初中数学华师大版八年级下学期 第19章 19.2 菱形
一、单选题
1．（2020九上·保定期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．（2021九上·渭滨期末）已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（ ）
A．当AB⊥BD时，它是菱形 B．当AC=BD时，它是正方形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AB=BC时，它是矩形
3．（2021九上·建平期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
4．（2020九上·云梦月考）如图，正方形 的边长为1， ， 是对角线.将 绕着点 顺时针旋转45°得到 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 .则下列结论：
①四边形 是菱形 ②③④
其中正确的结论是有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021九上·建平期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（ ）
A．30° B．70° C．30°或60° D．40°或70°
6．（2020九上·保定期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，DE⊥AB于点E，则DE的长为（ ）
A．4.8 B．5 C．9.6 D．10
7．（2020九上·龙岗期中）已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
8．（2020九上·牡丹期中）已知一个菱形的边长是5cm，两条对角线长的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
9．（2020九上·顺德月考）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（2020九上·胶州月考）如图，小华剪了两条宽为 的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为 ，则它们重叠部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题
11．（2021九上·沈北期末）菱形ABCD中，对角线AC长为10cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积为 cm2.
12．（2021九上·建平期末）菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为6 ，则它的面积为 .
13．（2020九上·宝安期中）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是 ．
14．（2020九上·江西期中）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，若 ， ，则 ．
三、综合题
15．（2021九上·渭滨期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH,
求证：四边形EBFC是菱形.
16．（2020九上·太原月考）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ．
（1）若 ．求菱形 的周长．
（2）若 ．求证：四边形 是矩形．
17．（2020九上·宜春月考）如图1，在菱形 和菱形 中， ，且 ，连接 和 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，将菱形 绕着点A旋转，当菱形 旋转到使点C落在线段 上时（ ），求点F到 的距离．
18．（2020九上·福州月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，连接BE，CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当α＝90°时，求四边形AEDC的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直.
矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等.
故答案为：D.
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直且平分，据此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故A错误；
B、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，故B错误；
C、当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故C正确；
D、 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形.
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断平行四边形ABCD是菱形
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；菱形的判定；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②正确；
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF=EG，
又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确；
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=90°+22.5°=112.5°，故③正确；
∵正方形ABCD的边长为1，
∴∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°，BD= ，AD=CD=1.
由旋转的性质可知：∠HGD=BCD=90°，∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD，
∴HA=BG= -1，∠H=∠EBG=45°，∠HAE=∠BGE=90°，
∴△HAE和△BGE均为直角边为 -1的等腰直角三角形，
∴FG=AE= －1 ，故④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④.
故答案为：D.
【分析】 ①由旋转的性质可得DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，结合正方形的性质用HL定理可证Rt△AED≌Rt△GED；由全等三角形的性质可得∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，由三角形外角的性质和直角三角形的两锐角互余可得∠AED=∠AFE=67.5°，根据等角对等边可得AE=AF=EG，由内错角相等两直线平行可得GH∥AC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AEGF是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEGF是菱形；
②由①可得Rt△AED≌Rt△GED；
③由①可得∠AFE=67.5°=∠DFC，于是∠DFG=∠GFC+∠DFC=67.5°+45°可求解；
④由旋转的性质和①的结论易得△HAE和△BGE均为直角边为 -1的等腰直角三角形，则FG=AE可求解.
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝ （180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质可得∠ABD＝∠ABC，AD∥BC，根据平行线的性质“两直线平行、同旁内角互补”可求得∠BAD的度数，根据△ABE是等腰三角形可分两种情况：①当AE＝BE时，②当AB＝BE时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解.
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO= AC=4，BO= BD=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB= ，
∵DE⊥AB，
∴S菱形= ·BD·AC=AB·DE，
即 ×6×8=5·DE，
解得：DE= =4.8，
故答案为：A．
【分析】先由菱形的性质得AC⊥BD，再由勾股定理求得AB的长，再利用菱形的面积公式即可求得DE的长．
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】如图，由题意得：菱形ABCD的周长为8， ，
，
是等边三角形，
，
，
该菱形较短的对角线长为 ，
故答案为：C．
【分析】先画出图形，再根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质即可得．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC⊥BD，
∵ 两条对角线长的比是4：3 ，
∴OA：OD=4：3 ，
设OA=4x，OD=3x，
∵OA2+OB2=AB2，
∴16x2+9x2=25，
解得x=1，
∴OA=4，OD=3，
∴AC=8，BD=6，
∴S=AC·BD=×8×6=24（cm2）.
