人教A版（2019)高中数学必修第一册 5.5三角恒等变换 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
5.5　三角恒等变换
第五章　三角函数
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
一、上节回溯
图象
三角函数的图象与性质
性质
正弦曲线
余弦曲线
正切曲线
定义域、值域
周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值
二、知识讲解
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式——两角差的余弦公式
如果已知任意角 α，β 的正弦、余弦，能由此推出 α＋β， α－β 的正弦、余弦吗？
探究
A（1，0）
x
A1
P（cos (α－β)，sin (α－β) ）
y
α 终边
1
－1
O
β 终边
α－β 终边
P
P1
A1（cos β，sin β ）
P1（cos α，sin α ）
AP＝A1P1 ；
根据两点间的距离公式，得
[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β) =(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2，
化简得
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ．
二、知识讲解
　　对于任意角 α，β 有
cos (α-β)=cos α cos β+sin α sin β．
　　此公式给出了任意角 α，β 的正弦、余弦与其差角 α－β 的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 C(α－β)．
二、知识讲解

二、知识讲解

二、知识讲解
2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
　　α＋β＝α－(－β)；
　　cos (α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos α cos (－β)＋sin α sin (－β)
　　　　　　＝cos α cos β－sin α sin β．
两角和的余弦公式，简记作 C(α＋β)．
cos(α＋β)＝cos α cos β－sin α sin β．
　　由公式 C(α－β) 出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
？
思考
二、知识讲解
上面得到了两角和与差的余弦公式．我们知道，利诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化．你能根据 C(α＋β) ， C(α－β) 及诱导公式五（或六），推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦表示 sin (α＋β) ，sin (α－β) 的公式吗 ？
探究

二、知识讲解

二、知识讲解

二、知识讲解


？
思考
二、知识讲解

二、知识讲解
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

你能利用 S(α±β) ， C(α±β) ， T(α±β) 推导出 sin 2α ，cos 2α，tan 2α 的公式吗？
探究
二、知识讲解
　　如果要求二倍角的余弦公式（C2α）中仅含 α 的正弦（余弦），那么又可得到：
cos 2α＝2cos2 α －1，
cos 2α＝1－ 2sin2 α．
　　以上这些公式都叫做倍角公式．倍角公式给出了 α 的三角函数与 2α 的三角函数之间的关系．
　　 从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，请你进行归纳总结．
归纳
二、知识讲解

二、知识讲解

二、知识讲解

二、知识讲解
5.5.2　简单的三角恒等变换

二、知识讲解


二、知识讲解

二、知识讲解

二、知识讲解

　　你能说说这里的变形理由吗？
？
二、知识讲解

二、知识讲解

二、知识讲解

A
α
B
P
O
C
D
Q
图 5.5-2
三、小结
C(α－β)
三角恒等变换
S(α－β)
C(α＋β)
S(α＋β)
S2α
T(α＋β)
T(α－β)
T2α
C2α


诱导公式
以－β 换 β
以－β 换 β
以－β 换 β
以 α 换 β
以 α 换 β
以 α 换 β

两项 相除
两项相除

四、练习

四、练习

四、练习


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