专题02 带电小球的平衡问题
一、单项选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．、两带电小球，质量分别为、，电荷量分别为、，用绝缘不可伸长的细线如图悬挂，静止时、两球处于同一水平面。若对及对的库仑力分别为、，则下列判断不正确的是（ ）
A．
B．细线对的拉力
C．细线的拉力
D．同时烧断、细线后，、在竖直方向的加速度相同
2．如图所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3的距离为q1与q2的距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为（ ）
A．9∶4∶9 B．4∶9∶4 C．9∶（-4）∶36 D．9∶36∶4
3．如图所示，完全相同的金属小球和带有等量异种电荷，中间连有一轻质绝缘弹簧，放在光滑的水平面上，平衡时弹簧的压缩量为。现将不带电的、与完全相同的另一个小球与接触一下，然后拿走，待重新平衡后弹簧的压缩量为，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，用两根绝缘丝线悬挂两个质量相同不带电的小球A和B，此时，上、下丝线的张力分别为TA、TB；如果使A带正电，B带负电，上、下细线的张力分别为TA′，TB′，则（ ）
A．TA5．竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷。现用水平向左推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙和水平地面上，如图所示。如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来平衡状态相比较（ ）
A．地面对小球B的支持力变大
B．两小球之间的距离不变
C．竖直墙面对小球A的弹力变小
D．小球A位置未必在原来位置的上方
6．如图所示，有A、B两个可看成点电荷的带电小球，电荷量分别为、，用长度相等的绝缘轻质细绳系于天花板上的同一点，A球紧靠竖直绝缘光滑墙壁，平衡时A、B之间的距离为，现仅将B球的电荷量减少为原来的一半，则再次平衡时A、B之间的距离变为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，电荷量分别为的两个正点电荷分别置于A点和B点，两点相距L，在以为直径的光滑绝缘半圆环上，穿着一个带电荷量为q的小球（视为点电荷），小球在P点受力平衡，若不计小球的重力，那么与的夹角α与的关系满足（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，绝缘光滑圆环竖直放置，质量都为m的a、b、c三个空心带电小球，套在半径为R的圆环上可自由滑动，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，小球带c正电，电量为q，三个小球均处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
A．a、b小球都带正电荷 B．a、b小球电量之比为
C．a、b小球电量之比为 D．小球a电量数值为
9．半径为R的绝缘光滑半球形碗，固定放置在水平面上，在碗中置入三个质量均为m，电荷量相同的带电小球。当处于平衡状态时，三小球同处于水平平面内，该平面和地面的距离为0.5R。已知静电力常数为k，重力加速度为g，则（ ）
A．小球电荷量的大小为 B．小球受到的弹力大小为
C．小球电荷量的大小为 D．碗受到三小球的作用力小于
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
10．如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，绳与竖直方向的夹角分别为α、β，且β>α。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电荷量不变，则（ ）
A．a球的质量比b球的大 B．a、b两球同时落地
C．a球的电荷量比b球的大 D．a、b两球飞行的水平距离相等
11．如图所示，用轻质细绝缘线把带电小球甲悬挂在水平天花板上。小球甲电荷量为，质量为，小球甲的正下方处放置一带同种电荷的小球乙，此时小球甲静止在图示位置，细线伸直且与竖直方向夹角。小球甲、乙均可视为点电荷，已知静电力常量，重力加速度取，，。则（ ）
