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专题14：分式的运算
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．设a，b，c，d都是正数，且S＝，那么S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如果a+b=3，那么的值是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
5．计算下列各式，值最大的是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（ ）
A．1 B．x C． D．4
7．若，为实数且满足，，设，，有以下个结论：①若，则；②若，则下列判断正确的是( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
8．有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为；③无论k取任何实数，多项式总能进行因式分解；④若，则t可以取的值有3个，其中正确的说法是（ ）
A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②
9．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．下列运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．已知非零实数a，b满足，则的值等于__________．
12．如果，，，那么用“＜”将，，的大小关系连接起来为_________．
13．=_____．
14．已知，，则的值等于______．
15．定义新运算：，若，则的值是________．
16．关于x的方程如果是一元一次方程，则其解为________提示：
17．已知x为整数，且为正整数，则整数________．
18．已知，，则______．
19．的结果是_________．
20．计算：______．
三、解答题
21．先化简，再求值：，其中．
22．计算
(1)
(2)
(3)先化简，再求值：，其中，．
23．计算题
(1)；
(2)20212﹣4040×2021+20202；
(3)99×101；
(4)（1）（1）（1）（1）…（1）．
24．先化简，再求值：，其中
25．先化简，再求值其中．
26．观察下列式子，并探索它们的规律：
，
，
，
试用正整数表示这个规律，并加以证明．
27．观察下列式子：
，，，，……
按照上面式子的规律，完成下列问题：
(1)再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子：① ，② ；
(2)设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为＝（ ）（不必写出字母的取值范围）；
(3)验证这个规律．
28．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
(1)根据上述规定，填空：（5，125）＝，______（﹣3，1）＝______，（﹣2，）＝______．
(2)令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42）．
29．探索发现：
＝1﹣；
＝
根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)＝______；＝______；
(2)利用发现的规律计算：+…+．
30．先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取一个．
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专题14：分式的运算
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算负整数指数幂，再计算积的乘方与幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法即可得．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了负整数指数幂、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．
2．设a，b，c，d都是正数，且S＝，那么S的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，进而对原式变形可以证明，，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a，b，c，d都是正数，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了同分母分式的加法，不等式的性质，正确得到，是解题的关键．
3．下列运算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用分式的乘除运算法则以及同底数幂的除法运算法则分别计算得出答案．
【详解】解：A. ，故此选项不符合题意；
B. ，故此选项不符合题意；
C. ，故此选项不符合题意；
D. ，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．如果a+b=3，那么的值是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】A
【分析】先根据分式混合运算法则，先计算括号内的减法，再计算乘法，将分式化简，然后把已知条件代入即可求解．
【详解】解：∵a+b=3，
∴
=
=
=a+b
=3．
故选：A．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
5．计算下列各式，值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同底数幂相乘及同底数幂相除的运算法则进行计算，然后再比较大小，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
∵，
∴的值最大．
故选：C．
【点睛】此题考查了同底数幂相乘及同底数幂相除的运算法则，解题关键是把底数不相同的化为相同，然后再根据对应运算法则进行计算．
6．若分式“”可以进行约分化简，则“○”不可以是（ ）
A．1 B．x C． D．4
【答案】C
【分析】将1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以约分化简的不合题意，不可以约分化简的符合题意．
