辽宁省锦州市2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（无答案）

锦州市2021-2022学年高二下学期期末考试
数学
注意事项:
1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1. 已知等差数列的通项公式，则它的公差为（ ）
A. 3 B. C. 5 D.
2. 已知随机变量X服从正态分布，，若，则（ ）
A. B. C. D.
(
1
第3题图
O
x
y
3
3
1
)3. 函数的图像如图所示，则f ′与f ′的大小关系是（ ）
A. f ′f ′
B. f ′f ′
C. f ′f ′
D. f ′f ′
4. 某铁球在0℃时，半径为1 dm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为t℃时铁球的半径为 dm，其中a为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（ ）（参考公式：）
A. B. C. D.
5. 针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自
研制成功的概率分别为和，而且两个机构互不影响，则恰有一个机构研制成功的概率
为（ ）
A. B. C. D.
6. 随机变量X的分布列是
X 1 2
P a b
若，则（ ）
A. 1 B. 4 C. D.
7. 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空
航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列，如果
，数列为牛顿数列，设且，，数列的前
n项和为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在R上的函数的导函数f ′，且f ′，则（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 函数的定义域为R，它的导函数f ′的部分图像如图所示，则下列结论正确的
(
第9题图
f
′
O
x
y
1
-
1
-
3
-
2
)是（ ）
A.
B. 是的极小值点
C. 函数在，上有极大值
D. 是的极大值点
10.有3台车床加工同一型号零件，第1台次品率为6%，第2，3台次品率为5%，加工的零件
混在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件分别占总数的25%，30%，45%，记事件为
“任取一个零件为次品”，事件为“零件为第i台车床加工”（1，2，3），则（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知在数列中，，，其前n项和为，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，数列是递增数列
C.
D. 对任意，存在，使得数列成等比数列
12.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在，上单调递减，在，上单调递增
B. 当时，
C. 若函数有两个零点，则
D. 设，若对，，，使得成立，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数的导函数为f ′，且满足f ′，则f ′ .
14.某产品的研发投入费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如
表所示：
研发投入费用x 2.2 2.6 4.3 5.0 5.9
销售量y 3.8 5.4 7.0 10.35 12.2
根据表中的数据可得回归直线方程，则 ；该产品的研发投
入费用每提高3万元，销售量估计能提高 万件.（第1空2分，第2空3分）
(
第
1
5题图
O
x
y
P
1
P
2
Q
2
Q
1
)15.如图，抛物线上的点与x轴上的点构成等边三角形
，，……其中点在抛物线上，点
的坐标为，，则数列的通项公式为 .
16.若实数a，b，c，d满足，，则的最小值是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本题满分10分）
等差数列的前n项和记为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若，求n的最小值.
18. （本题满分12分）
某水果经营户对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知该经营户购进一批苹果，从中随机抽取100个进行检验，得到如下统计表格：
直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计
着色度低于90% 10 15 25
着色度不低于90% 15 60 75
合计 25 75 100
（1）根据以上数据，判断是否有95%的把握认为该经营户购进的这批苹果的大小达标和色泽达标有关；
（2）该经营户对三个等级的苹果按照分层抽样从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取3个，求抽到二级果个数X的概率分布列和数学期望．
附：
0.050 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
，其中.
19. （本题满分12分）
已知函数，其中a为实常数.
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在，，使得不等式成立，求实数a的取值范围.
20. （本题满分12分）
已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列. 数列的前n项的和为，且满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
21. （本题满分12分）
2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3∶2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军.在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6∶5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
（1）扑点球的难度一般比较大，假设某罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
22. （本题满分12分）
已知函数，.
（1）若，证明：；
（2）若不等式恒成立，求正实数a的值；
（3）证明：.