2020年暑期衔接训练人教版数学八年级下册：第4讲 平行四边形
一、单选题
1．（2020八下·北京期中）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对角互补 C．对边平行 D．对角相等
2．（2020八下·北京期中）平行四边形的一个内角是70°，则其他三个角是（ ）
A．70°，130°，130° B．110°，70°，120°
C．110°，70°，110° D．70°，120°，120°
3．（2020八下·北京期中）如右图要测量池塘两侧的两点A、B之间的距离，可以取一个能直接到达A、B的点C，连结CA、CB，分别在线段CA、CB上取中点D、E，连结DE，测得DE=35m，则可得A、B之间的距离为（ ）
A．30 m B．70 m C．105m D．140m
4．（2020八下·北京期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝24．若△OAB的周长是20，则AB的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
5．（2020八下·武汉期中）下面给出的四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3∶4∶3∶4 B．3∶3∶4∶4 C．2∶3∶4∶5 D．3∶4∶4∶3
6．（2020八下·北京期中）如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）．
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
7．（2020八下·佛山期中）如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020八下·温州期中）如图，在 ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点作EF∥AB，与AD和BC分别交于点E和点F，连结AP，CP。已知AE=4，EP=2，∠ABC=60°则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．8
9．（2020八下·江阴期中）如图，正方形ABCD和 AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和 AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．无法确定
10．（2017八下·徐州期中）如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段
AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
二、填空题
11．（2019八下·哈尔滨期中）在平行四边形ABCD中，若 与 的度数之比为 ，则 的度数为 ．
12．（2019八下·哈尔滨期中）如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= ．
13．（2020八下·扬州期中）平行四边形ABCD的周长是30，AC，BD相交于点0， 的周长比 的周长大3，则AB= .
14．（2020八下·江阴期中）在四边形ABCD中，对角线AC ⊥BD且AC=4，BD=8，E、F分别是边AB.CD的中点，则EF= .
15．（2020八下·灌云月考）如图，在四边形 中， ，点 分别从点 同时出发，点 以 的速度由点 向点 运动，点 以 的速度由点 向点 运动设运动时间为 .当 .时， 为平行四边形的一边.
三、解答题
16．（2020八下·南昌期中）如图，点 ， 是四边形 的对角线 上的两点，且 ， ， ．求证： ．
17．（2020八下·三台期中）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
18．（2020八下·淮滨期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形.求证：四边形EFGH是平行四边形.
19．（2015八下·嵊州期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
20．如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对边平行、对角相等、对边相等，
∴选项B不符合题意；
故答案为B．
【分析】根据平行四边形的性质逐项排除即可
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的一个角为70°，
∴邻角为110°，对角为70°，即其他三个角分别为：110°，70°，110°．
故答案为C．
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补的性质确定出其他角即可．
3．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=70m.
故答案为：B．
【分析】先说明DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理即可解答．
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵ ABCD
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD
∵△OAB的周长是20
∴OA+OB+AB=20
∵OA+OB+AB+OC+OD+CD=20+20=40，AC+BD=24
∴AC+BD+2AB=40
∴AB=8
故答案为：A.
【分析】由平行四边形对角线互相平分的性质，进行等量转换，即可得解.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确，B,C,D错误
故答案为：A.
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形.其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定.
6．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF= AR，为定值．
∴线段EF的长不改变．
故答案为：C．
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF= AR，因此线段EF的长不变．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点P作PH∥BC，过点P作PM⊥AB于点M，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AD∥CB
∴四边形BHPF，四边形AHPE和四边形ABFE是平行四边形，
S△PHB=S△PBF，S△PAB=S△PBC，
∴S△PHA=S△PBC，
∴S阴影部分=S平行四边形AHPE=
∵平行四边形ABFE
∴∠ABC=∠AEP=60°，
在Rt△PME中，
PM=PEsin∠AEP=2sin60°=；
∴S平行四边形AHPE=S阴影部分=.
故答案为：B.
【分析】过点P作PH∥BC，过点P作PM⊥AB于点M，利用平行四边形的判定定理可证得四边形BHPF，四边形AHPE和四边形ABFE是平行四边形，再证明S△PHA=S△PBC，可得到S阴影部分=S平行四边形AHPE，然后利用平行四边形的性质及解直角三角形求出PM的长，据此可求出阴影部分的面积。
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵由图可得，正方形 的面积 ，
又∵ ，
即 ，
故答案为： .
【分析】由于正方形 的面积等于2个三角形 的面积，而三角形 的面积又等于平行四边形 面积的一半，所以可得正方形 与平行四边形 的面积关系.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，
∴∠ECF=∠CEF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故S△BEC=2S△CEF，故③错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，
故选：B．
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
11．【答案】100°.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∠A，∠B的度数之比为5：4，
∴∠A=100°，∠B=80°，
∴∠C=∠A=100°
故答案为：100°
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B互补，根据已知可以求出∠A，∠B的度数，而∠C是∠A的对角，所以相等．
12．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】根据三角形的中位线定理，得：DE= BC=4，
故答案为4.