【详解】A．，可以进行约分化简，“○”可以是1，不合题意；
B．，可以进行约分化简，“○”可以是x，不合题意；
C．，不可以进行约分化简，“○”不可以是-x，合题意；
D．， 可以进行约分化简，“○”可以是4，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的乘法，解决问题的关键是熟练掌握分解因式，约分化简．
7．若，为实数且满足，，设，，有以下个结论：①若，则；②若，则下列判断正确的是( )
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
【答案】D
【分析】①中只需通过求出M-N=0需要满足的条件，看是否与ab=1相同即可；
②通过计算得到，根据，得到a，b互为相反数，得到ab≤0，从而得出结论．
【详解】解：∵，且，，
∴当时，，即，
故正确；
∵，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故正确．
综上所述，结论都正确，
故选：．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算的运算法则是解答本题的关键．
8．有下列说法：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为；③无论k取任何实数，多项式总能进行因式分解；④若，则t可以取的值有3个，其中正确的说法是（ ）
A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②
【答案】A
【分析】利用平行公理对①判断；根据分式的基本性质本分子分母都乘以10即可对②判断；利用平方差公式的特点对③分析；④通过0指数、底数为1，底数为-1对代数式进行分类讨论得结果．
【详解】解：①按照平行公理可判断在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确；
②把分式的分子和分母中的各项系数都化成整数为，故本选项不正确；
③当k为负值时，多项式x2-ky2不能分解成两个一次因式积的形式，故本选项不正确；
④当2t=0即t=0时，（t-2）2t=（-2）0=1，
当t-2=1即t=3时，（t-2）2t=16=1，
当t-2=-1即t=1时，（t-2）2t=（-1）2=1，
t可以取的值有3个，故本选项正确；
综上正确的说法是①④．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行公理、分式的基本性质、因式分解、零指数幂等知识点，熟练掌握相关性质定理及运算法则是解题的关键．
9．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用异分母分式加减法的运算法则求解即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了异分母分式的加减，利用分式的基本性质对异分母分式进行通分是解题的关键．
10．下列运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题
11．已知非零实数a，b满足，则的值等于__________．
【答案】#0.5
【分析】把已知代入分式，根据分式运算法则进行化简求值即可得解．
【详解】解：∵，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．如果，，，那么用“＜”将，，的大小关系连接起来为_________．
【答案】
【分析】根据零次幂，负整数指数幂分别计算出结果，再比较大小即可．
【详解】解：a=（-2014）0=1；
b=（-0.1）-2004=102004，
c=（-）-2=，
∵＜1＜102004，
∴c＜a＜b，
故答案为：c＜a＜b．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．
13．=_____．
【答案】##
【分析】根据积的乘方及单项式除单项式法则进行计算即可
【详解】解：
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方及单项式除单项式的运算，解决本题的关键是熟练掌握幂的相关运算法则．
14．已知，，则的值等于______．
【答案】##-0.0625
【分析】利用同为底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．定义新运算：，若，则的值是________．
【答案】##
【分析】根据新定义的运算得出，然后将原式化简，最后代入即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：，
∴原式=
=
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是正确理解新定义运算．
16．关于x的方程如果是一元一次方程，则其解为________提示：
【答案】x=2或﹣2或﹣3
【分析】利用一元一次方程的定义分三种情况分别求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴当m=1时，方程为x-2=0，解得：x=2；
当m=0时，方程为-x-2=0，解得：x=-2；
当2m-1=0，即m=时，方程为-x-2=0，
解得：x=-3，
故答案为：x=2或x=-2或x=-3．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
17．已知x为整数，且为正整数，则整数________．
【答案】4或5##5或4
【分析】根据异分母分式加减法计算得，利用x为整数，且为正整数，得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值．
【详解】解：
=
=
=
=
∵x为整数，且为正整数，
∴x-3=1或x-3=2，
∴x=4或5，
故答案为4或5．
【点睛】此题考查了异分母分式的加减法，正确掌握异分母分式加减法计算法则并结合题意得到x-3=1或x-3=2是解题的关键．
18．已知，，则______．
【答案】-8
【分析】利用分式的加法的法则对所求的式子进行运算，再代入相应的值求解即可．
【详解】解：原式=
=
=
∵，，
∴原式=
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．的结果是_________．
【答案】－2
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后进行约分即可．
【详解】解：
= （a+1）（a-1）
=a-1-a-1
=-2．
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
20．计算：______．
