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专题13：分式
一、单选题
1．若，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3
【答案】B
【分析】右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应得系数相等，即可求出A，B．
【详解】解：
．
∵，
∴，
∴，
得：，
∴．
将代入①中，解得：，
∴方程组的解为：．
故选B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键．
2．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键．
3．下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断分式是否是最简分式，看分式的分子分母能否进行因式分解，是否能约分．
【详解】解：A项可化简为，故错误；
B项可化简为，故错误；
C项可化简为，故错误；
D项是最简分式，故正确．
故选D．
【点睛】此题考查了最简分式，掌握分式在化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式是解题的关键．
4．已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
的取值 －2 2
分式的值 无意义 0 1 2
A． B． C． D．的值不存在
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件可得m，n的值，进而可知p，q的值，选出符合要求的选项即可．
【详解】解：∵x为﹣2时方程无意义，
∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正确，
故分式为：，
当x=2时，分式的值为0，
故2×2＋n=0，n=﹣4，故A错误，
故分式为：，
当分式值为1时，2x－4=x+2，解得：x=6，
故，故C正确，
当时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则q的值不存在，故D正确，
故选：A．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，方程思想，能够熟练掌握分式有意义的条件时解决本题的关键．
5．当时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】先将代入分式，再根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案．
【详解】解：当，，
∵分式没有意义，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键．
6．下列分式属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【详解】A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、是最简分式，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．
7．的最简公分母是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
【详解】解：的最简公分母为：．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．
8．把分式中的和分别扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍 D．不变
【答案】B
【分析】把分式中的a换成3a，b换成3b，然后根据分式的基本性质进行化简即可．
【详解】解：分式中的a，b都扩大为原来的3倍得：，
∴分式的值缩小为原来的，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的性质是解题的关键．
9．下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断．
【详解】A、原变形错误，故不符合题意；
B、原变形错误，故不符合题意；
C、原变形错误，故不符合题意；
D、原变形正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质并运用是解决此题的关键．
10．下列分式：①；②；③；④，其中最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据最简分式的定义即可求出答案．
【详解】解：①，故此分式不是最简分式，不符合题意；
②是最简分式，符合题意；
③，故此分式不是最简分式，不符合题意；
④是最简分式，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简分式的判定，解的关键是正确理解最简分式的定义．
二、填空题
11．已知，则_____．
【答案】
【分析】设，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解．
【详解】设，根据题意有，k≠0，
则有x=2k，y=3k，z=4k，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查为了分式的求值，设是解答本题的关键．
12．等式成立的条件是________．
【答案】
【分析】由二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】接：∵
∴ ,解得．
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是二次根式的被开方数为非负实数，分式有意义的条件是分式的分母不为零．
13．已知，则 =___．
【答案】
【分析】将利用求出，即可求出，即有，根据即可求解，
【详解】∵，
∴，即，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查运用完全平方公式、平方差公式计算求解的知识．利用求出，进而求出，，是解答本题的关键．
14．若分式的值为0，则x的值为____________．
【答案】
【分析】根据分式的值为零的条件：分母不为零，分子为零，即可求出x的值．
【详解】解：根据分式的值为零的条件可得：
，
可得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟知当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零是解答本题的关键．
15．观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
根据以上规律，解决下列问题：
（1）写出第个等式：______；
（2）计算结果等于______．
【答案】
【分析】（1）观察等式，分母为连续两个偶数的乘积，分子为2，等式的右边等于这两个连续偶数的倒数的差；
（2）根据（1）的规律即可求解．
【详解】（1）由题意得：，
故答案为：；
（2）观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式为：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
16．若表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．
【答案】4
【分析】由原式为整数，x为整数确定出x可取的值个数即可．
【详解】解：∵为整数，
∴2x+3为1，3，
当2x+3=1，即x=-1时，原式=-2；
当2x+3=-1，即x=-2时，原式=4；
当2x+3=3，即x=0时，原式=0；
当2x+3=-3，即x=-3时，原式=2．
∴x的值可取0，-1，-2，-3．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了分式的值，把原式化成是解题的关键．
