初中数学人教版八年级下学期 第十八章 18.2.2 菱形
一、单选题
1．（2019九上·中原月考）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故答案为：D.
【分析】利用菱形的判定定理，对各选项逐一判断，可得答案。
2．（2019九上·太原期中）已知四边形ABCD中， ，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：在四边形ABCD中， ，
∴四边形ABCD是菱形，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的判定和性质，即可得到答案.
3．（2019九上·深圳期中）如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．则四边形ADCE的周长为（ ）
A．10 B．20 C．12 D．24
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，
∴MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形；
∴OA=OC= AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= BC= ×3=1.5，
∴AD= =2.5，
∴菱形ADCE的周长=4AD=10．
故答案为：A．
【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．
4．（2019九上·福田期中）如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，且AM=CN，连接MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．56° C．62° D．72°
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°-28°=62°．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
5．（2019九上·天河月考）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（ ）
A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR BC=AS CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA=3，OB=4，
∴AB= =5，
故答案为：A．
【分析】现根据题意将四边形ABCD判定为矩形，然后根据矩形的性质可得对角线互相垂直平分，故利用勾股定理求解。
二、填空题
6．（2020八上·张掖期末）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °．
【答案】70．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形．∴DB=DE．
∵∠BDE=70°，∴∠ABD= =55°．
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°．
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°．∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
【分析】先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．
7．已知一菱形的两对角线长为6cm和8cm,则其周长为 cm，面积为 cm。
【答案】20；24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，AC=6cm,BD=8cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=3cm，OB=OD=4cm，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
在Rt△BOC中，BC==5cm,
∴菱形ABCD的周长4BC=4×5=20cm，
菱形的面积为：AC·BD=24cm2.
故答案为：12；24
【分析】根据菱形的性质可得OA=OC=3cm，OB=OD=4cm，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，利用勾股定理求出BC的长，由菱形ABCD的周长=边长的4倍，菱形的面积=对角线乘积的一半，分别计算即可.
8．如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形，且0B=OD,请你添加一个适当的条件: 使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)
【答案】答案不唯一，如 或 或 或 等
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加：OA=OC，
理由：∵OA=OC，OB=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为：OB=OD（答案不唯一）
【分析】根据对角线互相垂直、平分的四边形是平行四边形进行添加即可.
9．（2019八上·织金期中）菱形的对角线长分别是6cm和8cm,则菱形的周长是 .
【答案】20cm
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为5cm，则周长是20cm.
【分析】由于菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可求出菱形的边长，由菱形的四条边相等即可求出菱形的周长.
三、综合题
10．（2019八上·织金期中）如图，在 ABCD中，AC与BD相交于O点，且AO=4，BO=3，AB=5.
（1）求证： 四边形ABCD是菱形；
（2）求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵AO=4，BO=3，AB=5，
∴AB2=AO2+BO2，
∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形
（2）解：∵AO=4，BO=3，
∴AC=2AO=8，BD=2BO=6，
∴菱形ABCD的面积为：
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，可得△AOB是直角三角形且∠AOB=90°，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求出结论.
（2）利用菱形的性质可得AC=2AO=8，BD=2BO=6， 利用菱形ABCD的面积 =×AC×BD计算即可.
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一、单选题
1．（2019九上·中原月考）下列条件中，能判断四边形是菱形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相平分且垂直的四边形
2．（2019九上·太原期中）已知四边形ABCD中， ，对角线AC，BD相交于点O.下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019九上·深圳期中）如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．则四边形ADCE的周长为（ ）
A．10 B．20 C．12 D．24
4．（2019九上·福田期中）如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，且AM=CN，连接MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．56° C．62° D．72°
5．（2019九上·天河月考）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（ ）
A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm
二、填空题
6．（2020八上·张掖期末）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= °．
7．已知一菱形的两对角线长为6cm和8cm,则其周长为 cm，面积为 cm。
8．如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形，且0B=OD,请你添加一个适当的条件: 使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)
9．（2019八上·织金期中）菱形的对角线长分别是6cm和8cm,则菱形的周长是 .
三、综合题
10．（2019八上·织金期中）如图，在 ABCD中，AC与BD相交于O点，且AO=4，BO=3，AB=5.
（1）求证： 四边形ABCD是菱形；
（2）求四边形ABCD的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直相等的四边形不一定是菱形，此选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C、对角线相等的平行四边形也可能是矩形，此选项错误；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，此选项正确；
故答案为：D.
【分析】利用菱形的判定定理，对各选项逐一判断，可得答案。
2．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：在四边形ABCD中， ，
∴四边形ABCD是菱形，
∴ ；
故答案为：A.
【分析】根据菱形的判定和性质，即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵分别以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，
∴MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CD∥AE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形；
∴OA=OC= AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= BC= ×3=1.5，
∴AD= =2.5，
∴菱形ADCE的周长=4AD=10．
故答案为：A．
【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CE∥AB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°-28°=62°．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
5．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR BC=AS CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA=3，OB=4，
∴AB= =5，
故答案为：A．
【分析】现根据题意将四边形ABCD判定为矩形，然后根据矩形的性质可得对角线互相垂直平分，故利用勾股定理求解。
6．【答案】70．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形．∴DB=DE．
∵∠BDE=70°，∴∠ABD= =55°．
∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°．
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°．∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
【分析】先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．
7．【答案】20；24
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，AC=6cm,BD=8cm，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=3cm，OB=OD=4cm，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
在Rt△BOC中，BC==5cm,
∴菱形ABCD的周长4BC=4×5=20cm，
菱形的面积为：AC·BD=24cm2.
故答案为：12；24
【分析】根据菱形的性质可得OA=OC=3cm，OB=OD=4cm，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，利用勾股定理求出BC的长，由菱形ABCD的周长=边长的4倍，菱形的面积=对角线乘积的一半，分别计算即可.
8．【答案】答案不唯一，如 或 或 或 等
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加：OA=OC，
理由：∵OA=OC，OB=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
故答案为：OB=OD（答案不唯一）
【分析】根据对角线互相垂直、平分的四边形是平行四边形进行添加即可.
9．【答案】20cm
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长为5cm，则周长是20cm.
【分析】由于菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可求出菱形的边长，由菱形的四条边相等即可求出菱形的周长.
10．【答案】（1）证明：∵AO=4，BO=3，AB=5，
∴AB2=AO2+BO2，
∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形
（2）解：∵AO=4，BO=3，
∴AC=2AO=8，BD=2BO=6，
∴菱形ABCD的面积为：
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，可得△AOB是直角三角形且∠AOB=90°，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求出结论.
（2）利用菱形的性质可得AC=2AO=8，BD=2BO=6， 利用菱形ABCD的面积 =×AC×BD计算即可.
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