人教A版高中数学必修5 1.1 正弦定理和余弦定理
一、单选题
1．（2020高二上·新疆期中）在 中，若 ，则 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．（2020高二上·宁夏期中）在 中，若 ，则角 （ ）
A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°
3．（2021·贵阳二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·重庆期中）在 中，已知 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高二上·如皋期中）在 中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c， ， ， 的面积 ，则a等于（ ）
A． B． C． 或 D．
6．（2020高二上·新余期末）在 中，若 ， ， ，则边 的长为（ ）
A． B． C． D．4
7．（2020高三上·安徽期末）在 中，角 的对边分别为 ，点D在边 上，已知 ， ，则 （ ）
A．8 B．10 C． D．
8．（2021·榆林模拟）在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若 ， ， 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·如皋期末）在 中，角 所对的边分别为 a，b，c， ，a=2，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b的可能取值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
10．（2020高三上·长沙月考）在 中，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．存在 满足
C．若 ，则 为钝角三角形
D．若 ，则
11．（2020高二上·石家庄月考）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 是钝角三角形
C． 的最大内角是最小内角的 倍
D．若 ，则 外接圆半径为
12．（2020高二上·中山月考）下列命题中，正确的是（ ）
A．在 中， ，
B．在锐角 中，不等式 恒成立
C．在 中，若 ，则 必是等腰直角三角形
D．在 中，若 ， ，则 必是等边三角形
三、填空题
13．（2020高二上·桂林期末）在 中，三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ， ， ，则 .
14．（2021·高州一模）在 中，若 ，则 是 三角形．
15．（2020高三上·嘉兴期末）已知△ 中，角 所对的边分别为 ， ， ，且△ 的面积为 ，则 ； .
16．（2020高二上·浙江期末）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若满足 ， 的 有且仅有一个，则边 的取值范围是 .
四、解答题
17．（2020高二上·咸阳期末）如图， 是直角 斜边 上一点， ．
（1）若 ，求角 的大小；
（2）若 ，且 求 的长．
18．（2020高三上·宁波期末）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边，已知 ，其中 为 外接圆的半径.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积.
19．（2020高三上·诸暨期末）在 C中，角A，B，C所对的边分别为a，b、c，已知 ．
（1）求角C的大小；
（2）若 ， 的面积为 ，分别求a+b、 的值．
20．（2020高三上·德州期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积 ，求 ．
21．（2020高三上·赣州期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求A；
（2）已知 ，若 且 ，求 的面积.
22．（2020高三上·杭州期末）已知函数 的最小正周期为 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角 中，若 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 ，由余弦定理的推论得： ，又 为三角形内角 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合余弦定理变形，从而求出角A的值。
2．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】由 ，
得 ，
由正弦定理可得： ，
在 中， ，
则 ，
所以 ，又 ，
所以 或150°，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正弦定理，再利用三角形中角B和角A的取值范围，从而求出角A的值。
3．【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由 结合正弦定理可得 ，则 ，
由余弦定理 ，可得 ，
解得 ，则 .
又 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦定理，从而求出，再利用余弦定理求出c的值，进而求出a的值，从而结合同角三角函数基本关系式，从而求出角B的正弦值，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 的面积 。
4．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】 中， ， ， ，
，
即 ，
解得 ，
又 ， ，
， ，
的面积为
．
故答案为：A．
【分析】首先题意利用正弦定理求出角B的大小，再由两角和的正弦公式求出角C的正弦值，然后把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
5．【答案】C
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】 的面积 ，则 ，
解得 ，即 或 A= ，
当 时，由余弦定理知 ，即 符合；
当 时，由余弦定理知 ，即 符合；
综上：a等于 或 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三角形面积公式，从而结合三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，再利用分类讨论的方法结合余弦定理，从而求出a的值。
6．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意可知： ，
故 或 ，
其中A=0不成立，则 ，
∵AB=2，AC=3，
∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2 2AB×AC×cosA=19，
∴ .
故答案为：B.
【分析】 根据辅助角公式求出A的大小，利用余弦定理即可得到结论．
7．【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】如图所示：
在 中， ，由余弦定理可得，
，得 ，
因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，得 ，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
所以三角形 为等边三角形，即 .