A．小球乙电荷量大小为
B．细线拉力大小为
C．保持小球甲在图示位置不动，将小球乙沿纸面缓慢向小球甲左下方移动，此过程线中拉力可能会减小
D．保持小球甲在图示位置不动，将小球乙沿纸面缓慢向小球甲左下方移动，此过程两球间库仑力的最小值为
12．如图所示，带电小球a用绝缘细线竖直悬挂，在带电小球a下方的绝缘桌面上固定着两个带电小球b、c，三个小球均可看成点电荷。当小球a处于平衡状态时，它距正下方桌面上O点的距离为7.5cm，距小球b、c的距离均为15cm，且三个电荷在同一竖直平面内。已知小球a的带电荷量为－3.00×10－8C，小球b、c的带电荷量均为＋3.00×10－4C，O、M间的距离等于O、N间距离，下列说法不正确的是（ ）
A．O处的电场强度大小为4.8N/C
B．小球a与b之间作用力大小为9.6N
C．若小球a沿竖直方向向上运动，则它的电势能将减小
D．若小球b、c分别移到M、N两点，则细线的拉力将减小
三、非选择题：共6小题，共55分，考生根据要求作答
13．如图所示，两根绝缘细线挂着两个质量相同且不带电的小球A和B
，此时上、下细线受力的大小分别为TA、TB。如果使A带正电，B带负电，上、下细线受力的大小分别是TA′、TB′。请分别比较TA与TA′、TB与TB′的大小，并说明理由。
14．一个挂在细丝线下端的带电的小球B，静止在如图所示位置。若固定的带正电的小球A电量为Q，B球的质量为m，带电量为q，丝线与竖直方向的夹角为θ，A和B在同一水平线上，整个装置处于真空中，A、B球均可视为点电荷，求：
（1）B球带何种电荷？
（2）A、B两球之间的距离为多少？
15．如图所示，一个挂在丝线下端带正电的小球B，静止在图示位置．若固定的带正电小球A（可看作点电荷）的电荷量为Q，B球的质量为m，带电荷量为q，θ=30°，A和B在同一条水平线上，整个装置处于真空中．
（1）试求A、B两球间的距离r．
（2）带电小球A在图中B球静止位置处产生的电场强度大小和方向．
（3）若使A、B两球间的距离变为原来的2倍，B球的电荷量也变为原来的2倍，B球的质量变为原来的一半，则θ=？
16．如图所示，A、B两小球带等量同号电荷，A固定在竖直放置绝缘支柱上，B受A的斥力作用静止于光滑的绝缘斜面上与A等高处，两者的水平距离为斜面倾角为，B的质量为。求：
（1）B球对斜面的压力大小；
（2）B球带的电荷量大小（g取10，静电力常量）。
17．如图所示，带电荷量分别为和的两自由点电荷A、B，相距L，问：在何处放一个什么性质和电量的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？
18．真空中光滑绝缘平面上，分别放置两个电荷量为、的带电小球、，如图所示，且、间的距离为。如果引入第三个小球，恰好使得三个小球在它们的静电力下都处于平衡状态，则：
（1）第三个小球应带何种小球？
（2）第三个小球应放在何处？电荷量是多少？专题02 带电小球的平衡问题
一、单项选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．、两带电小球，质量分别为、，电荷量分别为、，用绝缘不可伸长的细线如图悬挂，静止时、两球处于同一水平面。若对及对的库仑力分别为、，则下列判断不正确的是（ ）
A．
B．细线对的拉力
C．细线的拉力
D．同时烧断、细线后，、在竖直方向的加速度相同
【答案】A
【解析】A．两球间的库仑力是作用力与反作用力，一定相等，与两个球是否带电荷量相等无关，故A错误，与题意相符；B．对小球受力分析，受重力、库仑力、拉力，如图。根据平衡条件，
因此
故B正确，与题意不符；
C．由整体法可知，细线的拉力等于两球的重力，故C正确，与题意不符；
D．同时烧断、细线后，、在竖直方向只受重力作用，则加速度均为不变，所以加速度相同，故D正确，与题意不符。
故选A。
2．如图所示，三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上，q2与q3的距离为q1与q2的距离的2倍，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比q1∶q2∶q3为（ ）
A．9∶4∶9 B．4∶9∶4 C．9∶（-4）∶36 D．9∶36∶4
【答案】C
