(共43张PPT)
C
6cm
5cm
＜
垂线段最短
5
AB、AC、AD、BD、CD
45°
例1如图，直线BE和CF相交于
点0，OA、OD是射线，且OA⊥BE,
B
OD⊥CF.若∠BOC=55°，求∠AOD
的度数
D
C
E
B
A
解题策略解决与垂直相关的角度计算问题时，常将垂直
转化为90°角，再结合对顶角、余角、补角等有关知识综合求
角.切记：垂直和90°角可以相互转化，但不可互相代替，
1-1如图，直线AB与CD相
交于点O.下列说法不正确
的是(
D
A.若∠AOC=90°，则AB1
CD
B.若AB⊥CD,垂足为点
0,则∠BOD=90°
例2下列选项中，过点P画直线AB的垂线CD,三
角尺摆放正确的是(
P
A
A
B
B
A
B
D
知识点睛经过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所
在直线的垂线，垂足有时在线段的延长线或射线的反向延长
线上.所画的垂线是实线，若需延长线段或反向延长射线，则
用虚线
2-1[河北中考]如图，在平面
内画已知直线m的垂线，
可画的垂线有(
D
)
t
A.0
条
B.1条
C.2条
D.无数条
例3如图，在三角形ABC中，
D
∠BAC=90°，过点A作AD⊥BC,垂
足为点D,己知AB=6cm,AD=5cm.
(1)点B到AC的距离是
,点A到BC的距
离是
(2)CD
AC(填“>”“<”或“=”)，依据是
B
D
A
C
Q易错提醒求点到直线的距离的关键是找准“垂线段”，需
注意虽然垂线段最短，但是在给出的线段中最短的那条不一
定是垂线段.
3-1如图，点P到直线1的距
离是(
B
)
A
B
C
D
A.线段PA的长度
B.线段PB的长度
C.线段PC的长度
D.线段PD的长度
3-2点A、B、C为直线I上三
点，点P为直线1外一点.
若PA=1cm,PB=2
cm
PC=3cm,则点P到直线l
的距离是(
D
A.1 cm
B.2
cm
C.3 cm
D.不大于1cm
3-3[南阳南召县期末]在乡村
振兴活动中，某村通过铺
设水管将河水引到村庄C
处，为节省材料，他们过点
C向河岸画垂线，垂足为
点D,于是确定沿CD
铺设
水管，这样做的数学道理
是
垂线段最短
D
cl
例4
☆☆如图，O是
直线AB上一点，
A
B
∠AOC=
∠BOC,
3
0C是∠AOD的平分线
(1)求∠COD的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系，并说明
理由.(共50张PPT)
B
①②⑤
D
对顶角：对顶角①相等
垂直：夹角是直角
连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，
两条直线相交
垂线段最短
垂线
过一点有且只有②
条直线与已知直线垂直
相交线
从直线外一点到这条直线的③垂线段的长度，
,点到直线的距离叫做点到直线的距离
两条直线被第
,注意：这里同位角、内错角不一
三条直线所截
同位角、内错角、同旁内角
定相等，同旁内角不一定互补
注意“在同一平面内”这个前提
定义。在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线
平行线的基本
过直线外一点有且只有④
条直线与这条直线平行
事实及推论
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互
相平行
其他判定方法：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
同位角⑤相等
，两直线平行
平行线的判定
内错角相等，两直线平行
同旁内角⑥
互补
，两直线平行
两直线平行，同位角相等
注意：这里的前提是
两直线平行
平行线的性质
两直线平行，内错角⑦
相等
两直线平行，同旁内角⑧互补
图形的平行移动
例1
☆☆如图，直线AB、CD、EF相交于
同一点O,且∠BOC=
2∠A0C,∠D0F=
,∠AOD,求∠COF的度数.
D
F
A
B
0
F
C
思路分析
Hoc0c
互补
求∠BOC
对项角求∠AOD
>求∠DOF
10F-写10D
互补
求∠COF
2
解：.∠BOC=。∠AOC,
3
.设∠AOC=3x°，则∠BOC=2x.
.·∠BOC+∠AOC=180°，.2x+3x=180,
.x=36..∠B0C=72.
.·∠AOD=∠BOC,.∠AOD=72.
.·∠D0F=。∠AOD,.∠D0F=24°.
3
>知识点睛两条直线相交所成的四个角中，有
两对对顶角，四对相邻且互补的角.相应的角相
等或互补是在相交线模型中求角的度数的重要
依据.