故答案为：A
【分析】直接利用余弦定理和已知条件求出，再利用正弦定理可求出角C，进而求出 的值。
8．【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】 ，所以 ，
由余弦定理可得： 得
又由正弦定理可得： ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的面积公式，可求出，由余弦定理可求出，再根据正弦定理可得答案。
9．【答案】A,B,C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】如图所示，
则 ，因为满足条件的三角形有且只有一个，所以 或者 ，则 或 ，则可知 的可能取值为 ， ，2。
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合正弦函数的定义，进而求出实数b的取值范围，进而找出边 的可能取值。
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A选项，若 ，则 ，则 ，即 ，A选项正确；
对于B选项，由 ，则 ，且 ， 在 上递减，于是 ，即 ，B选项错误﹔
对于C选项，由 ，得 ， 在 上递减，
此时：若 ，则 ，则 ，于是 ；
若 ，则 ，则 ，
于是 ，C选项正确；
对于D选项，由 ，则 ，则 ， 在 递增，于是 ， 即 ，同理 ，
此时 所以D选项正确.
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合正弦定理，从而推出sinA>sinB;利用已知条件结合余弦函数的图象的单调性，推出 ；利用已知条件结合诱导公式和余弦函数的图象的单调性，从而推出 ，进而判断出三角形的形状；利用已知条件结合两角和的正弦公式和正弦函数的单调性，进而结合三角形内角和为180度和诱导公式，从而推出，进而找出说法正确的选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由 ，可设 ， ， ， ，
根据正弦定理可知 ，A描述准确；
由 为最大边，可得 ，
即 为锐角，B描述不准确；
，
，
由 ， ，可得 ，C描述准确；
若 ，可得 ，
外接圆半径为 ，D描述准确.
故答案为：ACD.
【分析】由正弦定理即可得出选项A正确；结合余弦定理以及三角形边与角之间的关系即可判断出选项B错误；再由余弦的二倍角公式即可计算出选项C正确；由正弦定理代入数值即可计算出选项D正确；由此得到答案。
12．【答案】A,B,D
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】对于 ，由 ，可得： ，利用正弦定理可得： ，正确；
对于 ，在锐角 中， ， ，
， ，
，因此不等式 恒成立，正确；
对于 ，在 中，由 ，利用正弦定理可得： ，
，
， ，
或 ，
或 ，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题， 错误.
对于 ，由于 ， ，由余弦定理可得： ，
可得 ，解得 ，可得 ，故正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合正弦函数图象的单调性，再利用三角形中角的取值范围，从而推出角A和角B的正弦值的大小关系；再利用锐角三角形中角的取值范围结合正弦函数图象的单调性和余弦函数的单调性，从而推出角A的正弦值与角B的余弦值的大小关系；再利用正弦定理或余弦定理结合已知条件，从而判断出三角形 的形状。
13．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】在 中， ，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出角A的余弦值。
14．【答案】等腰直角
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】由正弦定理可知： ，因为 ，所以 ，
由 ，当且仅当 时取等号，
即 ，有 ，所以 ，而 ，所以 ， ，因此 为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角。
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出，再利用均值不等式求最值的方法，从而推出和 ，而 ，所以 ， ，再利用等腰直角三角形的定义，判断出三角形的形状。
15．【答案】1；
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】因为 ， ，且△ 的面积为 ，所以 ，解得 1，
由余弦定理得 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：1； .
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，进而根据余弦定理可求a的值，可求 的值。
16．【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理， ,
所以 ，
因为 有且仅有一个，
所以 或 ，
即 或 ，
故答案为：
【分析】由正弦定理可得，因为 有且仅有一个，得 或 即可求出边 的取值范围。
17．【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得： ，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：
，∴在 中，
∴ ，
在 中，由余弦定理得：
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 在 中，由正弦定理可求 值，结合 ， 可求 ，进而可求 角 的值；
（2）由题意可求 ，利用勾股定理可求， 的值，然后在 中，由余弦定理可求得值。
18．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理得 有 ，
又 ，故 ， .
（Ⅱ）由题得 ，故 ，
又 ，则 ， .
