高中数人教A版必修5 第一章 解三角形 单元测试卷
一、单选题
1．（2020高二上·东莞期末）在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在 中，由正弦定理可得： ，即 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】由已知利用正弦定理即可得出答案。
2．（2020高二上·桂林期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】由已知 ， ， ，
则 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合三角形面积公式，进而求出三角形 的面积 。
3．（2020高二上·渭滨期末） 的内角 的对边分别为 ，若 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意得， ，
∴ ，
故答案为：C
【分析】利用余弦定理即可得出答案。
4．（2020高三上·南昌月考）在 中， 的面积为S， ， ，且满足 ，则该三角形的外接圆的半径R为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由 ，
得 ，
利用余弦定理得： ，
即 ，
又 ，
得 ；
由题意，因为 ，
所以 ．
由余弦定理得： .
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角，结合平面向量的数量积可求得，利用正弦定理可得出，再利用余玄定理可求得，进而利用正弦定理可求得R的值。
5．（2020高三上·兴宁期末）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得 ＝ ，
解得BC＝10 (海里)．
故答案为：A
【分析】根据题意画出图像确定、的值，进而可得到的值，根据正弦定理可得到BC的值。
6．（2020高二上·新疆期中）在 中，若 ，则 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 ，由余弦定理的推论得： ，又 为三角形内角 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合余弦定理变形，从而求出角A的值。
7．（2020高三上·郑州月考） 内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ， ， ，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
因为 ，所以 .
所以 ，即 .
整理得 ，解得 .
故答案为：B
【分析】利用正弦定理可把原式化简为 ，进而得出，利用余弦定理即可求得的值。
8．（2020高三上·上海月考）在 中，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由题意，在 中，若 ，
因为 ，可得 或 ，
当 时，可得 ，则 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
当 时，可得 ，则 ，
可得 ，
其中 ，
设 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
又由 ， ，
所以 ，即 ，
综上可得， 的取值范围是 ，
故答案为：B.
【分析】由题意，在 中，若 ，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，再利用分类讨论的方法结合三角形内角和为180度，从而结合两角差的余弦公式结合辅助角公式化简函数 为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的值域，进而求出 的取值范围 。
二、多选题
9．（2020高一下·宝应期中）在 中，内角 所对的边分别为 .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】对于A中：由 ，所以 ，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于B中：因为 ，且 ，所以角 有两解；
对于C中：因为 ，且 ，所以角 有两解；
对于D中：因为 ，且 ，所以角 仅有一解.
故答案为：BC.
【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.
10．（2020高三上·福州期中）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的面积为6
【答案】A,B,D
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，故A正确；
因为 ，利用正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，故C错误；
，故D正确；
故答案为：ABD
【分析】利用余弦定理，结合题意，可求得 的值，根据 ，利用正弦定理边化角，可求得 的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b的值及 的面积，即可得答案.
11．（2020高三上·张家口月考）在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ．下面四个结论正确的是（ ）
A． ， ，则 的外接圆半径是4
B．若 ，则
C．若 ，则 一定是钝角三角形
D．若 ，则
【答案】B,C
【知识点】余弦函数的性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由正弦定理知 ，所以外接圆半径是2，A不符合题意；
由正弦定理及 可得， ，即 ，由 ，知 ，B符合题意；
因为 ，所以C为钝角， 一定是钝角三角形，C符合题意；
若 ，显然 ，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】由正弦定理即可求出外接圆的半径由此判断出选项A错误；由正弦定理以及同角三角函数的基本关系式即可计算出角A的大小由此得出选项B正确；由余弦定理求出角的余弦值结合已知条件即可得出C为钝角由此判断出选项C正确；由特殊值举例法即可判断出选项D错误；由此得到答案。
12．（2020高一下·沈阳期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 是钝角三角形
C． 的最大内角是最小内角的2倍
D．若 ，则 外接圆半径为
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为
所以可设： （其中 ），解得：
所以 ，所以A符合题意；
由上可知： 边最大，所以三角形中 角最大，
又 ，所以 角为锐角，所以B不符合题意；
由上可知： 边最小，所以三角形中 角最小，
又 ，
所以 ,所以
由三角形中C角最大且C角为锐角可得： ，
所以 ，所以C符合题意；
由正弦定理得： ，又
所以 ，解得： ，所以D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】由已知可设 ，求得 ，利用正弦定理可得A符合题意；利用余弦定理可得 ，三角形中的最大C角为锐角，可得B不符合题意；利用余弦定理可得 ，利用二倍角的余弦公式可得： ，即可判断C符合题意，利用正弦定理即可判断D符合题意；问题得解.