1-1*☆[耒阳期末]如图，直线AB、CD相
交于点E,EF⊥AB于点E.若∠CEF=
56°，则∠BED的度数为(
C
A.24
B.26°
C.34°
D.440
F
C
A
E
B
D
1-2女★☆
[南阳卧龙区期末]如图，直线AB
与直线CD相交于点O,且∠BOD
2∠BOC.若以点O为端点的射线OE⊥
CD,则∠BOE的度数为
30°或150
C
A
B
O
D
1-3如图，已知直线AB与CD相交
于点O,OA平分∠COE,∠COE：
∠DOE=4:5,求∠BOD的度数.
解：.·∠COE+
∠D0E=180°，
∠COE：∠DOE
C
=4:5,
B(共50张PPT)
B
D
例1如图，若∠1=∠2，则(
A.a∥b
“桥茅
B.c∥d
C.a∥b或c∥d
D.以上都不正确
解析：如图，.·∠1=∠3（对顶角相等），∠1=∠2（已
知)，∴.∠3=∠2（等量代换）.
.c∥d(同位角相等，两直线平行).
技巧点拨判定方法1的关键在于找到要说明平行的两条
直线被第三条直线所截得的同位角，然后推理得出这两个角
相等，从而得到两直线平行
1-1[柳州期末]如图，直线
AB、CD
被直线EF所截，
∠1=55°，下列条件中能判
定AB∥CD的是(
C
A.∠2=35°
B.∠2=459
C.∠2=55°
D.∠2=125°
E
A
C
D
27
F
思路分析
已知
条件
两组角相等
∠C=∠D
AC∥BD
隐含
条件
对顶角相等
解：AC∥BD.理由如下：
.·∠C=∠AOC,∠D=∠BOD(己知)，
∠AOC=∠BOD(对顶角相等)，
.∠C=∠D(等量代换).
.AC∥BD(内错角相等，两直线平行).
技巧点拨判定方法2的关键在于找到要说明平行的两条
直线被第三条直线所截得的内错角，然后推理得出这两个角
相等，从而得到两直线平行
2-1如图，若∠1与∠2互补，
人2
与
∠3
互补，则
C
)
A.l3∥04
B.l2∥1
C.l1∥13
D.l1∥12
2-3如图，BC、DE分别平分
∠ABD
和∠BDF,且∠1=
∠2，请找出图中的平行
线，并说明理由.
解：AB∥DF,BC∥DE.理由
如下：
.·BC、DE分别平分∠ABD
和∠BDF(已知)，
∠1=∠CBD=。∠ABD,
2
∠2=人BDE=
2∠BDF(角
平分线的定义).
A
C
D
B
2
E
F
又.·∠1=∠2（己知），
ABD
=∠BDF,∠CBD
=∠BDE(等量代换)，
.AB∥DF,BC∥DE(内错
角相等，两直线平行).
②思路分析
∠1=50°
∠1=∠2>OA∥BC
∠2=50°
∠2+∠3=180>OB∥AC
∠3=130°
解：OA∥BC,OB∥AC.
理由如下：
.·∠1=50°，∠2=50°（已知），
.∠1=∠2（等量代换），
.OA∥BC(内错角相等，两直线平行).
.·∠3=130°（己知），
.∠2+∠3=180°（等式的性质）.
·.OB∥AC(同旁内角互补，两直线平行).
腕技巧点拨判定方法3的关键在于找到要说明平行的两条
直线被第三条直线所截得的同旁内角，然后推理得出这两个
角互补，从而得到两直线平行(共21张PPT)
A
5.2
平行线
5.2.1
平行线
例1
判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)不相交的两条直线是平行线；
(2)在同一平面内，两条不相交的线段是平行线
解：（1)不正确.理由：根据平行线的定义，它缺少了
“在同一平面内”这一条件.