17．分式中隐含着x的取值应该满足的条件是：____________．
【答案】x≠0且x≠1##x≠1且x≠0
【分析】根据分式存在的条件，的分母不为零，即可解得．
【详解】分式 存在，需满足分母不为零，即
解得
故答案：．
【点睛】此题考查了分式存在的意义，解题的关键是找出隐含的条件，列出式子求解．
18．（1）若分式的值为0，则x=_____．
（2） 已知，，则的值是______．
【答案】 1
【分析】（1）根据分式的值为0可得，利用平方根解方程即可得；
（2）先根据幂的乘方的逆用可得，再根据同底数幂除法的逆用即可得．
【详解】解：（1）由题意得：，
解得，
故答案为：1；
（2），
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为0、利用平方根解方程、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．
19．分式的值为0，则x、y满足的条件为______．
【答案】且
【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解决本题的关键．
20．已知，则分式的值是 _____．
【答案】
【分析】由，可得再把化为，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是已知条件式求解分式的值，熟练的把条件式变形，再整体代入求值是解本题的关键．
三、解答题
21．(1)已知，求的值．
(2)已知a为实数，且，求的值．
【答案】(1)7
(2)2015
【分析】（1）两边同时除以可得的值，再平方可得的值；
（2）将根据可得，，再代入并用（1）的方法可求．
（1）
解：由两边同时除以得：，
∴．
两边平方得：
即，，
∴．
（2）
∵，
∴，，，
∴
【点睛】本题考查的是等式的基本性质，分式的求值，掌握 “利用完全平方公式的变形求解代数式的值”是解本题的关键．
22．已知等式
(1)①用含的代数式表示；
②若均为正整数，求的值；
(2)设，，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由．
【答案】(1)①
②或者
(2)，理由见详解
【分析】（1）①合并含y的项，即可求解；②根据①的关系结合x、y为正整数即可求解；
（2）根据题条件可知，，即有．设，，根据，可得，则有，，进而可得，依据，即可得．
（1）
①由得：，
即，
②∵x、y为正整数，，
∴可知y只能为1或者2，
∴当y=1时，x=4，当y=2时，x=3，
即x、y的值为：或者；
（2）
，理由如下，
根据题条件可知，，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，即，
则有：，
即
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
结论得证．
【点睛】本题主要考查了代数式的运算以及求解二元一次方程的正整数解等知识，解答本题要注重换元的思想．
23．阅读材料题：
已知：，求分式的值．
解：设，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k①；
所以②．
(1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质；第②步中，由求得结果运用了 的基本性质；
(2)参照上述材料解题：
已知：，求分式的值．
【答案】(1)等式，分式
(2)
【分析】（1）根据等式的基本性质分式的基本性质即可判断；
（2）按照阅读材料中的设k法即可解答．
（1）
解：上述解题过程中，第①步运用了等式的基本性质，
第②步中，由求得结果运用了分式的基本性质的基本性质．
故答案为：等式，分式；
（2）
解：设，
则，，，
∴，
∴分式的值为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质和代数式求值，熟练掌握阅读材料中的设k法是解题的关键．
24．阅读下列解题过程：已知，求的值
解：由，知，所以，即，
∴，
∴的值为2的倒数，即
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)已知，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）仿照例题利用“倒数法”解决问题，先求得，继而计算的值，再取倒数即可求解．
（2）根据题意可得，利用“倒数法”即可求解；
（3）根据“倒数法”求得，，，①＋②＋③即可求解．
（1）
解：由，知，∴，即，
∴，
∴的值为7的倒数，即；
（2）
由，知，∴，∴，即，
∴，
∴的值为21的倒数，即；
（3）
由，知，，∴，即，
由，知，，∴，即，
由，知，，∴，即，
①＋②＋③得：，∴，
∴，
∴的值为1的倒数，即1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，理解题意是解题的关键．
25．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)假分式可化为带分式_______形式；
(2)利用分离常数法，求分式的取值范围；
(3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为________．
【答案】(1)1+
(2)2＜≤5
(3)27
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）根据分离常数法求出，据此求解即可；
（3）根据分离常数法求出m＝x+2，n＝﹣x+4，再根据完全平方公式求出m2+n2+mn＝（x﹣1）2+27，据此求解即可．
（1）
解：＝＝1+，
故答案为：1+；
（2）
解：＝＝2+，
∵x2+1≥1，
∴0＜≤3，
∴2＜≤5；
（3）
解：∵＝＝5x﹣1﹣，
而分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，
∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），
∴m＝x+2，n＝﹣x+4，
∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，
而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+27≥27，
∴当x＝1时，m2+n2+mn最小值是27，
故答案为：27．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式，正确理解题意掌握分离常数法是解题的关键．
26．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式________；
(2)请写出第个等式，并证明．
【答案】(1)
(2)第个等式为，证明见解析
【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；
（2）根据规律写出代数式然后证明即可．
（1）
解：根据已知规律，第5个等式为，
故答案为：；
（2）
解：根据题意，第个等式为，
证明：右边
=左边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．
27．阅读下列解题过程，并按要求填空：
已知：＝1，＝﹣1，求的值．
解：根据算术平方根的意义，由＝1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步
根据立方根的意义，由＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步
由①、②，得，解得…第三步
把x、y的值分别代入分式中，得＝0 …第四步
以上解题过程中有两处错误，一处是第 步，忽略了 ；一处是第 步，忽略了 ；正确的结论是 （直接写出答案）．
【答案】一；2x﹣y＝﹣1；四；分式有意义的条件的检验；＝1．