【解析】设q1、q2之间的距离为L，q2、q3之间的距离为2L。因为每个电荷所受静电力的合力均为零，对点电荷q1列平衡方程得
对点电荷q2列平衡方程得
由以上解得
因三个电荷受力平衡，所以q1与q3所带电性相同，q2与q1、q3电性相反，则
或
故选C。
3．如图所示，完全相同的金属小球和带有等量异种电荷，中间连有一轻质绝缘弹簧，放在光滑的水平面上，平衡时弹簧的压缩量为。现将不带电的、与完全相同的另一个小球与接触一下，然后拿走，待重新平衡后弹簧的压缩量为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平衡后，小球间的库仑力大小等于弹簧弹力大小。设弹簧的劲度系数为，第一次平衡时有
小球与接触后，球带电荷量变为原来的一半，再次平衡时有
若，则，弹簧压缩量刚好为原来的一半，但实际上弹簧的长度应变长，，所以弹簧压缩量小于原来的一半，故。
故选C。
4．如图所示，用两根绝缘丝线悬挂两个质量相同不带电的小球A和B，此时，上、下丝线的张力分别为TA、TB；如果使A带正电，B带负电，上、下细线的张力分别为TA′，TB′，则（ ）
A．TA【答案】B
【解析】AB．运用整体法研究两个质量相等的小球A和B，不管A、B是否带电，整体都受重力和上丝线的拉力，则由平衡条件得
上丝线的拉力
所以
故A错误，B正确；
CD．隔离B研究，不带电时受重力和下丝线的拉力，由平衡条件得
带电时受重力、下丝线得拉力和A对B的向上的吸引力，由平衡条件得
即
所以
故CD错误。
故选B。
5．竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷。现用水平向左推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙和水平地面上，如图所示。如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来平衡状态相比较（ ）
A．地面对小球B的支持力变大
B．两小球之间的距离不变
C．竖直墙面对小球A的弹力变小
D．小球A位置未必在原来位置的上方
【答案】C
【解析】AC．以A球为研究对象，分析受力，作出力图如图所示，设B对A的库仑力F与墙壁的夹角为，由平衡条件得竖直墙面对小球A的弹力为
将小球B向左推动少许时，减小，则竖直墙面对小球A的弹力N1减小； 再以AB整体为研究对象，分析受力如图所示，由平衡条件得
则F减小，地面对小球B的支持力一定不变，A错误，C正确；
B．由上分析得到库仑力
减小，cos增大，减小，根据库仑定律分析得知，两球之间的距离增大，B错误；
D．根据受力情况可知，小球A位置一定在原来位置的上方，D错误。
故选C。
6．如图所示，有A、B两个可看成点电荷的带电小球，电荷量分别为、，用长度相等的绝缘轻质细绳系于天花板上的同一点，A球紧靠竖直绝缘光滑墙壁，平衡时A、B之间的距离为，现仅将B球的电荷量减少为原来的一半，则再次平衡时A、B之间的距离变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对小球B受力分析如图
由相似三角形关系可知
其中
即
现仅将B球的电荷量减少为原来的一半，则
解得
故选C。
7．如图所示，电荷量分别为的两个正点电荷分别置于A点和B点，两点相距L，在以为直径的光滑绝缘半圆环上，穿着一个带电荷量为q的小球（视为点电荷），小球在P点受力平衡，若不计小球的重力，那么与的夹角α与的关系满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】小球在P点受力平衡，由平衡条件可得
其中
联立解得
故选D。
8．如图所示，绝缘光滑圆环竖直放置，质量都为m的a、b、c三个空心带电小球，套在半径为R的圆环上可自由滑动，已知小球c位于圆环最高点，ac连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，小球带c正电，电量为q，三个小球均处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
A．a、b小球都带正电荷 B．a、b小球电量之比为
C．a、b小球电量之比为 D．小球a电量数值为
【答案】D
【解析】A． c小球水平方向合力为零，说明a、b小球一定为同种电荷，b小球静止合力为零可知b、c一定带异种电荷，因小球c带正电，则小球b带负电，a、b小球一定都带负电，故A错误；
