq=4，求（m +n ）pq+mn（p +q ）的值
【答案】48
【分析】有m+n=p+q=4，mp+nq=4可得mq+np=12，再将（m +n ）pq+mn（p +q ）变形为（mp+nq）（np+mq）即可求解；
【详解】m+n=p+q=4
∴（m+n）（p+q）=4×4=16
∵（m+n）（p+q）=mp+mq+np+nq
∴mp+mq+np+nq=16
∵mp+nq=4
∴mq+np=12
∴（m +n ）pq+mn（p +q ）
=m pq+n pq+mnp +mnq
=mp mq+np nq+mp np+nq mq
=mp mq+mp np+np nq+nq mq
=mp（mq+np）+nq（np+mq）
=（mp+nq）（np+mq）
=4×12
=48．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，将原式正确变换是解题的关键．
26．（1）解不等式：
（2）解不等式组：
（3）分解因式：
（4）分解因式：
（5）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），13
【分析】（1）根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集；
（3）综合利用提取公因式法和十字相乘法分解因式即可得；
（4）先分组为，再利用乘法公式分解因式即可得；
（5）先利用乘法公式计算整式的乘法，再去括号，计算整式的加减，然后将，代入计算即可得．
【详解】解：（1），
两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
两边同除以，得，
即不等式的解集为；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
，
将，代入得：原式．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组）、因式分解、利用乘法公式进行化简求值，熟练掌握不等式（组）的解法和乘法公式是解题关键．
27．把下列各式进行因式分解：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)（x-y）（2-x+y）
(2)
(3)
【分析】（1）提公因式法解答；
（2）先提负号，再利用完全平方公式解答；
（3）利用平方差公式解答．
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式、平方差、完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
28．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴m+n＝0，n﹣3＝0
∴m＝﹣3，n＝3
问题：
(1)不论x，y为何有理数，的值均为( )
A．正数 B．零 C．负数 D．非负数
(2)若，求的值．
(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．
【答案】(1)A
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得到，即可作出判断；
（2）根据题意由得到，求得x＝y＝﹣2，即可得到答案；
（3）由得到，求得a＝5，b＝4，因为a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，即可求得c的取值范围．
（1）
解：
∵，，
∴≥4
∴不论x，y为何有理数，的值均为正数，
故选：A
（2）
∵，
∴，
∴，
∴x－y＝0，y＋2＝0，
∴x＝y＝﹣2，
∴；
（3）
∵，
∴，
∴，
∴a－5＝0，b－4＝0，
∴a＝5，b＝4，
∵a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，
∴，
即5≤c＜9，
即c的取值范围是5≤c＜9．
【点睛】此题考查了完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形三边关系的应用等知识，利用完全平方公式变形是解题的关键．
29．阅读题目并回答下列问题：
(1)为了求整式的值，我们必须知道x的值．
若x＝1，则的值为 ；
若x＝2，则的值为 ．
可见，这个整式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是没有办法来考虑这个整式的值的范围；
(2)若把一个多项式进行部分因式分解可以来解决整式值的最大（或最小）值问题．例如：．因为是非负数，所以的最小值是 ，这时相应的x的值是 ；
(3)尝试探究并解答：
①求x2﹣10x+35的最小值，并写出相应x的值；
②求﹣x2﹣8x+15的最大值，并写出相应的x的值．
【答案】(1)6；11
(2)2；-1
(3)①代数式x2-10x+35的最小值是10，相应的x的值是5；②-x2-8x+15的最大值是31，相应的x的值是-4
【分析】（1）把x=1和x=2分别代入代数式x2+2x+3中，再进行计算即可得出答案；
（2）根据非负数的性质即可得出答案；
（3）①先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
②根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．
（1）
把x=1代入x2+2x+3中，得：12+2+3=6；
若x=2，则这个代数式的值为22+2×2+3=11；
故答案为6；11；
（2）
根据题意可得：
x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，
∵（x+1）2是非负数，
∴这个代数式x2+2x+3的最小值是2，相应的x的值是．
故答案为2；-1；
（3）
①∵x2-10x+35=（x-5）2+10，
∴代数式x2-10x+35的最小值是10，相应的x的值是5；
②∵-x2-8x+15=-（x+4）2+31，
∴-x2-8x+15的最大值是31，相应的x的值是-4．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，涉及到完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．
30．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）
(1)上述操作能验迁的等式是 （请选择正确的选项）
A．a-ab=a（a-b） B．a-2ab+b=（a-b） C．a+ab=a（a+b） D．a-b=（a+b）（a-b）
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b=
②计算：
【答案】(1)D
(2)①4；②
【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可．
（2）①利用（1）中得到的平方差公式计算即可；②根据平方差公式可进行求解．
（1）
解：图1中阴影部分的面积，图②中阴影部分的面积．
．
故选D．
（2）
解：①，3a+b=9，
，
．
故答案为：4．
②
．
【点睛】本题主要考查平方差公式及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，再用所得公式完成计算是求解本题的关键．
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