(2)不正确.理由：
平行线的定义中是两条不相交的“直线”，而不是“线
段”，线段不相交不代表线段所在的直线不相交，
1-1如图，将一张长方形纸对
折三次，产生的折痕与折
痕间的位置关系是
C
A.平行
B.垂直
C.平行或垂直
D.无法确定
1-2观察如图的长方体填空：
(1)与棱AB平行的棱有
CD、A'B'、C'D'
(2)与棱AA'平行的棱有
DD'、BB'、CC
B
B
A、
D
P
C
B
(2)如图，过点A画AF∥
CE交BC于点F;
A
E
D
B
C
A
P
C
F
B
A
E
D
B
F
C
3-1如图，若MC∥AB,NC∥
AB,则点M、C、N
在
(填“在”或“不在”)同
M
C
-N
B
3-2如图，直线AB、CD
是
条河的两岸，并且AB∥
CD,点E为直线AB、CD外
一点，为了过点E作河岸
CD的平行线，只需作河岸
AB的平行线即可，其理由
是
如果两条直线都和第
4-1女☆☆)1
如图，因为直
B
线AB、CD相交于点
P,AB∥EF,所以CD
E
与EF不平行，理由是
过直线外一
点有且只有一条直线与这条直线平行
4-2☆如图，将一张长方形的硬纸片
ABCD对折，MN是折痕，把面ABNM
平摊在桌面上，另一面CDMN不论怎
样改变位置，总有AB∥CD存在，你知
道这是为什么吗？
N
B
D
M
解：因为四边形CDMN是长方形，所
以CD∥MN.
又因为四边形ABNM是长方形，
所以AB∥MN,所以AB∥CD
例5
[分类讨论思想]在同一平面
内，任意三条直线有哪几种不同的位置
关系？请画图说明.
解：第1种：三条直线平行，如图①
第2种：两条直线平行，另一条直线与这
两条平行线相交，如图②
第3种：三条直线相交（包括相交于一点
和相交于不同点)，如图③
2
3(共28张PPT)
B
B
C
EF
AB
BD
同位
∠DCB
DC
例1
如图，∠1与∠2不是同位角的是(
A
B
1-1[遂宁安居区期末]如图
!
∠1与∠2是同位角的是
C
A
E
D
B
C
例2如图，下列各组角中，是内错角的是(
A.∠1和∠2
B.2和3
C.∠1和∠3
D.∠2和∠5
2-1[百色中考]如图，与∠1
是内错角的角是(
C
)
A.∠2
C
3
2
B.∠3
5
a
C./4
b
D.∠5
2-2如图，标有数字的四个角
中，内错角是∠2和∠3，
3
2
4
3-1[贺州中考]如图，下列两
个角是同旁内角的是
B
A.∠1与∠2
B.∠1与∠3
C.∠1与∠4
D.∠2与∠4
3-2如图，∠DCB和∠ABC是
直线
DE
和AB
被直
线
BC
所截得的
同旁
内角.
C
一E
D
A
B
5
2
4
6
9
3
7
8
例4
女★☆】
如图，在∠1、∠2、∠3、∠4、
∠5和∠B中，
是同位角，
是内错角，
是同旁内角.
3
5
B
E
A1
一D)∠1与∠B是同位角
B
E
①
∠4与∠B是同位角，
A
=〉
∠3与∠4是内错角，
∠3与∠5是同旁内角，
3
∠3与∠B是同旁内角，
B
E
∠B与∠5是同旁内角
2
-〉
∠2与∠4是同旁内角，
5
∠2与∠5是内错角
B
C
E
3
答案：∠1与∠B,∠4与∠B
∠3与
∠4，∠2与∠5
∠3与∠5，∠3与∠B,
∠B与∠5，∠2与∠4
4-1*☆[长春期末]如图，下列结论中错
误的是(
A.∠1与∠2是同旁内角
B.∠1与∠6是内错角
C.∠2与∠5是内错角
D.∠3与∠5是同位角
C
1
2
3
A
B
4-3女女☆
[南昌期末]如图，“4”字图中有
α对同位角，b对内错角，c对同旁内
角，则abc=
【解析】同位角有∠ABD与∠ECD,共
1对，则a=1;内错角有∠ABC与
∠BCF,共1对，则b=1;同旁内角有
∠ABC与∠ECB,共1对，则c=1.所以
abc 1.
E
B
C
-D
F
例5
女☆☆
填空：
(1)如图①，∠1和∠ABC是直线
与
被直线
所截得的
角；
(2)如图②，∠EDC和
是直线
DE与BC被直线
所截得的内
错角；
A
E
1
/B
D
①
D
E
B
C
2
(3)如图①，如果∠1=∠ABC,那么
∠ABC与∠BCF相等吗？∠ABC与
∠BCE互补吗？为什么？(共32张PPT)
A
2
6
12
n(n-1)
5.1
相交线
5.1.1
对顶角
例1下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(
A
B
C
D
解析：
选项
理由
结论
A
符合对顶角的定义
是
B
有一边不互为反向延长线
不是
两角没有相同的顶点
不是
D
有一边不互为反向延长线
不是
1-1如图，直线AB、CD相交
于点0，则∠1的对顶角是
A
A.