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，根据菱形的性质及勾股定理，求出两条对角线的长度，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵AE=BE=AB=1，
∴DE⊥AB，
在Rt△ADE中，DE=，
∴ PE+PB的最小值是.
故答案为：D.
【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB，垂足为E；过点D作DF⊥BC，垂足为F. （如图）
根据辅助线作法和纸条宽度的定义可知：∠AED=∠CFD=90°，DE=DF=1，
由纸条的几何特征可知，AD∥BC，AB∥DC，故四边形ABCD为平行四边形，
由题目条件和对顶角关系可知，∠BCD=60°，
∴在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=60°，即∠EAD=∠FCD=60°，
∵在△AED与△CFD中：
，
∴△AED≌△CFD （AAS）
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∵在Rt△CFD中，∠FCD=60°，
∴∠FDC=30°，
∴在Rt△CFD中， ，
∴在Rt△CFD中， ，
∴ ，
∵在菱形ABCD中，BC=CD，
∴ ，
∴菱形ABCD的面积为： ，即纸片重叠部分的面积为 .
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E；过点D作DF⊥BC，垂足为F.根据纸条的宽都为1可得DE=DF=1，证明△AED≌△CFD可知AD=CD，则不难证明平行四边形ABCD为菱形.则在Rt△CFD中，∠FDC=30°， ，利用勾股定理即可求得CD的长，最后利用菱形的面积公式计算.
11．【答案】30
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的面积等于两对角线的积的一半，则这个菱形的面积是6×10× ＝30cm2.
故答案为：30.
【分析】根据菱形的性质“菱形的面积等于两对角线的积的一半”可求解.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝ ∠BAD＝60°，AC⊥BD，
∴∠ABO＝30°，
∵BD＝6 ，
∴BO＝3 ，
设AO＝x，则AB＝2x，
故x2+（3 ）2＝（2x）2，
解得：x＝3，
∴AO＝3，
∴AC＝6，
∴菱形的面积＝6 ×6÷2＝18 .
故答案为：18 .
【分析】由菱形的性质可得∠BAC＝∠BAD＝60°，AC⊥BD，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABO＝30°，根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一般可得BO＝BD，设AO＝x，则AB＝2x，在直角三角形ABO中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则AC=2x，根据S菱形=AC×BD可求解.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ×4=2，∠BAC= ∠BAD= ×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB= ，
∴BD=2OB= ，
∴该菱形的面积是： AC BD= ×4× = ，
故答案为： .
【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA= AC，∠BAC= ∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
14．【答案】2.4
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵S△OBC＝ ×OC×OB＝ ×BC×OE，
∴OE＝ ＝2.4，
故答案为：2.4．
【分析】由菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，可求得BC的长，由面积法可求OE的长．
15．【答案】证明：∵△ABC为等腰三角形，AH⊥BC，∴H为BC的中点，
又∵FH=EH,∴四边形BECF为平行四边形.
∵AH⊥BC，∴平行四边形BECF为菱形.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】首先由等腰三角形三线合一的性质得到H为BC的中点，结合FH=EH推出四边形EBFC为平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可.
16．【答案】（1）解： 四边形 是菱形，
是等边三角形，
菱形 的周长
（2）证明：
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形
四边形 是矩形
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由菱形的性质得到AD=DC=BC=AB，∠BAO=∠BAD=60°，证出△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=8，即可得出答案；（2）先证明四边形AODE是平行四边形，由菱形的性质得出∠AOD=90°，即可得出结论。
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG为菱形
∴GA=EA，OA=BA
∵∠DAB=∠GAE=60°
∴∠GAD+∠DAE=60°
∠DAE+∠EAB=60°
∴∠GAD=∠EAB
∴△GAD≌△EAB（SAS）
∴DG=BE
（2）解：延长FE，AB交于点H
∵AC是菱形ABCD对角线
∴∠CAB= ∠DAB=30°
∵∠GAE=60°且四边形AEGF是菱形
∴GA∥FE
∴∠FEA=180°-60°=120°
∴∠AEH=180°-120°=60°
∵∠EAB=30°
∴∠H=90°
∵AE=4，在Rt△EAH=30°
∴EH=2
∴F到AB的距离为4+2=6
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，证明△GAD≌△EAB，在利用全等的性质即可证明DG=BE；（2）延长FE，AB交于点H，根据题意可分析得到三角形AEH和三角形AFH均是含30°的直角三角形，然后计算EH即可。
18．【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴AB＝AC＝AE＝AF，∠EAF＋∠FAB＝∠BAC＋∠FAB，即∠EAB＝∠FAC.
