初中数学华师大版八年级下学期 第19章 19.3 正方形
一、单选题
1．（2020九上·万荣期末）下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．有一组邻边相等的菱形是正方形
D．各边都相等的四边形是正方形
【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
C.一组邻边相等的矩形是正方形，不合题意；
D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．
2．（2021八上·曾都期末）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点 与点B关于AE对称， 与AE交于点F，连接 ， ， 下列结论： ； 为等腰直角三角形； ； 其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；正方形的性质；反证法；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： 点 与点B关于AE对称，
与 关于AE对称，
，
，
故 正确； 如图，连接 .
则 ，
，
.
则 ，
即 为直角三角形.
为 的中位线，
，
∽ ，
，
即 ，
故FB .
.
为等腰直角三角形.
故 正确. 设 度，
度，
则在四边形 中， ，
即 度.
又 ，
.
故 正确. 假设 成立，
则 ，
，
为等边三角形，
故B ，与 矛盾，
故 错误.
故答案为：B.
【分析】 根据轴对称图形的性质，可知 与 关于AE对称，即得 ； 连接 ，根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质，求出 为直角三角形； 假设 成立，则可计算出 ，推知 为等边三角形， ，与 矛盾； 根据 ， ，结合周角定义，求出 的度数.
3．（2021九上·和平期末）如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，图中有（ ）个等腰直角三角形.
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA ，OA＝OC＝OD＝OB，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°.
∴图中等腰直角三角形有：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABC、△ADC、△ABD、△BCD，共8个.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质“四边都相等；四个角都是直角；每一条对角线平分一组对角”并结合等腰直角三角形的判定即可求解.
4．（2020九上·慈溪月考）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转，……，在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
【答案】C
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，在这样连续6次旋转过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图形可知点B、M之间的大于2-而小于等于1，
故答案为：C.
【分析】在第一次旋转中BM=1，在第二次旋转中BM=1，在第三次旋转中BM长由1变化到2-，在第三次旋转中BM长由1变化到2-变化到-1，在第三次旋转中BM长由-1变化到1，在第六次旋转中BM=1.
5．（2020九上·成都期中）如图，以正方形 的边 为一边向内作等边 ，连接 ，则 的度数为（ ）
A．60° B．45° C．75° D．67.5°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】在正方形 中， ．
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得出∠ABC=90°，AB=BC，根据等边三角形的性质得出∠ABE=60°，AB=BE，得出BE=BC，利用等腰三角形的性质即可求出∠BEC的度数.
6．（2020八上·射洪期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到 ，那么利用图2所得到的数学等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积=（a+b+c）2，正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：B．
【分析】根据题意将正方形看成一个整体进行面积计算，拆分为多个图形进行面积计算，二者计算面积的结果是相等的。
7．（2020八上·三台期中）如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接 、 、 关于 AC 对称．
∴ ．
∴ ，当 、 、 三点共线得 最小．
∴ ，选C．
【分析】连接 、 ，由于 关于 对称，可得PB=PD，由于，可得当 、 、 三点共线得 最小，最小值等于BE的长，据此解答即可.
二、填空题
8．（2020九上·胶州月考）已知在四边形ABCD中， ，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件： ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD中， ，使得四边形ABCD是正方形还需加上一个 条件.理由如下：
，
四边形ABCD是矩形，
又 ，
矩形ABCD是正方形．
故答案为： 答案不唯一 .
【分析】根据正方形的判定定理进行添加条件，注意答案不唯一.
9．（2021八上·高台期末）正方形的对角线长为2，则正方形的边长为 cm.面积为 cm2.
【答案】；2
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，正方形ABCD中，对角线AC=2，
由正方形的性质可知△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC， ，
∴ ，S正方形=AB2=2，
故答案为： ；2.
【分析】由正方形的性质可知△ABC为等腰直角三角形，从而利用勾股定理求出AB，进而根据正方形的面积等于边长的平方即可算出答案.
