《新新练案系列》2013-2014学年高中数学（人教A版必修五）本章练测：第三章 不等式（含答案详解）

第三章 不等式（数学人教实验A版必修5）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设0＜b＜a＜1，则下列不等式中成立的是（ ）
A.＜ab＜1 B.＜＜0
C.D.
2.已知t=a+2b，s=a+b2+1，则t和s的大小关系正确的是（ ）
A.t>s B.t≥s C.t3.不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数f（x）=log2（x+1）且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是（ ）
A. ＞＞
B. ＞＞
C. ＞＞
D. ＞＞
5. 不等式组表示的平面区域是一个（ ）
A.三角形 B.梯形
C.矩形 D.菱形
6.满足不等式y2-x2≥0的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（ ）
7.已知函数f（x）=则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（ ）
A.{x|-1≤x≤-1}
B.{x|x≤1}
C.{x|x≤-1}
D.{x|--1≤x≤-1}
8. 设，且，则M的取值范围是（ ）
A. B. ，1）
C. D.［8，+∞）
9.对于满足等式x2+（y-1）2=1的一切实数x、y，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围 是（ ）
A.（-∞，0］
B.［，+∞）
C.［-1，+∞）
D.［1-，+∞）
10.如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么（ ）
A.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
B.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
C.ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
D.ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
11. 一个直角三角形的周长为2p，则其斜边长的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
12.某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主应每天从报社买进( )份晚报.
A.250 B.400
C.300 D.350
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
13.不等式≤的解集为 .
14.函数y=（a＞0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则 +的最小值为 .
15.若不等式＞0对x∈R恒成立，则关于t的不等式的解集为 .
16.设x，y，z∈R，则 的最大值是 .
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共74分）
17.（12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告版面的高与宽的尺寸（单位:cm）能使矩形广告的面积最小?
18.（12分）不等式（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
19.（12分）某人上午7时乘摩托艇以匀速
v km/h(4≤v≤20)从A港出发到距50 km的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w≤100)从B港向距 300 km的C市驶去.应该在同一天下午4至9点到达C市.设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h、y h.若所需的经费p=100+3(5-y)+2(8-x)元，那么v，w分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.
20.（12分）已知二次函数f（x）满足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤对一切实数x都成立.
（1）求f（2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）设bn=，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn＞.
21.（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？
22.（14分）某村计划建造一个室内面积为72 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
第三章 不等式（数学人教实验A版必修5）
答题纸
得分：
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．
18.
19.
20.
21.
22.
第三章 不等式（数学人教实验A版必修5）
参考答案
一、选择题
1.D 解析：∵ 是增函数，而0＜b＜a＜1，
∴ .
2.D 解析：∵ t-s=a+2b-a-b2-1=-（b-1）2≤0，∴ t≤s.
3.C 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，
由得交点A的坐标为（1，1），
又B，C两点的坐标分别为（0，4），(0，)，
故S△ABC= (4-)×1=. 第3题答图
4.B 解析：特殊值法.令a=7，b=3，c=1，满足a＞b＞c＞0，
∴ ＞＞.
5. A 解析：不等式组可化为或
在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示，
∴ 不等式组 表示的平面区域为三角形. 第5题答图
6.B 解析：取测试点（0，1）可知C，D错，再取测试点（0，-1）可知A错，故选B.
7.C 解析：依题意得
所以x＜-1或-1≤x≤-1x≤-1，故选C.
8. D 解析：M≥
9.C 解析：令x= cos ，y=1+ sin ，
则-（x+y）=- sin -cos -1=-sin (+)-1.
∴ -（x+y）max=-1.
∵ x+y+c≥0恒成立，故c≥-（x+y）max=-1，故选C.
10.A 解析：因为a+b=cd=4，由基本不等式得a+b≥2，故ab≤4.
又cd≤，故c+d≥4，所以ab≤c+d，
当且仅当a=b=c=d=2时，等号成立.故选A.
11.A 解析：设直角三角形的一个锐角为θ，斜边长为c，
则根据题意得c（sin θ+cos θ+1）=2p，
∴ c==.
∵，当θ=时，等号成立，
∴ c≥，当此三角形为等腰直角三角形时，等号成立.
∴ 斜边c的最小值为.故选A.
12. B 解析：若设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份晚报，则每月共可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x-250)份，每份亏损0.15元，建立月利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润.
设每天从报社买进x份晚报，每月获得的总利润为y元，则依题意，得
y＝0.10(20x＋10×250)-0.15×10(x-250)＝0.5x＋625，x∈［250，400］.
∵ 函数y=0.5x+625在［250，400］上单调递增，∴ 当x＝400时，＝825.
即摊主每天从报社买进400份晚报时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.
13.{x|-3≤x≤1} 解析：依题意x2+2x-4≤-1（x+3）（x-1）≤0x∈［-3，1］.
14.4 解析：由题意知A（1，1），∴ m+n-1=0，∴ m+n=1，
∴ +=( +)（m+n）=2+ +≥2+2=4.
15.（-2，2） 解析：由-2ax+a＞0对x∈R恒成立得
，即0＜a＜1，
∴ 函数是R上的减函数，
∴，解得-2＜t＜2.
16. 解析：
?
? ?.
17.解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9 000.①
广告版面的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=18 500+25a+40b≥18 500+2=18 500+ 2=24 500.当且仅当25a=40b时等号成立，此时b=a，代入①式得a=120，从而b=75，即当a=120，b=75时，S取得最小值24 500.
故广告版面的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
18.解：若m2-2m-3=0，则m=-1或m=3.
当m=-1时，不合题意；当m=3时，符合题意.
若m2-2m-3≠0，设f（x）=（m2-2m-3）x2-（m-3）x-1，
则由题意，得
解得-综合以上讨论，得-19.解：依题意得考察z=2x+3y的最大值，作出可行域，平移直线2x+3y=0，
当直线经过点(4，10)时，z取得最大值38.
故当v=12.5，w=30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元.
20.（1）解：∵ 对一切实数都成立，
∴ 4≤f（2）≤4，∴ f（2）=4.
（2）解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）.
∵ f（-2）=0，f（2）=4，
∴
∵ ax2+bx+c≥2x，即ax2-x+2-4a≥0，
∴ Δ=1-4a（2-4a）≤0（4a-1）2≤0，
∴ a=，c=2-4a=1，故f（x）=+x+1.
（3）证明：∵ bn==＞=4(-)，
∴ Sn=b1+b2+…+bn＞4[(-)+(-)+…+(-)]
=4×-=.
21.解：设投资人分别用x，y万元投资甲，乙两个项目，
由题意，得目标函数为z =x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域.作直线l0:x+0.5y=0，并作平行于直线l0的一组直线x+0.5y=z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M，此时z最大，这里点M是直线x+y=10与直线0.3x+0.1y=1.8的交点. 第21题答图
解方程组得此时，z=4+0.5×6=7（万元）.
∴ 当x=4，y=6时，z取得最大值.
答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.
22.解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab=72，
蔬菜的种植面积S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=80-2（a+2b）≤80-4=32（m2）.
当且仅当a=2b，即a=12，b=6时，Smax=32.
答：矩形温室的边长为6 m，12 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m2.