三、填空题
13．（2020高二上·衢州期末）在 中， ， ， ，则 .
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由题意，根据余弦定理可得， ，所以 ，
又 ，所以 ，
则由正弦定理可得， ，所以 .
故答案为： .
【分析】根据题意由余弦定理代入数值计算出AB的值，再由同角三角函数的平方关系式代入数值计算出，再由正弦定理计算出结果即可。
14．（2020高三上·常州期末）在 中，已知 ， 的平分线交 于 ，且 ， ，则 的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 平分 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
因为 ，设 ，
所以 ，
所以， ，
因为 ，所以 ，即 ，
在 中， ，所以 ，
可得 ，解得： ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
故答案为：
【分析】根据角平分线性，设 ，则 ， ，然后结合余弦定理列方程解之即可解得，由余弦定理可求得的值，利用同角三角函数基本关系式可求，根据三角形的面积公式即可求解。
15．（2021·内江一模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ， 的面积为 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由正弦定理，原等式可化为 ，进一步化为 ，则 ，即 ．在三角形中 ．由面积公式 ，可知 ，由余弦定理 ，代入可得 ．故本题应填 ．
【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得，利用三角形面积公式可求，再由余弦定理可得。
16．（2020高三上·南昌月考）如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ，则 的面积为 .
【答案】6
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
在 中， ，
所以 ，在 中， ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 ，
故答案为：6.
【分析】由可求得，在 中，由余弦定理可得，利用正弦定理求得，由三角形的面积公式可求得答案。
四、解答题
17．（2020高二上·咸阳期末）如图， 是直角 斜边 上一点， ．
（1）若 ，求角 的大小；
（2）若 ，且 求 的长．
【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得： ，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：
，∴在 中，
∴ ，
在 中，由余弦定理得：
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 在 中，由正弦定理可求 值，结合 ， 可求 ，进而可求 角 的值；
（2）由题意可求 ，利用勾股定理可求， 的值，然后在 中，由余弦定理可求得值。
18．（2020高二上·渭滨期末） 中内角 所对的边分别为 ， .
（1）求角 ；
（2）若 的周长为 ，外接圆半径为 ，求 的面积.
【答案】（1）解：由 得，
，
所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 .
由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
（2）解：因为 的外接圆半径为 ，
所以 ，
所以 ，
由余弦定理得，
，
所以 ，
得 ，
所以 的面积
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得 的值，即可得出A的值；
（2）根据正弦定理求得a的值，再利用周长公式和余弦定理求得bc的值，即可求出的面积。
19．（2020高二上·东莞期末）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高 ，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.
参考数据： ， ， ， .
（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离 ，且记在M处观测基站底部B的仰角为 ，观测基站顶端A的仰角为 .试问当 多大时，观测基站的视角 最大
【答案】（1）解：由题知 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以
在 中， ，即 ，
所以 ，
所以山高 m
（2）解：由题知 ， ，则
在 中，
在 中，
由题知 ，则
当且仅当 即 m时， 取得最大值，即视角最大
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意，把条件抽象到三角形中，用正弦定理直接求出山高BE；
（2）由两角和差正切公式和基本不等式，求最值，可得观测站视角 最大值。
20．（2020高二上·浙江期末）在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 .