BC．圆环半径为R，由几何关系可求得，，C小球水平方向合力为零，则有
解得
故BC都错误；
D．取小球a为研究对象，垂直ab方向合力为零，则有
解得
故D正确。
故选D。
9．半径为R的绝缘光滑半球形碗，固定放置在水平面上，在碗中置入三个质量均为m，电荷量相同的带电小球。当处于平衡状态时，三小球同处于水平平面内，该平面和地面的距离为0.5R。已知静电力常数为k，重力加速度为g，则（ ）
A．小球电荷量的大小为 B．小球受到的弹力大小为
C．小球电荷量的大小为 D．碗受到三小球的作用力小于
【答案】A
【解析】AC．小球受重力，碗给的支持力和库伦作用力，三力平衡。已知三个小球处于同一平面，所以三个小球从俯视图看应为等边三角形排布，已知该平面和地面的距离为0.5R，所以该平面到碗面处也应为0.5R，并且已知碗的半径为R，所以碗面处的圆心到其中一个小球的距离应为R，根据几何知识，可得其中一个小球到其所处平面中心的距离为
根据几何知识有，小球与小球之间距离为，小球受力分析如图所示
每个小球所受库仑力为
又有
联立解得
A正确，C错误；
B．根据以上分析，有
B错误；
D．将三个小球看成一个整体，受到重力和碗给小球的作用力，因此和三个小球重力 等大反向，3mg，D错误。
故选A。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18
分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
10．如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，绳与竖直方向的夹角分别为α、β，且β>α。若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电荷量不变，则（ ）
A．a球的质量比b球的大 B．a、b两球同时落地
C．a球的电荷量比b球的大 D．a、b两球飞行的水平距离相等
【答案】AB
【解析】A．对小球受力分析，有
由于β>α，所以
故A正确；
B．从上面的分析可知，，因此水平方向上，a的加速度小于b的加速度，竖直方向上作自由落体运动，根据运动的独立性可知，两球同时落地，故B正确；
C．因为a、b两球之间的库仑力是相互作用力，一直是等大的，所以a球的电荷量和b球的电量大小无法判断，故C错误；
D．从上面的分析可知，a的水平加速度小于b的水平加速度，又因为它们平抛运动的时间相等，因此a球水平飞行的距离比b球小，故D错误。
故选AB。
11．如图所示，用轻质细绝缘线把带电小球甲悬挂在水平天花板上。小球甲电荷量为，质量为，小球甲的正下方处放置一带同种电荷的小球乙，此时小球甲静止在图示位置，细线伸直且与竖直方向夹角。小球甲、乙均可视为点电荷，已知静电力常量，重力加速度取，，。则（ ）
A．小球乙电荷量大小为
B．细线拉力大小为
C．保持小球甲在图示位置不动，将小球乙沿纸面缓慢向小球甲左下方移动，此过程线中拉力可能会减小
D．保持小球甲在图示位置不动，将小球乙沿纸面缓慢向小球甲左下方移动，此过程两球间库仑力的最小值为
【答案】AD
【解析】AB．由平衡条件可得，细线拉力为0，且有
解得乙球电荷量
则A正确、B错误；
C．保持小球乙在图示位置不动，在同一竖直平面内缓慢移动小球甲，由三力的动态平衡可知，绳子拉力变大，则C错误；
D．当两球间的库仑力与细线垂直时最小，此时大小为
则D正确。
故选AD。
12．如图所示，带电小球a用绝缘细线竖直悬挂，在带电小球a下方的绝缘桌面上固定着两个带电小球b、c，三个小球均可看成点电荷。当小球a处于平衡状态时，它距正下方桌面上O点的距离为7.5cm，距小球b、c的距离均为15cm，且三个电荷在同一竖直平面内。已知小球a的带电荷量为－3.00×10－8C，小球b、c的带电荷量均为＋3.00×10－4C，O、M间的距离等于O、N间距离，下列说法不正确的是（ ）
A．O处的电场强度大小为4.8N/C
B．小球a与b之间作用力大小为9.6N
C．若小球a沿竖直方向向上运动，则它的电势能将减小
D．若小球b、c分别移到M、N两点，则细线的拉力将减小
【答案】ABC
【解析】A．由题知，带电小球b、c在O点形成的合场强为0，故O处的合场强为带电小球a在O处产生的场强，大小为
E＝k＝4.8×104N/C
故A错误；
B．带电小球a、b间的库仑力大小为
F＝k＝3.6N
故B错误；
C．若小球a沿竖直方向向上运动，电场力做负功，电势能增加，故C错误；