，
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理，再结合二倍角的正弦公式，进而求出 的值，再利用三角形中角A的取值范围求出角2A的取值范围，进而求出角2A的值，从而求出角A的值。
（2）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，进而求出角B的正弦值，再利用正弦定理结合（1）中角A的值，进而求出a，b的关系式，再利用已知条件 ， 从而联立方程组求出a，b的值，再结合（1）中求出的角A的值结合三角形内角和公式，再利用诱导公式结合两角和的正弦公式，进而求出角B的正弦值，再利用三角形面积公式，进而求出三角形 的面积。
19．【答案】（1）解：∵
∴
∴ ,
∵ ,
∴
（2）解：∵∴
又∵
∴
∴
∴
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度，再结合诱导公式结合两角和的正弦公式，进而利用三角形中角A的取值范围，从而求出角C的余弦值，再结合三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值。
（2）利用已知条件结合三角形面积公式，进而求出ab的值，再利用（1）求出的角C的值和余弦定理求出另一个a,b的关系式，再解方程组求出a,b的值，进而求出a+b的值；再利用正弦定理结合a+b的值，进而求出 的值。
20．【答案】（1）解：由已知和余弦定理得 ，
所以 ，由 得 ；
（2）解： ，
所以 ，因为 ，所以 ，
由余弦定理 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，进而求出bc的值。
（2）利用已知条件结合三角形面积公式，再结合（1）中求出的bc的值，进而求出角A的正弦值，再利用大边对应大角结合已知条件 ， 从而利用同角三角函数基本关系式，进而求出角A的余弦值，再利用余弦定理求出 ，又因为 ，再解方程组求出b,c的值，再结合余弦定理求出角B的余弦值。
21．【答案】（1）解：因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
因为在 中 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
（2）解：由 两边平方得 ，
因为 ， ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 的面积为 .
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinC=3sinCcosA，结合sinC≠0，可求cosA的值，即可得解；
（2）将 两边平方，利用平面向量数量积的运算可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解。
22．【答案】解：（Ⅰ）因为
，
因为 的最小正周期为 ，所以 ，即 .
所以 ，
因为 ， ，
即 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .
（Ⅱ）由 ，得 ，
即 ，
所以 ，又 ，∴ ，
∴
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的性质；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化函数 解析式利，利用周期公式求出的值，利用余弦函数的单调性即可求解；
（2）由正弦、余弦定理求得B的值，即可计算得解 的值。
1 / 1人教A版高中数学必修5 1.1 正弦定理和余弦定理
一、单选题
1．（2020高二上·新疆期中）在 中，若 ，则 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 ，由余弦定理的推论得： ，又 为三角形内角 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合余弦定理变形，从而求出角A的值。
2．（2020高二上·宁夏期中）在 中，若 ，则角 （ ）
A．30°或60° B．45°或60° C．120°或60° D．30°或150°
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】由 ，
得 ，
由正弦定理可得： ，
在 中， ，
则 ，
所以 ，又 ，
所以 或150°，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合正弦定理，再利用三角形中角B和角A的取值范围，从而求出角A的值。
3．（2021·贵阳二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由 结合正弦定理可得 ，则 ，
由余弦定理 ，可得 ，
解得 ，则 .
又 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦定理，从而求出，再利用余弦定理求出c的值，进而求出a的值，从而结合同角三角函数基本关系式，从而求出角B的正弦值，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 的面积 。
4．（2020高二上·重庆期中）在 中，已知 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】 中， ， ， ，
，
即 ，
解得 ，
又 ， ，
， ，
的面积为
．
故答案为：A．
【分析】首先题意利用正弦定理求出角B的大小，再由两角和的正弦公式求出角C的正弦值，然后把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。
5．（2020高二上·如皋期中）在 中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c， ， ， 的面积 ，则a等于（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】 的面积 ，则 ，
解得 ，即 或 A= ，
当 时，由余弦定理知 ，即 符合；
当 时，由余弦定理知 ，即 符合；
综上：a等于 或 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三角形面积公式，从而结合三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，再利用分类讨论的方法结合余弦定理，从而求出a的值。
6．（2020高二上·新余期末）在 中，若 ， ， ，则边 的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意可知： ，
故 或 ，
其中A=0不成立，则 ，
∵AB=2，AC=3，
∴由余弦定理得BC2=AB2+AC2 2AB×AC×cosA=19，
∴ .
故答案为：B.
【分析】 根据辅助角公式求出A的大小，利用余弦定理即可得到结论．
7．（2020高三上·安徽期末）在 中，角 的对边分别为 ，点D在边 上，已知 ， ，则 （ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】如图所示：
在 中， ，由余弦定理可得，
，得 ，
因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，得 ，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
所以三角形 为等边三角形，即 .