（Ⅰ）求证 ；
（Ⅱ）求 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理可知： ，
即 ，
由正弦定理可知： ，所以 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： ，所以有 ，
根据三角形内角和定理可知： ，因为 是锐角三角形，所以有： ，
设
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 的取值范围为
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式进行证明即可；
（2）根据两角差的余弦公式，结合二倍角的余弦公式，配方法进行求解即可。
21．（2020高二上·衢州期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）判断 的形状．
（2）若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
为直角三角形
（2）解：∵
∴
∵ ， ， ，
，
综上所述，
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形的形状判断
【解析】【分析】(1)首先由正弦定理结合两角和的正弦公式整理化简即可得出，进而求出角B的值由此判断出三角形的形状即可。
(2)首先由两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的性质以及IAO的取值范围即可得出，即。
22．（2020高三上·绵阳月考）已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，点 为 所在平面内一动点，且满足 ，当线段 的长度取得最小值时，求 的面积．
【答案】（1）证明：∵ ， ，∴ ，
由正弦定理得 ，∵ ，
代入得， ，即 ，∵ ， ， 为三角形的内角，
∴ ．
（2）解：因为 ，所以 ， ．由题意，得 ，点 在以 为直径的圆上，
∵ ，∴ ， ，
设 为 中点，连结 ，
则当点 在 上时， 取得最小值，此时
．设 ，则 ， ， ，
中， ，
的面积 ，
∴当 取得最小值 时， 的面积为 ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，从而结合三角形中角的取值范围，从而证出 。
（2） 因为 ， 结合（1）中，所以求出角A的值，再利用三角形内角和为180度，从而求出角C的值，再利用数量积为0两向量垂直，从而得出 ， 再利用圆的直径所对的圆周角为90度，从而推出点 在以 为直径的圆上，∵ ，∴ ， ，设 为 中点，连结 ，则当点 在 上时， 取得最小值，此时 ，设 ，则 ， ， ，再利用诱导公式结合直角三角形中正弦函数的定义，再结合三角形面积公式，从而求出当 取得最小值 时对应的三角形 的面积 。
1 / 1高中数人教A版必修5 第一章 解三角形 单元测试卷
一、单选题
1．（2020高二上·东莞期末）在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．
2．（2020高二上·桂林期末） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
3．（2020高二上·渭滨期末） 的内角 的对边分别为 ，若 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
4．（2020高三上·南昌月考）在 中， 的面积为S， ， ，且满足 ，则该三角形的外接圆的半径R为（ ）
A． B． C． D．2
5．（2020高三上·兴宁期末）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里
6．（2020高二上·新疆期中）在 中，若 ，则 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
7．（2020高三上·郑州月考） 内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 ， ， ，则 （ ）
A． B．2 C．3 D．
8．（2020高三上·上海月考）在 中，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
二、多选题
9．（2020高一下·宝应期中）在 中，内角 所对的边分别为 .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2020高三上·福州期中）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 的面积为6
11．（2020高三上·张家口月考）在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ．下面四个结论正确的是（ ）
A． ， ，则 的外接圆半径是4
B．若 ，则
C．若 ，则 一定是钝角三角形
D．若 ，则
12．（2020高一下·沈阳期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 是钝角三角形
C． 的最大内角是最小内角的2倍
D．若 ，则 外接圆半径为
三、填空题
13．（2020高二上·衢州期末）在 中， ， ， ，则 .
14．（2020高三上·常州期末）在 中，已知 ， 的平分线交 于 ，且 ， ，则 的面积为 .
15．（2021·内江一模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ， 的面积为 ，则 的值为 ．
16．（2020高三上·南昌月考）如图，在四边形ABCD中， ， ， ， ，则 的面积为 .
四、解答题
17．（2020高二上·咸阳期末）如图， 是直角 斜边 上一点， ．
（1）若 ，求角 的大小；
（2）若 ，且 求 的长．
18．（2020高二上·渭滨期末） 中内角 所对的边分别为 ， .
（1）求角 ；
（2）若 的周长为 ，外接圆半径为 ，求 的面积.
19．（2020高二上·东莞期末）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高 ，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.
参考数据： ， ， ， .
（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离 ，且记在M处观测基站底部B的仰角为 ，观测基站顶端A的仰角为 .试问当 多大时，观测基站的视角 最大
20．（2020高二上·浙江期末）在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 .
（Ⅰ）求证 ；
（Ⅱ）求 的取值范围.