10．（2021九上·天门期末）如图，正方形ABCO的边长为1，CO、AO分别在x轴、y轴上，将正方形ABCO绕点O逆时针旋转 ，旋转后点B对应的点的坐标为 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将正方形ABCO绕点O逆时针旋转 ，设旋转后点B对应的点为D，连接OB，
四边形ABCO是正方形， ，
， ，
点D在y轴上， ，
点D的坐标为 ，
则旋转后点B对应的点的坐标为
故答案为：
【分析】首先设旋转后点B对应的点为D，连接OB，根据正方形的性质，由勾股定理求出OB的长，并判断点D在y轴上，进而得到 ，得出点D的坐标即可.
11．（2020八上·光明期末）如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E在CD上，若CE=3，△ABE的面积为8，则△DBE的周长为 。
【答案】4 +6
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠C=∠BAD=90°，
∵ △ABE的面积为8，
∴，
∴AB=BC=CD=4，
∴BD=，
∵ CE=3，
∴BE=，DE=1，
∴ △DBE的周长=BD+BE+DE=.
故答案为：
【分析】根据正方形的性质和三角形的面积公式求出AB=BC=CD=4，根据CE=3，求出DE=1，再根据勾股定理求出BD和BE的长，即可求出△DBE的周长.
12．（2020八上·渝北月考）如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是 cm.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.
如图，在AD取一点F，使AF=AE，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值，
在Rt△ABF中，AB=10，AF=AE=10-4=6，由勾股定理得：
.
故答案为 .
【分析】这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.然后由正方形的性质和勾股定理可求解.
13．（2020九上·龙岗期中）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为 ．
【答案】2
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∴EM＝ DE，
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM＝EC，
设EM＝EC＝x，
∵CD＝2，
∴DE＝2﹣x，
∴x＝ （2﹣x），
解得x＝2 ﹣2，
∴EM＝2 ﹣2，
由旋转的性质可知：CF＝CE＝2 ﹣2，
∴BF＝BC+CF＝2+2 ﹣2＝2 ．
故答案为：2 ．
【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．
三、综合题
14．（2020九上·埇桥月考）如图，在正方形 中，等边三角形 的顶点 分别在 和 上，求证： ．
【答案】证明：∵在正方形 中：
， ，
在等边三角形 中： ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】由正方形的性质可得AB=AD，由已知的等边三角形可知AE=AF，则可判定Rt△ABE≌Rt△ADF， BE=DF，再由等量相减得到CE=CF，由等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．
15．（2020九上·海安期中）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F.
（1）画出旋转后的三角形和点E经过的路径；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的长.
【答案】（1）解：旋转后的△ADF如图所示，点E的运动路径如图所示：
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠B=90°，
∵BE=EC=1，
∴AE= = = ，
∵△EAF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，AE=AF，
∴EF= AE= .
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；
（2）先根据勾股定理求出AE的长，由旋转的性质可得AE=AF，利用勾股定理可得 EF=AE ，据此即得结论.
16．（2020九上·灵璧期中）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；
（3）求△FCG的面积的最小值．
【答案】（1）解：∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）解：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG= ×FM×GC= ×2×（7-6）=1；
（3）解：设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤ ，
∴S△FCG的最小值为7- ，此时DG= ，
∴当DG= 时，△FCG的面积最小为（7- ）．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得HG=HE，∠EAH=∠D=90°，从而求出∠DGH=∠AHE，根据AAS可证△AHE≌△DGH， 可得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE， 根据平行线的性质可得∠AEG=∠MGE，∠AEH=∠MGF，根据AAS可证△AHE≌△MFG，可得FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2.根据S△FCG= ×FM×GC计算即得；
（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7， 可得HE2≤53，即得x2+16≤53，解出x≤ ，可求出S△FCG的最小值为7- ，此时DG=
1 / 1初中数学华师大版八年级下学期 第19章 19.3 正方形
一、单选题
1．（2020九上·万荣期末）下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．有一组邻边相等的菱形是正方形
D．各边都相等的四边形是正方形
2．（2021八上·曾都期末）在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点 与点B关于AE对称， 与AE交于点F，连接 ， ， 下列结论： ； 为等腰直角三角形； ； 其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·和平期末）如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，图中有（ ）个等腰直角三角形.