在△AEB和△AFC中，
∴△AEB≌△AFC(SAS)，
∴BE＝CF．
（2）解：∵α＝90°，
∴∠EAB＝∠FAC＝90°.
∵AE＝AB，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABE＝∠BAC，
∴AC∥BE，
同理可得AE∥CF.
∵AE＝AC，
∴四边形AEDC为菱形．
设AF与BE交于点H.
∵∠EAF＝45°，
∴AH平分∠EAB，
∴AH⊥BE，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH＝AE·sin45° AE＝ ，
∴四边形AEDC的面积为AH·DE＝ ×2＝2 ．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，从而求得AB＝AC＝AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，根据SAS可证△AEB≌△AFC，可得BE=CF；
（2）先判断△ABE为等腰直角三角形，可得∠ABE＝45°，根据平行线的判定可证AC∥BE，同理可得AE∥CF，结合AE=AC，可证四边形AEDC为菱形．设AF与BE交于点H，先证出△AHE为等腰直角三角形，可得AH＝AE·sin45° AE＝ 利用菱形AEDC的面积=AH·DE进行计算即可.
1 / 1初中数学华师大版八年级下学期 第19章 19.2 菱形
一、单选题
1．（2020九上·保定期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分 D．对角线相等
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直.
矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等.
故答案为：D.
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直且平分，据此判断即可.
2．（2021九上·渭滨期末）已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（ ）
A．当AB⊥BD时，它是菱形 B．当AC=BD时，它是正方形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AB=BC时，它是矩形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、 当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故A错误；
B、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，故B错误；
C、当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形，故C正确；
D、 当AB=BC时，四边形ABCD是菱形，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形.
3．（2021九上·建平期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：能判定四边形ABCD是菱形的是AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：A.
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断平行四边形ABCD是菱形
4．（2020九上·云梦月考）如图，正方形 的边长为1， ， 是对角线.将 绕着点 顺时针旋转45°得到 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 .则下列结论：
①四边形 是菱形 ②③④
其中正确的结论是有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；菱形的判定；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，
∵△DHG是由△DBC旋转得到，
∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，
在Rt△ADE和Rt△GDE中，
∴Rt△AED≌Rt△GED（HL），故②正确；
∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，
∴∠AED=∠AFE=67.5°，
∴AE=AF=EG，
又∵∠H=∠DBC=∠DAC=45°，
∴GH∥AC，
∴四边形AEGF是菱形，故①正确；
∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=90°+22.5°=112.5°，故③正确；
∵正方形ABCD的边长为1，
∴∠BCD=∠BAD=90°，∠CBD=45°，BD= ，AD=CD=1.
由旋转的性质可知：∠HGD=BCD=90°，∠H=∠CBD=45°，BD=HD，GD=CD，
∴HA=BG= -1，∠H=∠EBG=45°，∠HAE=∠BGE=90°，
∴△HAE和△BGE均为直角边为 -1的等腰直角三角形，
∴FG=AE= －1 ，故④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④.
故答案为：D.
【分析】 ①由旋转的性质可得DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，结合正方形的性质用HL定理可证Rt△AED≌Rt△GED；由全等三角形的性质可得∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，由三角形外角的性质和直角三角形的两锐角互余可得∠AED=∠AFE=67.5°，根据等角对等边可得AE=AF=EG，由内错角相等两直线平行可得GH∥AC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AEGF是平行四边形，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEGF是菱形；
②由①可得Rt△AED≌Rt△GED；
③由①可得∠AFE=67.5°=∠DFC，于是∠DFG=∠GFC+∠DFC=67.5°+45°可求解；
④由旋转的性质和①的结论易得△HAE和△BGE均为直角边为 -1的等腰直角三角形，则FG=AE可求解.
5．（2021九上·建平期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（ ）
A．30° B．70° C．30°或60° D．40°或70°
【答案】C
【知识点】菱形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝ （180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故答案为：C.