D．若小球b、c分别移到M、N两点，a受到b、c的库仑引力都减小，且两力夹角变大，故细线拉力减小，故D正确。
故选ABC。
三、非选择题：共6小题，共55分，考生根据要求作答
13．如图所示，两根绝缘细线挂着两个质量相同且不带电的小球A和B，此时上、下细线受力的大小分别为TA、TB。如果使A带正电，B带负电，上、下细线受力的大小分别是TA′、TB′。请分别比较TA与TA′、TB与TB′的大小，并说明理由。
【答案】TA=TA′，TB>TB′
【解析】设A、B的质量分别为M、m，不带电时，由平衡条件可得
A、B带上电后，把A、B看成一整体，库仑力属于内力，由整体法可得
对于B，由于带异种电荷，B受到的库仑力F向上，由平衡条件可得
故TA=TA′、TB>TB′。
14．一个挂在细丝线下端的带电的小球B，静止在如图所示位置。若固定的带正电的小球A电量为Q，B球的质量为m，带电量为q，丝线与竖直方向的夹角为θ，A和B在同一水平线上，整个装置处于真空中，A、B球均可视为点电荷，求：
（1）B球带何种电荷？
（2）A、B两球之间的距离为多少？
【答案】（1）带正电；（2）
【解析】（1）两球相斥，所以B与A电性相同，B球带正电。
（2）对B球受力分析如图所示，由平衡条件可知
而
FAB＝k
得
15．如图所示，一个挂在丝线下端带正电的小球B，静止在图示位置．若固定的带正电小球A（可看作点电荷）的电荷量为Q，B球的质量为m，带电荷量为q，θ=30°，A和B在同一条水平线上，整个装置处于真空中．
（1）试求A、B两球间的距离r．
（2）带电小球A在图中B球静止位置处产生的电场强度大小和方向．
（3）若使A、B两球间的距离变为原来的2倍，B球的电荷量也变为原来的2倍，B球的质量变为原来的一半，则θ=？
【答案】(1) (2) 方向水平向右(3)
【解析】（1）根据平衡条件可知：
解得：
根据点电荷的电场强度公式有：
联立解得：
（2）取B为研究对象，受到重力mg、电场力qE和绳中拉力T的作用．根据平衡条有：
解得：
（3）若使A、B两球间的距离变为原来的2倍，B球的电荷量也变为原来的2倍，则AB间的库仑力为：
根据平衡条有：
代入得：
解得：
16．如图所示，A、B两小球带等量同号电荷，A固定在竖直放置绝缘支柱上，B受A的斥力作用静止于光滑的绝缘斜面上与A等高处，两者的水平距离为斜面倾角为，B的质量为。求：
（1）B球对斜面的压力大小；
（2）B球带的电荷量大小（g取10，静电力常量）。
【答案】（1）0.2N；（2）
【解析】（1）设斜面给B球支持力为FN，A球对B球的库仑力为FA，对B球进行受力分析,沿斜面方向上有
垂直斜面方向上有
联立解得
，
斜面给B球的支持力和B球对斜面的压力大小相等，方向相反，故B球对斜面的压力为0.2N。
（2）根据库仑定律有
解得
故B带的电荷量大小为。
17．如图所示，带电荷量分别为和的两自由点电荷A、B，相距L，问：在何处放一个什么性质和电量的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？
【答案】在AB连线上且在A的右边，与点电荷A相距处放置一个电荷量为的负电荷
【解析】由平衡条件，对C进行受力分析，C应在AB的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，则
=
解得
若将C放在A、B电荷两边，A、B对C同为向右（或向左）的力，C都不能平衡；若将C放在A、B之间，C为正电荷，则A、B都不能平衡，所以C为负电荷。设放置的点电荷的电荷量大小为Q，与A相距，分别对A、B受力分析，根据平衡条件，对电荷A，有
＝
对电荷B，有
＝
联立可得
，（负电荷）
综上所述，应在AB连线上且在A的右边，与点电荷A相距处放置一个电荷量为的负电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态。
18．真空中光滑绝缘平面上，分别放置两个电荷量为、的带电小球、，如图所示，且、间的距离为。如果引入第三个小球，恰好使得三个小球在它们的静电力下都处于平衡状态，则：
（1）第三个小球应带何种小球？
（2）第三个小球应放在何处？电荷量是多少？
【答案】（1）正电；（2）左侧，
【解析】（1）根据规律可知，引入的第三个小球必须带正电。
（2）放在前两个小球的连线上且离较近，故应放在的左侧，设距离左侧为，
由平衡条件和库仑定律有
解得
以为研究对象，由平衡条件得
解得