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（2020九上·慈溪月考）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转，……，在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是（ ）
A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5
5．（2020九上·成都期中）如图，以正方形 的边 为一边向内作等边 ，连接 ，则 的度数为（ ）
A．60° B．45° C．75° D．67.5°
6．（2020八上·射洪期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如利用图1可以得到 ，那么利用图2所得到的数学等式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020八上·三台期中）如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2020九上·胶州月考）已知在四边形ABCD中， ，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件： ．
9．（2021八上·高台期末）正方形的对角线长为2，则正方形的边长为 cm.面积为 cm2.
10．（2021九上·天门期末）如图，正方形ABCO的边长为1，CO、AO分别在x轴、y轴上，将正方形ABCO绕点O逆时针旋转 ，旋转后点B对应的点的坐标为 .
11．（2020八上·光明期末）如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E在CD上，若CE=3，△ABE的面积为8，则△DBE的周长为 。
12．（2020八上·渝北月考）如图，正方形ABCD的边长为10cm，E是AB上一点，BE=4cm，P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是 cm.
13．（2020九上·龙岗期中）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为 ．
三、综合题
14．（2020九上·埇桥月考）如图，在正方形 中，等边三角形 的顶点 分别在 和 上，求证： ．
15．（2020九上·海安期中）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F.
（1）画出旋转后的三角形和点E经过的路径；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的长.
16．（2020九上·灵璧期中）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；
（3）求△FCG的面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；
C.一组邻边相等的矩形是正方形，不合题意；
D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；正方形的性质；反证法；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： 点 与点B关于AE对称，
与 关于AE对称，
，
，
故 正确； 如图，连接 .
则 ，
，
.
则 ，
即 为直角三角形.
为 的中位线，
，
∽ ，
，
即 ，
故FB .
.
为等腰直角三角形.
故 正确. 设 度，
度，
则在四边形 中， ，
即 度.
又 ，
.
故 正确. 假设 成立，
则 ，
，
为等边三角形，
故B ，与 矛盾，
故 错误.
故答案为：B.
【分析】 根据轴对称图形的性质，可知 与 关于AE对称，即得 ； 连接 ，根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质，求出 为直角三角形； 假设 成立，则可计算出 ，推知 为等边三角形， ，与 矛盾； 根据 ， ，结合周角定义，求出 的度数.
3．【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA ，OA＝OC＝OD＝OB，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°.
∴图中等腰直角三角形有：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABC、△ADC、△ABD、△BCD，共8个.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质“四边都相等；四个角都是直角；每一条对角线平分一组对角”并结合等腰直角三角形的判定即可求解.
4．【答案】C
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，在这样连续6次旋转过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，
观察图形可知点B、M之间的大于2-而小于等于1，
故答案为：C.
【分析】在第一次旋转中BM=1，在第二次旋转中BM=1，在第三次旋转中BM长由1变化到2-，在第三次旋转中BM长由1变化到2-变化到-1，在第三次旋转中BM长由-1变化到1，在第六次旋转中BM=1.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】在正方形 中， ．
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得出∠ABC=90°，AB=BC，根据等边三角形的性质得出∠ABE=60°，AB=BE，得出BE=BC，利用等腰三角形的性质即可求出∠BEC的度数.
6．【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积=（a+b+c）2，正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：B．
【分析】根据题意将正方形看成一个整体进行面积计算，拆分为多个图形进行面积计算，二者计算面积的结果是相等的。
7．【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】连接 、 、 关于 AC 对称．
∴ ．
∴ ，当 、 、 三点共线得 最小．
∴ ，选C．
【分析】连接 、 ，由于 关于 对称，可得PB=PD，由于，可得当 、 、 三点共线得 最小，最小值等于BE的长，据此解答即可.