故答案为：A
【分析】直接利用余弦定理和已知条件求出，再利用正弦定理可求出角C，进而求出 的值。
8．（2021·榆林模拟）在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若 ， ， 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】 ，所以 ，
由余弦定理可得： 得
又由正弦定理可得： ，所以 ，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的面积公式，可求出，由余弦定理可求出，再根据正弦定理可得答案。
二、多选题
9．（2020高二上·如皋期末）在 中，角 所对的边分别为 a，b，c， ，a=2，若满足条件的三角形有且只有一个，则边b的可能取值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A,B,C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】如图所示，
则 ，因为满足条件的三角形有且只有一个，所以 或者 ，则 或 ，则可知 的可能取值为 ， ，2。
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合正弦函数的定义，进而求出实数b的取值范围，进而找出边 的可能取值。
10．（2020高三上·长沙月考）在 中，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．存在 满足
C．若 ，则 为钝角三角形
D．若 ，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A选项，若 ，则 ，则 ，即 ，A选项正确；
对于B选项，由 ，则 ，且 ， 在 上递减，于是 ，即 ，B选项错误﹔
对于C选项，由 ，得 ， 在 上递减，
此时：若 ，则 ，则 ，于是 ；
若 ，则 ，则 ，
于是 ，C选项正确；
对于D选项，由 ，则 ，则 ， 在 递增，于是 ， 即 ，同理 ，
此时 所以D选项正确.
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合正弦定理，从而推出sinA>sinB;利用已知条件结合余弦函数的图象的单调性，推出 ；利用已知条件结合诱导公式和余弦函数的图象的单调性，从而推出 ，进而判断出三角形的形状；利用已知条件结合两角和的正弦公式和正弦函数的单调性，进而结合三角形内角和为180度和诱导公式，从而推出，进而找出说法正确的选项。
11．（2020高二上·石家庄月考）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 是钝角三角形
C． 的最大内角是最小内角的 倍
D．若 ，则 外接圆半径为
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由 ，可设 ， ， ， ，
根据正弦定理可知 ，A描述准确；
由 为最大边，可得 ，
即 为锐角，B描述不准确；
，
，
由 ， ，可得 ，C描述准确；
若 ，可得 ，
外接圆半径为 ，D描述准确.
故答案为：ACD.
【分析】由正弦定理即可得出选项A正确；结合余弦定理以及三角形边与角之间的关系即可判断出选项B错误；再由余弦的二倍角公式即可计算出选项C正确；由正弦定理代入数值即可计算出选项D正确；由此得到答案。
12．（2020高二上·中山月考）下列命题中，正确的是（ ）
A．在 中， ，
B．在锐角 中，不等式 恒成立
C．在 中，若 ，则 必是等腰直角三角形
D．在 中，若 ， ，则 必是等边三角形
【答案】A,B,D
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】对于 ，由 ，可得： ，利用正弦定理可得： ，正确；
对于 ，在锐角 中， ， ，
， ，
，因此不等式 恒成立，正确；
对于 ，在 中，由 ，利用正弦定理可得： ，
，
， ，
或 ，
或 ，
是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题， 错误.
对于 ，由于 ， ，由余弦定理可得： ，
可得 ，解得 ，可得 ，故正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合正弦函数图象的单调性，再利用三角形中角的取值范围，从而推出角A和角B的正弦值的大小关系；再利用锐角三角形中角的取值范围结合正弦函数图象的单调性和余弦函数的单调性，从而推出角A的正弦值与角B的余弦值的大小关系；再利用正弦定理或余弦定理结合已知条件，从而判断出三角形 的形状。
三、填空题
13．（2020高二上·桂林期末）在 中，三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ， ， ，则 .
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】在 中， ，
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出角A的余弦值。
14．（2021·高州一模）在 中，若 ，则 是 三角形．
【答案】等腰直角
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】由正弦定理可知： ，因为 ，所以 ，
由 ，当且仅当 时取等号，
即 ，有 ，所以 ，而 ，所以 ， ，因此 为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角。
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出，再利用均值不等式求最值的方法，从而推出和 ，而 ，所以 ， ，再利用等腰直角三角形的定义，判断出三角形的形状。
15．（2020高三上·嘉兴期末）已知△ 中，角 所对的边分别为 ， ， ，且△ 的面积为 ，则 ； .