【分析】根据中位线的性质定理，即可求解.
13．【答案】9
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；
又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，
∴AB+OA+OB-(BC+OB+OC)=3
∴AB-BC=3，
又∵ ABCD的周长是30，
∴AB+BC=15，
∴AB=9，
故答案为9.
【分析】如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB-BC=3，又因为 ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得.
14．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG.
∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴EG∥AC且EG= AC= ×4=2，FG∥BD且FG= BD= ×8=4.
∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF= = = .
故答案为 .
【分析】取BC的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解.
15．【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据题意有AP=2t，CQ=t，PD=9-2t，BQ=6-t，
①∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴2t=6-t，解得t=2，
∴运动2s时四边形APQB是平行四边形，
②∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
∴9-2t=t，解得t=3，
∴运动3s时，四边形PDCQ是平行四边形，
故答案为：2或3.
【分析】当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，分别求出t即可.
16．【答案】证明：连接AC交BD于O，如图所示：
∵DC∥AB，DC=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵DE=FB，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴∠ECF=∠FAE．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC交BD于O，证明四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OB=OD，证出OE=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论．
17．【答案】解：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∵OE＝OF，OB＝OD
∴四边形DEBF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，根据四边形ABCD是平行四边形，得到OA＝OC，OB＝OD， 由此推出OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到结论.
18．【答案】证明：连接BD.
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线,
EH∥BD.
同理得 FG∥BD.
∴EH=FG,EH∥FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD.利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；
19．【答案】解：①以PQAD构成四边形
设X秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设Y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种．
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，
∴OA＝OC,DF∥EB
∴∠E＝∠F
又∵∠EOA＝∠FOC
∴△OAE≌△OCF,∴OE＝OF
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，同时结合此前学过的证明线段相等的方法，就能解答本题
1 / 12020年暑期衔接训练人教版数学八年级下册：第4讲 平行四边形
一、单选题
1．（2020八下·北京期中）在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对角互补 C．对边平行 D．对角相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对边平行、对角相等、对边相等，
∴选项B不符合题意；
故答案为B．
【分析】根据平行四边形的性质逐项排除即可
2．（2020八下·北京期中）平行四边形的一个内角是70°，则其他三个角是（ ）
A．70°，130°，130° B．110°，70°，120°
C．110°，70°，110° D．70°，120°，120°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形的一个角为70°，
∴邻角为110°，对角为70°，即其他三个角分别为：110°，70°，110°．
故答案为C．
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补的性质确定出其他角即可．
3．（2020八下·北京期中）如右图要测量池塘两侧的两点A、B之间的距离，可以取一个能直接到达A、B的点C，连结CA、CB，分别在线段CA、CB上取中点D、E，连结DE，测得DE=35m，则可得A、B之间的距离为（ ）
A．30 m B．70 m C．105m D．140m
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=70m.
故答案为：B．
【分析】先说明DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理即可解答．
4．（2020八下·北京期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝24．若△OAB的周长是20，则AB的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵ ABCD
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD
∵△OAB的周长是20
∴OA+OB+AB=20
∵OA+OB+AB+OC+OD+CD=20+20=40，AC+BD=24
∴AC+BD+2AB=40
∴AB=8
故答案为：A.
【分析】由平行四边形对角线互相平分的性质，进行等量转换，即可得解.
5．（2020八下·武汉期中）下面给出的四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3∶4∶3∶4 B．3∶3∶4∶4 C．2∶3∶4∶5 D．3∶4∶4∶3
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知A正确，B,C,D错误
故答案为：A.
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有D能判定是平行四边形.其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定.
6．（2020八下·北京期中）如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）．
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF= AR，为定值．
∴线段EF的长不改变．
故答案为：C．
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据三角形中位线定理可得EF= AR，因此线段EF的长不变．
7．（2020八下·佛山期中）如图，下面不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．
8．（2020八下·温州期中）如图，在 ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点作EF∥AB，与AD和BC分别交于点E和点F，连结AP，CP。已知AE=4，EP=2，∠ABC=60°则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点P作PH∥BC，过点P作PM⊥AB于点M，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AD∥CB
∴四边形BHPF，四边形AHPE和四边形ABFE是平行四边形，
S△PHB=S△PBF，S△PAB=S△PBC，
∴S△PHA=S△PBC，
∴S阴影部分=S平行四边形AHPE=
∵平行四边形ABFE
∴∠ABC=∠AEP=60°，
在Rt△PME中，
PM=PEsin∠AEP=2sin60°=；
∴S平行四边形AHPE=S阴影部分=.