21．（2020高二上·衢州期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）判断 的形状．
（2）若 ，求 的取值范围．
22．（2020高三上·绵阳月考）已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，点 为 所在平面内一动点，且满足 ，当线段 的长度取得最小值时，求 的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在 中，由正弦定理可得： ，即 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】由已知利用正弦定理即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】由已知 ， ， ，
则 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合三角形面积公式，进而求出三角形 的面积 。
3．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由题意得， ，
∴ ，
故答案为：C
【分析】利用余弦定理即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由 ，
得 ，
利用余弦定理得： ，
即 ，
又 ，
得 ；
由题意，因为 ，
所以 ．
由余弦定理得： .
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为：B.
【分析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角，结合平面向量的数量积可求得，利用正弦定理可得出，再利用余玄定理可求得，进而利用正弦定理可求得R的值。
5．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得 ＝ ，
解得BC＝10 (海里)．
故答案为：A
【分析】根据题意画出图像确定、的值，进而可得到的值，根据正弦定理可得到BC的值。
6．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】 ，由余弦定理的推论得： ，又 为三角形内角 ，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合余弦定理变形，从而求出角A的值。
7．【答案】B
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，
所以 .
因为 ，所以 .
所以 ，即 .
整理得 ，解得 .
故答案为：B
【分析】利用正弦定理可把原式化简为 ，进而得出，利用余弦定理即可求得的值。
8．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】由题意，在 中，若 ，
因为 ，可得 或 ，
当 时，可得 ，则 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ；
当 时，可得 ，则 ，
可得 ，
其中 ，
设 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
又由 ， ，
所以 ，即 ，
综上可得， 的取值范围是 ，
故答案为：B.
【分析】由题意，在 中，若 ，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，再利用分类讨论的方法结合三角形内角和为180度，从而结合两角差的余弦公式结合辅助角公式化简函数 为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的值域，进而求出 的取值范围 。
9．【答案】B,C
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】对于A中：由 ，所以 ，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于B中：因为 ，且 ，所以角 有两解；
对于C中：因为 ，且 ，所以角 有两解；
对于D中：因为 ，且 ，所以角 仅有一解.
故答案为：BC.
【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.
10．【答案】A,B,D
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以 ，故A正确；
因为 ，利用正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，故C错误；
，故D正确；
故答案为：ABD
【分析】利用余弦定理，结合题意，可求得 的值，根据 ，利用正弦定理边化角，可求得 的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b的值及 的面积，即可得答案.
11．【答案】B,C
【知识点】余弦函数的性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由正弦定理知 ，所以外接圆半径是2，A不符合题意；
由正弦定理及 可得， ，即 ，由 ，知 ，B符合题意；
因为 ，所以C为钝角， 一定是钝角三角形，C符合题意；
若 ，显然 ，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】由正弦定理即可求出外接圆的半径由此判断出选项A错误；由正弦定理以及同角三角函数的基本关系式即可计算出角A的大小由此得出选项B正确；由余弦定理求出角的余弦值结合已知条件即可得出C为钝角由此判断出选项C正确；由特殊值举例法即可判断出选项D错误；由此得到答案。
12．【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为
所以可设： （其中 ），解得：
所以 ，所以A符合题意；
由上可知： 边最大，所以三角形中 角最大，
又 ，所以 角为锐角，所以B不符合题意；
由上可知： 边最小，所以三角形中 角最小，
又 ，
所以 ,所以
由三角形中C角最大且C角为锐角可得： ，
所以 ，所以C符合题意；
由正弦定理得： ，又
所以 ，解得： ，所以D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】由已知可设 ，求得 ，利用正弦定理可得A符合题意；利用余弦定理可得 ，三角形中的最大C角为锐角，可得B不符合题意；利用余弦定理可得 ，利用二倍角的余弦公式可得： ，即可判断C符合题意，利用正弦定理即可判断D符合题意；问题得解.
13．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由题意，根据余弦定理可得， ，所以 ，
又 ，所以 ，
则由正弦定理可得， ，所以 .
故答案为： .