【分析】由菱形的性质可得∠ABD＝∠ABC，AD∥BC，根据平行线的性质“两直线平行、同旁内角互补”可求得∠BAD的度数，根据△ABE是等腰三角形可分两种情况：①当AE＝BE时，②当AB＝BE时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解.
6．（2020九上·保定期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，DE⊥AB于点E，则DE的长为（ ）
A．4.8 B．5 C．9.6 D．10
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，AO= AC=4，BO= BD=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB= ，
∵DE⊥AB，
∴S菱形= ·BD·AC=AB·DE，
即 ×6×8=5·DE，
解得：DE= =4.8，
故答案为：A．
【分析】先由菱形的性质得AC⊥BD，再由勾股定理求得AB的长，再利用菱形的面积公式即可求得DE的长．
7．（2020九上·龙岗期中）已知一个菱形的周长为8，有一个内角为120°，则该菱形较短的对角线长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】如图，由题意得：菱形ABCD的周长为8， ，
，
是等边三角形，
，
，
该菱形较短的对角线长为 ，
故答案为：C．
【分析】先画出图形，再根据菱形的性质、等边三角形的判定与性质即可得．
8．（2020九上·牡丹期中）已知一个菱形的边长是5cm，两条对角线长的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．96cm2
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC⊥BD，
∵ 两条对角线长的比是4：3 ，
∴OA：OD=4：3 ，
设OA=4x，OD=3x，
∵OA2+OB2=AB2，
∴16x2+9x2=25，
解得x=1，
∴OA=4，OD=3，
∴AC=8，BD=6，
∴S=AC·BD=×8×6=24（cm2）.
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，根据菱形的性质及勾股定理，求出两条对角线的长度，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解.
9．（2020九上·顺德月考）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，
即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
∵AE=BE=AB=1，
∴DE⊥AB，
在Rt△ADE中，DE=，
∴ PE+PB的最小值是.
故答案为：D.
【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.
10．（2020九上·胶州月考）如图，小华剪了两条宽为 的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为 ，则它们重叠部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB，垂足为E；过点D作DF⊥BC，垂足为F. （如图）
根据辅助线作法和纸条宽度的定义可知：∠AED=∠CFD=90°，DE=DF=1，
由纸条的几何特征可知，AD∥BC，AB∥DC，故四边形ABCD为平行四边形，
由题目条件和对顶角关系可知，∠BCD=60°，
∴在平行四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=60°，即∠EAD=∠FCD=60°，
∵在△AED与△CFD中：
，
∴△AED≌△CFD （AAS）
∴AD=CD，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∵在Rt△CFD中，∠FCD=60°，
∴∠FDC=30°，
∴在Rt△CFD中， ，
∴在Rt△CFD中， ，
∴ ，
∵在菱形ABCD中，BC=CD，
∴ ，
∴菱形ABCD的面积为： ，即纸片重叠部分的面积为 .
故答案为：D.
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E；过点D作DF⊥BC，垂足为F.根据纸条的宽都为1可得DE=DF=1，证明△AED≌△CFD可知AD=CD，则不难证明平行四边形ABCD为菱形.则在Rt△CFD中，∠FDC=30°， ，利用勾股定理即可求得CD的长，最后利用菱形的面积公式计算.
二、填空题
11．（2021九上·沈北期末）菱形ABCD中，对角线AC长为10cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积为 cm2.
【答案】30
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的面积等于两对角线的积的一半，则这个菱形的面积是6×10× ＝30cm2.
故答案为：30.
【分析】根据菱形的性质“菱形的面积等于两对角线的积的一半”可求解.
12．（2021九上·建平期末）菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为6 ，则它的面积为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝ ∠BAD＝60°，AC⊥BD，
∴∠ABO＝30°，
∵BD＝6 ，
∴BO＝3 ，
设AO＝x，则AB＝2x，
故x2+（3 ）2＝（2x）2，
解得：x＝3，
∴AO＝3，
∴AC＝6，
∴菱形的面积＝6 ×6÷2＝18 .
故答案为：18 .
【分析】由菱形的性质可得∠BAC＝∠BAD＝60°，AC⊥BD，根据直角三角形两锐角互余可得∠ABO＝30°，根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一般可得BO＝BD，设AO＝x，则AB＝2x，在直角三角形ABO中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则AC=2x，根据S菱形=AC×BD可求解.