8．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：四边形ABCD中， ，使得四边形ABCD是正方形还需加上一个 条件.理由如下：
，
四边形ABCD是矩形，
又 ，
矩形ABCD是正方形．
故答案为： 答案不唯一 .
【分析】根据正方形的判定定理进行添加条件，注意答案不唯一.
9．【答案】；2
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，正方形ABCD中，对角线AC=2，
由正方形的性质可知△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC， ，
∴ ，S正方形=AB2=2，
故答案为： ；2.
【分析】由正方形的性质可知△ABC为等腰直角三角形，从而利用勾股定理求出AB，进而根据正方形的面积等于边长的平方即可算出答案.
10．【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将正方形ABCO绕点O逆时针旋转 ，设旋转后点B对应的点为D，连接OB，
四边形ABCO是正方形， ，
， ，
点D在y轴上， ，
点D的坐标为 ，
则旋转后点B对应的点的坐标为
故答案为：
【分析】首先设旋转后点B对应的点为D，连接OB，根据正方形的性质，由勾股定理求出OB的长，并判断点D在y轴上，进而得到 ，得出点D的坐标即可.
11．【答案】4 +6
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠C=∠BAD=90°，
∵ △ABE的面积为8，
∴，
∴AB=BC=CD=4，
∴BD=，
∵ CE=3，
∴BE=，DE=1，
∴ △DBE的周长=BD+BE+DE=.
故答案为：
【分析】根据正方形的性质和三角形的面积公式求出AB=BC=CD=4，根据CE=3，求出DE=1，再根据勾股定理求出BD和BE的长，即可求出△DBE的周长.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.
如图，在AD取一点F，使AF=AE，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值，
在Rt△ABF中，AB=10，AF=AE=10-4=6，由勾股定理得：
.
故答案为 .
【分析】这是一个”将军饮马“类型的两条线段之和的最小值问题，可作点E关于AC的对称点F，连接BF，则BF的长就是PE+PF的最小值.然后由正方形的性质和勾股定理可求解.
13．【答案】2
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∴EM＝ DE，
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM＝EC，
设EM＝EC＝x，
∵CD＝2，
∴DE＝2﹣x，
∴x＝ （2﹣x），
解得x＝2 ﹣2，
∴EM＝2 ﹣2，
由旋转的性质可知：CF＝CE＝2 ﹣2，
∴BF＝BC+CF＝2+2 ﹣2＝2 ．
故答案为：2 ．
【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．
14．【答案】证明：∵在正方形 中：
， ，
在等边三角形 中： ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】由正方形的性质可得AB=AD，由已知的等边三角形可知AE=AF，则可判定Rt△ABE≌Rt△ADF， BE=DF，再由等量相减得到CE=CF，由等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．
15．【答案】（1）解：旋转后的△ADF如图所示，点E的运动路径如图所示：
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=2，∠B=90°，
∵BE=EC=1，
∴AE= = = ，
∵△EAF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，AE=AF，
∴EF= AE= .
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；
（2）先根据勾股定理求出AE的长，由旋转的性质可得AE=AF，利用勾股定理可得 EF=AE ，据此即得结论.
16．【答案】（1）解：∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）解：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG= ×FM×GC= ×2×（7-6）=1；
（3）解：设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤ ，
∴S△FCG的最小值为7- ，此时DG= ，
∴当DG= 时，△FCG的面积最小为（7- ）．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得HG=HE，∠EAH=∠D=90°，从而求出∠DGH=∠AHE，根据AAS可证△AHE≌△DGH， 可得DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE， 根据平行线的性质可得∠AEG=∠MGE，∠AEH=∠MGF，根据AAS可证△AHE≌△MFG，可得FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2.根据S△FCG= ×FM×GC计算即得；
（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7， 可得HE2≤53，即得x2+16≤53，解出x≤ ，可求出S△FCG的最小值为7- ，此时DG=
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