【分析】根据题意由余弦定理代入数值计算出AB的值，再由同角三角函数的平方关系式代入数值计算出，再由正弦定理计算出结果即可。
14．【答案】
【知识点】三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 平分 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
因为 ，设 ，
所以 ，
所以， ，
因为 ，所以 ，即 ，
在 中， ，所以 ，
可得 ，解得： ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
故答案为：
【分析】根据角平分线性，设 ，则 ， ，然后结合余弦定理列方程解之即可解得，由余弦定理可求得的值，利用同角三角函数基本关系式可求，根据三角形的面积公式即可求解。
15．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由正弦定理，原等式可化为 ，进一步化为 ，则 ，即 ．在三角形中 ．由面积公式 ，可知 ，由余弦定理 ，代入可得 ．故本题应填 ．
【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得，利用三角形面积公式可求，再由余弦定理可得。
16．【答案】6
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ， ，所以 ，
在 中， ，
所以 ，在 中， ，
又 ，所以 ，
所以 的面积为 ，
故答案为：6.
【分析】由可求得，在 中，由余弦定理可得，利用正弦定理求得，由三角形的面积公式可求得答案。
17．【答案】（1）解：在 中，由正弦定理得： ，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：
，∴在 中，
∴ ，
在 中，由余弦定理得：
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 在 中，由正弦定理可求 值，结合 ， 可求 ，进而可求 角 的值；
（2）由题意可求 ，利用勾股定理可求， 的值，然后在 中，由余弦定理可求得值。
18．【答案】（1）解：由 得，
，
所以 ，
即 ，
因为 ，
所以 .
由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
（2）解：因为 的外接圆半径为 ，
所以 ，
所以 ，
由余弦定理得，
，
所以 ，
得 ，
所以 的面积
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得 的值，即可得出A的值；
（2）根据正弦定理求得a的值，再利用周长公式和余弦定理求得bc的值，即可求出的面积。
19．【答案】（1）解：由题知 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以
在 中， ，即 ，
所以 ，
所以山高 m
（2）解：由题知 ， ，则
在 中，
在 中，
由题知 ，则
当且仅当 即 m时， 取得最大值，即视角最大
【知识点】正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意，把条件抽象到三角形中，用正弦定理直接求出山高BE；
（2）由两角和差正切公式和基本不等式，求最值，可得观测站视角 最大值。
20．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理可知： ，
即 ，
由正弦定理可知： ，所以 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： ，所以有 ，
根据三角形内角和定理可知： ，因为 是锐角三角形，所以有： ，
设
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 的取值范围为
【知识点】正弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式进行证明即可；
（2）根据两角差的余弦公式，结合二倍角的余弦公式，配方法进行求解即可。
21．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ．
为直角三角形
（2）解：∵
∴
∵ ， ， ，
，
综上所述，
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角形的形状判断
【解析】【分析】(1)首先由正弦定理结合两角和的正弦公式整理化简即可得出，进而求出角B的值由此判断出三角形的形状即可。
(2)首先由两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的性质以及IAO的取值范围即可得出，即。
22．【答案】（1）证明：∵ ， ，∴ ，
由正弦定理得 ，∵ ，
代入得， ，即 ，∵ ， ， 为三角形的内角，
∴ ．
（2）解：因为 ，所以 ， ．由题意，得 ，点 在以 为直径的圆上，
∵ ，∴ ， ，
设 为 中点，连结 ，
则当点 在 上时， 取得最小值，此时
．设 ，则 ， ， ，
中， ，
的面积 ，
∴当 取得最小值 时， 的面积为 ．
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，从而结合三角形中角的取值范围，从而证出 。
（2） 因为 ， 结合（1）中，所以求出角A的值，再利用三角形内角和为180度，从而求出角C的值，再利用数量积为0两向量垂直，从而得出 ， 再利用圆的直径所对的圆周角为90度，从而推出点 在以 为直径的圆上，∵ ，∴ ， ，设 为 中点，连结 ，则当点 在 上时， 取得最小值，此时 ，设 ，则 ， ， ，再利用诱导公式结合直角三角形中正弦函数的定义，再结合三角形面积公式，从而求出当 取得最小值 时对应的三角形 的面积 。
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