故答案为：B.
【分析】过点P作PH∥BC，过点P作PM⊥AB于点M，利用平行四边形的判定定理可证得四边形BHPF，四边形AHPE和四边形ABFE是平行四边形，再证明S△PHA=S△PBC，可得到S阴影部分=S平行四边形AHPE，然后利用平行四边形的性质及解直角三角形求出PM的长，据此可求出阴影部分的面积。
9．（2020八下·江阴期中）如图，正方形ABCD和 AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和 AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．无法确定
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵由图可得，正方形 的面积 ，
又∵ ，
即 ，
故答案为： .
【分析】由于正方形 的面积等于2个三角形 的面积，而三角形 的面积又等于平行四边形 面积的一半，所以可得正方形 与平行四边形 的面积关系.
10．（2017八下·徐州期中）如图，在 ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，在线段
AB上，连接EF、CF．则下列结论：①∠BCD=2∠DCF；②∠ECF=∠CEF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF，其中一定正确的是（ ）
A．②④ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠BCD=2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE，
∴∠ECF=∠CEF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC，
故S△BEC=2S△CEF，故③错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确，
故选：B．
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
二、填空题
11．（2019八下·哈尔滨期中）在平行四边形ABCD中，若 与 的度数之比为 ，则 的度数为 ．
【答案】100°.
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∠A，∠B的度数之比为5：4，
∴∠A=100°，∠B=80°，
∴∠C=∠A=100°
故答案为：100°
【分析】根据平行四边形的性质可知∠A，∠B互补，根据已知可以求出∠A，∠B的度数，而∠C是∠A的对角，所以相等．
12．（2019八下·哈尔滨期中）如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= ．
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】根据三角形的中位线定理，得：DE= BC=4，
故答案为4.
【分析】根据中位线的性质定理，即可求解.
13．（2020八下·扬州期中）平行四边形ABCD的周长是30，AC，BD相交于点0， 的周长比 的周长大3，则AB= .
【答案】9
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；
又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，
∴AB+OA+OB-(BC+OB+OC)=3
∴AB-BC=3，
又∵ ABCD的周长是30，
∴AB+BC=15，
∴AB=9，
故答案为9.
【分析】如图：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；又由△OAB的周长比△OBC的周长大3，可得AB-BC=3，又因为 ABCD的周长是30，所以AB+BC=10；解方程组即可求得.
14．（2020八下·江阴期中）在四边形ABCD中，对角线AC ⊥BD且AC=4，BD=8，E、F分别是边AB.CD的中点，则EF= .
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG.
∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴EG∥AC且EG= AC= ×4=2，FG∥BD且FG= BD= ×8=4.
∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF= = = .
故答案为 .
【分析】取BC的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解.
15．（2020八下·灌云月考）如图，在四边形 中， ，点 分别从点 同时出发，点 以 的速度由点 向点 运动，点 以 的速度由点 向点 运动设运动时间为 .当 .时， 为平行四边形的一边.
【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据题意有AP=2t，CQ=t，PD=9-2t，BQ=6-t，
①∵AD∥BC，
∴当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，
∴2t=6-t，解得t=2，
∴运动2s时四边形APQB是平行四边形，
②∵AD∥BC，
∴当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，
∴9-2t=t，解得t=3，
∴运动3s时，四边形PDCQ是平行四边形，
故答案为：2或3.
【分析】当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形，当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边形，分别求出t即可.
三、解答题
16．（2020八下·南昌期中）如图，点 ， 是四边形 的对角线 上的两点，且 ， ， ．求证： ．
【答案】证明：连接AC交BD于O，如图所示：
∵DC∥AB，DC=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵DE=FB，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴∠ECF=∠FAE．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC交BD于O，证明四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OB=OD，证出OE=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论．
17．（2020八下·三台期中）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】解：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
∵OE＝OF，OB＝OD
∴四边形DEBF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，根据四边形ABCD是平行四边形，得到OA＝OC，OB＝OD， 由此推出OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到结论.
18．（2020八下·淮滨期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形EFGH叫中点四边形.求证：四边形EFGH是平行四边形.
【答案】证明：连接BD.
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线,
EH∥BD.
同理得 FG∥BD.
∴EH=FG,EH∥FG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接BD.利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；
19．（2015八下·嵊州期中）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
【答案】解：①以PQAD构成四边形
设X秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设Y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种．
20．如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，
∴OA＝OC,DF∥EB
∴∠E＝∠F
又∵∠EOA＝∠FOC
∴△OAE≌△OCF,∴OE＝OF
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，同时结合此前学过的证明线段相等的方法，就能解答本题
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