【答案】49
【分析】根据和（a≠0，p是正整数）的运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】解：
=1÷
=49，
故答案为：49．
【点睛】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练运用零指数幂，负整数指数幂运算法则是解决本题的关键．
三、解答题
21．先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【分析】先因式分解，再算括号，最后计算除法，化简后代入求值即可．
【详解】原式
当时，
原式.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
22．计算
(1)
(2)
(3)先化简，再求值：，其中，．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算即可解答；
（3）先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
（1）
解：
；
（2）
；
（3）
，
当，时，原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．计算题
(1)；
(2)20212﹣4040×2021+20202；
(3)99×101；
(4)（1）（1）（1）（1）…（1）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据零次幂， 化简绝对值，负整数指数幂，有理数的乘方运算进行计算；
（2）根据完全平方公式进行简便运算；
（3）根据平方差公式进行简便运算；
（4）根据平方差公式进行简便运算即可求解．
（1）
解：原式＝
；
（2）
解：原式＝
；
（3）
解：原式＝
；
（4）
解：原式＝
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，负指数幂，零次幂，正确的计算是解题的关键．
24．先化简，再求值：，其中
【答案】，1
【分析】先运用分式除法法则计算，再用减法法则计算，即可化简，然后把x=3代入化简式计算即可求解．
【详解】解：
=
=
=，
当x=3时，原式==1．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式四则运算法则是解题的关键．
25．先化简，再求值其中．
【答案】；2
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x＝4代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：，
=，
=，
=，
当时，
原式==2．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
26．观察下列式子，并探索它们的规律：
，
，
，
试用正整数表示这个规律，并加以证明．
【答案】，证明见解析
【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是1的分数可以拆成这两个自然数为分母，分子是1的两个分数的差，由此规律得出答案即可．
【详解】解：，
，
，
．
证明：．
，
．
【点睛】此题考查数字的变化规律，解题的关键是找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
27．观察下列式子：
，，，，……
按照上面式子的规律，完成下列问题：
(1)再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的式子：① ，② ；
(2)设第一个数为x，则这个规律可用字母x表示为＝（ ）（不必写出字母的取值范围）；
(3)验证这个规律．
【答案】(1)，（答案不唯一）
(2)x-3，6-x，6-x-3
(3)见解析
【分析】（1）根据所给式子，写出符合条件的即可；
（2）第一个数为x，第一个数的分母为x-3，第二个数的分子为6-x,分母为6-x-3，由此可得结论；
（3）利用分式的运算方法验证即可．
（1）
①；
②；
故答案为：，（答案不唯一）
（2）
通过观察可得规律：，
故答案为：x-3，6-x，6-x-3；
（3）
=2，
∴成立．
【点睛】本题考查数字的变化规律以及分式的加减运算，通过观察式子的特点，找到各式子分子、分母之间的联系是解题的关键．
28．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
(1)根据上述规定，填空：（5，125）＝，______（﹣3，1）＝______，（﹣2，）＝______．
(2)令（4，6）＝a，（4，7）＝b，（4，42）＝c，试说明下列等式成立的理由：（4，6）+（4，7）＝（4，42）．
【答案】(1)3，0，
(2)见解析
【分析】（1）根据新定义的运算计算即可．
（2）由新定义可得：，，，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加可得，可得答案．
（1）
如果，那么，，，，
，，．
故答案为：3，0，．
（2）
由题意得：，，．
，
，
．
，，，．
【点睛】本题考查用新定义解题，理解新定义内涵，掌握同底数幂的乘法，零次幂，负整数指数幂的计算是求解本题的关键．
29．探索发现：
＝1﹣；
＝
根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)＝______；＝______；
(2)利用发现的规律计算：+…+．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据规律可直接得答案；
（2）利用（1）中的规律对式子进行变形，再消去互为相反数的项，即可求解．
（1）
，；
（2）
+…+
…+
．
【点睛】本题考查了分式的加减，根据已知算式找到规律是解题的关键．
30．先化简，再求值：，其中x的值从不等式组的整数解中选取一个．
【答案】化简得：，取x=0代入得原式=2．（也可以取x=2，代入得原式=0）
【分析】直接将括号里面通分化简，进而利用分式混合运算法则计算，然后解不等式组，得出符合题意的x的值，进而得出答案．
【详解】解：原式
．
给不等式组标记为：，
由①得：，
由②得，
∴解不等式解集为．
∴x能取得整数解有：﹣1、0、1、2，
又∵
∴，
∴取x= 0代入得：原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值和一元一次不等式组的整数解，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键．
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