【分析】熟悉平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个，且它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根是0．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．
【详解】解：在第一步中，
由（2x﹣y）2＝1应得到2x﹣y＝±1，忽略了2x﹣y＝﹣1；
在第四步中，当时，分式无意义，忽略了分式有意义的条件的检验，
当时，解得，
代入分式，得＝1，
所以正确的结论是＝1．
故答案为：一；2x﹣y＝﹣1；四；分式有意义的条件的检验；＝1．
【点睛】此题主要考查了平方根、立方根的性质，同时还要注意求分式的值时，首先要保证分式有意义．
28．已知：，，．求代数式a＋b＋c的值．
【答案】6
【分析】先将每个等式求倒数，然后组成方程组，用(①+②+③)÷2得
，然后用④分别减①②③求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
(①+②+③)÷2得：
，
④-①得，解得c=3，
④-②，解得b=2，
④-③，解得a=1，
∴a＋b＋c=1+2+3=6．
【点睛】本题考查解分式方程，求代数式的值，掌握倒数法解方程组是解题关键．
29．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式： ________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第6个等式；
（2）结合（1）即可写出第n个等式，再利用分式的加减法法则，进行验证，即可．
(1)
解：，
故答案为：；
(2)
．
证明：左边＝＝＝==＝右边，
所以等式成立．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
30．观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：．
…
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：________；
(2)用含有的代数式表示第个等式：________；（为正整数）
(3)试比较代数式的值与的大小关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可知：分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差，由此可得出答案；
（2）按照（1）的方法来解决即可；
（3）运用以上规律，采用拆项相消法即可解决问题．
(1)
从等式可以得出：从分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差，
所以．
故答案为：．
(2)
从等式可以得出：从分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差，
所以．
故答案为：．
(3)
．
故．
【点睛】本题考查寻找数字的规律及运算规律计算，寻找规律可大致分成两个步骤：不变的和变化的，变化部分和序号的关系．
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专题13：分式
一、单选题
1．若，则A、B的值为（ ）．
A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3
2．下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
4．已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
的取值 －2 2
分式的值 无意义 0 1 2
A． B． C． D．的值不存在
5．当时，分式没有意义，则b的值为（ ）
A． B． C． D．3
6．下列分式属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
7．的最简公分母是( )
A． B． C． D．
8．把分式中的和分别扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍 D．不变
9．下列各式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列分式：①；②；③；④，其中最简分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知，则_____．
12．等式成立的条件是________．
13．已知，则 =___．
14．若分式的值为0，则x的值为____________．
15．观察下列等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
根据以上规律，解决下列问题：
（1）写出第个等式：______；
（2）计算结果等于______．
16．若表示一个整数，则整数x可取的个数有______个．
17．分式中隐含着x的取值应该满足的条件是：____________．
18．（1）若分式的值为0，则x=_____．
（2） 已知，，则的值是______．
19．分式的值为0，则x、y满足的条件为______．
20．已知，则分式的值是 _____．
三、解答题
21．(1)已知，求的值．
(2)已知a为实数，且，求的值．
22．已知等式
(1)①用含的代数式表示；
②若均为正整数，求的值；
(2)设，，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由．
23．阅读材料题：
已知：，求分式的值．
解：设，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k①；
所以②．
(1)上述解题过程中，第①步运用了 的基本性质；第②步中，由求得结果运用了 的基本性质；
(2)参照上述材料解题：
已知：，求分式的值．
24．阅读下列解题过程：已知，求的值
解：由，知，所以，即，
∴，
∴的值为2的倒数，即
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值；
(3)已知，，，求的值．
25．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)假分式可化为带分式_______形式；
(2)利用分离常数法，求分式的取值范围；
(3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为________．
26．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出第5个等式________；
(2)请写出第个等式，并证明．
27．阅读下列解题过程，并按要求填空：
已知：＝1，＝﹣1，求的值．
解：根据算术平方根的意义，由＝1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步
根据立方根的意义，由＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步
由①、②，得，解得…第三步
把x、y的值分别代入分式中，得＝0 …第四步
以上解题过程中有两处错误，一处是第 步，忽略了 ；一处是第 步，忽略了 ；正确的结论是 （直接写出答案）．
28．已知：，，．求代数式a＋b＋c的值．
29．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式： ________（用含n的等式表示），并证明．
30．观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：．
…
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5个等式：________；
(2)用含有的代数式表示第个等式：________；（为正整数）
(3)试比较代数式的值与的大小关系．
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