【答案】1；
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】因为 ， ，且△ 的面积为 ，所以 ，解得 1，
由余弦定理得 ，解得 ，
所以 ，
故答案为：1； .
【分析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，进而根据余弦定理可求a的值，可求 的值。
16．（2020高二上·浙江期末）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若满足 ， 的 有且仅有一个，则边 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理， ,
所以 ，
因为 有且仅有一个，
所以 或 ，
即 或 ，
故答案为：
【分析】由正弦定理可得，因为 有且仅有一个，得 或 即可求出边 的取值范围。
四、解答题
17．（2020高二上·咸阳期末）如图， 是直角 斜边 上一点， ．
（1）若 ，求角 的大小；
（2）若 ，且 求 的长．
【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得： ，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：
，∴在 中，
∴ ，
在 中，由余弦定理得：
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 在 中，由正弦定理可求 值，结合 ， 可求 ，进而可求 角 的值；
（2）由题意可求 ，利用勾股定理可求， 的值，然后在 中，由余弦定理可求得值。
18．（2020高三上·宁波期末）在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边，已知 ，其中 为 外接圆的半径.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积.
【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理得 有 ，
又 ，故 ， .
（Ⅱ）由题得 ，故 ，
又 ，则 ， .
，
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理，再结合二倍角的正弦公式，进而求出 的值，再利用三角形中角A的取值范围求出角2A的取值范围，进而求出角2A的值，从而求出角A的值。
（2）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，进而求出角B的正弦值，再利用正弦定理结合（1）中角A的值，进而求出a，b的关系式，再利用已知条件 ， 从而联立方程组求出a，b的值，再结合（1）中求出的角A的值结合三角形内角和公式，再利用诱导公式结合两角和的正弦公式，进而求出角B的正弦值，再利用三角形面积公式，进而求出三角形 的面积。
19．（2020高三上·诸暨期末）在 C中，角A，B，C所对的边分别为a，b、c，已知 ．
（1）求角C的大小；
（2）若 ， 的面积为 ，分别求a+b、 的值．
【答案】（1）解：∵
∴
∴ ,
∵ ,
∴
（2）解：∵∴
又∵
∴
∴
∴
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度，再结合诱导公式结合两角和的正弦公式，进而利用三角形中角A的取值范围，从而求出角C的余弦值，再结合三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值。
（2）利用已知条件结合三角形面积公式，进而求出ab的值，再利用（1）求出的角C的值和余弦定理求出另一个a,b的关系式，再解方程组求出a,b的值，进而求出a+b的值；再利用正弦定理结合a+b的值，进而求出 的值。
20．（2020高三上·德州期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积 ，求 ．
【答案】（1）解：由已知和余弦定理得 ，
所以 ，由 得 ；
（2）解： ，
所以 ，因为 ，所以 ，
由余弦定理 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，进而求出bc的值。
（2）利用已知条件结合三角形面积公式，再结合（1）中求出的bc的值，进而求出角A的正弦值，再利用大边对应大角结合已知条件 ， 从而利用同角三角函数基本关系式，进而求出角A的余弦值，再利用余弦定理求出 ，又因为 ，再解方程组求出b,c的值，再结合余弦定理求出角B的余弦值。
21．（2020高三上·赣州期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1）求A；
（2）已知 ，若 且 ，求 的面积.
【答案】（1）解：因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
因为在 中 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
（2）解：由 两边平方得 ，
因为 ， ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 的面积为 .
【知识点】平面向量的数量积运算；正弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinC=3sinCcosA，结合sinC≠0，可求cosA的值，即可得解；
（2）将 两边平方，利用平面向量数量积的运算可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解。
22．（2020高三上·杭州期末）已知函数 的最小正周期为 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角 中，若 ，求 的值.
【答案】解：（Ⅰ）因为
，
因为 的最小正周期为 ，所以 ，即 .
所以 ，
因为 ， ，
即 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .
（Ⅱ）由 ，得 ，
即 ，
所以 ，又 ，∴ ，
∴
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的性质；正弦定理
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化函数 解析式利，利用周期公式求出的值，利用余弦函数的单调性即可求解；
（2）由正弦、余弦定理求得B的值，即可计算得解 的值。
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