13．（2020九上·宝安期中）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ×4=2，∠BAC= ∠BAD= ×120°=60°，
∴AC=4，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，OB= ，
∴BD=2OB= ，
∴该菱形的面积是： AC BD= ×4× = ，
故答案为： .
【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA= AC，∠BAC= ∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
14．（2020九上·江西期中）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，若 ， ，则 ．
【答案】2.4
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，
∴OA＝OC＝ AC＝3，OB＝ BD＝4，AC⊥BD，
∴BC＝ ＝ ＝5，
∵S△OBC＝ ×OC×OB＝ ×BC×OE，
∴OE＝ ＝2.4，
故答案为：2.4．
【分析】由菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，可求得BC的长，由面积法可求OE的长．
三、综合题
15．（2021九上·渭滨期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH,
求证：四边形EBFC是菱形.
【答案】证明：∵△ABC为等腰三角形，AH⊥BC，∴H为BC的中点，
又∵FH=EH,∴四边形BECF为平行四边形.
∵AH⊥BC，∴平行四边形BECF为菱形.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】首先由等腰三角形三线合一的性质得到H为BC的中点，结合FH=EH推出四边形EBFC为平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可.
16．（2020九上·太原月考）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ．
（1）若 ．求菱形 的周长．
（2）若 ．求证：四边形 是矩形．
【答案】（1）解： 四边形 是菱形，
是等边三角形，
菱形 的周长
（2）证明：
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形
四边形 是矩形
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由菱形的性质得到AD=DC=BC=AB，∠BAO=∠BAD=60°，证出△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC=8，即可得出答案；（2）先证明四边形AODE是平行四边形，由菱形的性质得出∠AOD=90°，即可得出结论。
17．（2020九上·宜春月考）如图1，在菱形 和菱形 中， ，且 ，连接 和 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，将菱形 绕着点A旋转，当菱形 旋转到使点C落在线段 上时（ ），求点F到 的距离．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG为菱形
∴GA=EA，OA=BA
∵∠DAB=∠GAE=60°
∴∠GAD+∠DAE=60°
∠DAE+∠EAB=60°
∴∠GAD=∠EAB
∴△GAD≌△EAB（SAS）
∴DG=BE
（2）解：延长FE，AB交于点H
∵AC是菱形ABCD对角线
∴∠CAB= ∠DAB=30°
∵∠GAE=60°且四边形AEGF是菱形
∴GA∥FE
∴∠FEA=180°-60°=120°
∴∠AEH=180°-120°=60°
∵∠EAB=30°
∴∠H=90°
∵AE=4，在Rt△EAH=30°
∴EH=2
∴F到AB的距离为4+2=6
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，证明△GAD≌△EAB，在利用全等的性质即可证明DG=BE；（2）延长FE，AB交于点H，根据题意可分析得到三角形AEH和三角形AFH均是含30°的直角三角形，然后计算EH即可。
18．（2020九上·福州月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，连接BE，CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当α＝90°时，求四边形AEDC的面积．
【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF，
∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，
∴AB＝AC＝AE＝AF，∠EAF＋∠FAB＝∠BAC＋∠FAB，即∠EAB＝∠FAC.
在△AEB和△AFC中，
∴△AEB≌△AFC(SAS)，
∴BE＝CF．
（2）解：∵α＝90°，
∴∠EAB＝∠FAC＝90°.
∵AE＝AB，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABE＝∠BAC，
∴AC∥BE，
同理可得AE∥CF.
∵AE＝AC，
∴四边形AEDC为菱形．
设AF与BE交于点H.
∵∠EAF＝45°，
∴AH平分∠EAB，
∴AH⊥BE，
∴△AHE为等腰直角三角形，
∴AH＝AE·sin45° AE＝ ，
∴四边形AEDC的面积为AH·DE＝ ×2＝2 ．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，从而求得AB＝AC＝AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，根据SAS可证△AEB≌△AFC，可得BE=CF；
（2）先判断△ABE为等腰直角三角形，可得∠ABE＝45°，根据平行线的判定可证AC∥BE，同理可得AE∥CF，结合AE=AC，可证四边形AEDC为菱形．设AF与BE交于点H，先证出△AHE为等腰直角三角形，可得AH＝AE·sin45° AE＝ 利用菱形AEDC的面积=AH·DE进行计算即可.
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