12
B.∠3
C.∠4
D.∠3和∠4
1-2如图，AB与CD相交形成
了∠1、∠2、∠3和∠4，若要
确定这四个角的度数，至少
要测量其中的(
A
A.1个角
B.2个角
C.3个角
D.4个角
1-3如图，三条直线相交于点
0,则∠1+∠2+∠3的度数
等于
180°
2
3
1-4[益阳中考]如图，AB与
CD
相交于点0，OE
是
∠AOC的平分线，且OC恰
好平分∠EOB,则
∠AOD
三
60
E
C
A
B
D
例2
女☆☆
如图，直线AB、CD相交于
点0，∠AOC=80°，OE把∠BOD分成两
部分，且∠BOE:∠EOD=2:3,求∠AOE
的度数.
D
A
O
E
B
C
>思路分析
∠AOC=80
对顶角相等
∠BOD=80°
∠BOE:∠EOD=2:3
∠BOE的度数
与∠AOE互补
∠AOE的度数
解：因为∠AOC=80°，∠AOC=∠BOD,
所以∠BOD=80°.
因为∠BOE:∠EOD=2:3,
所以∠B0E=80×5=32
5
因为∠AOE与∠BOE互补，
所以∠A0E=180°-∠BOE=180°-32°=
148°.
腕解题策略
对顶角和相邻且互补的角具有
“隐蔽性”，即这两种角隐含在图形中，所以在
出现两条或多条直线交于一点时，需考虑这两
种角之间的关系.
C
E
A
2
O
B
D
2-2女☆☆
[石家庄长安区期末]如图，直线
、b相交于点O,将半圆形量角器的
圆心与点0重合，发现表示60°的刻
度与直线4重合，表示138°的刻度与
直线b重合，则∠1=
78
a
6090120
b
30°
0
0°
1
180°
2-3★☆☆
如图，直线AB、CD、EF相交于
点O,己知∠AOE=20°，∠BOD=52°，
OG平分∠COF.求∠EOG的度数.
D
B
E
A
C
G
解：因为∠AOE
=
20°，∠B0D=52°，
E
A
所以∠DOE=180°-
∠A0E-∠B0D=180°-20°-52°=
108°.
又因为∠COF=∠DOE,所以∠COF=
108°.
因为OG平分∠COF,(共51张PPT)
120
例1如图，BC∥AD,BE∥AF
(1)试说明：∠A=∠B;
(2)若∠DOB=135°，求∠A的度数.
C
B
A
D思路分析
(1)BC∥AD
∠B=∠DOE
∠A=∠B
BE∥AF
∠DOE=∠A
∠A=45o
(2)
∠DOB=135
∠DOE=45
∠DOB+∠DOE=180°
解：(1).BC∥AD,.∠B=∠DOE.
.·BE∥AF,.∠DOE=∠A,
.∠A=∠B.
(2).·∠DOB=135°，
∴.∠D0E=180°-∠D0B=180°-135°=45°，
.∴.∠A=∠DOE=45°.
2
b
1-2[黔西南州中考]将一副三
角尺按如图所示的位置摆
放在直尺上，则∠1的度数
为(
C
A.959
B.100
C.1059
D.110
60%
45A
1
1-3[娄底中考改编]如图
AB∥CD,AC∥BD,∠1
二
28°，求∠2的度数.
解：AB
B
∥CD,.
2
∠2=人A.
.AC∥BD,.∠1=∠A,
人2=/1=28
D
C
A
B
E
2-1[阜新中
考]如图
直线AB∥
ED
CD,一块含有30°角的直角
三角尺的顶点E位于直线
CD上，EG平分∠CEF,则
∠1的度数为
60
2-2如图，AD是∠BAC的平
分线，点E在BC上，点F
在CA的延长线上，EF∥
AD,EF交AB于点G.试说
明：∠AGF=∠F.
F
A
G
B
ED
C
例3如图，AB∥CD,BE平分
E
∠ABC交CD于点D,∠CDE=
A
B
150°，求∠C的度数.
>思路分析
∠CDB=180°-∠CDE
∠ABD
∠ABC=
∠CDB=∠ABD
2∠ABD
BE平分∠ABC
∠C
AB∥CD
∠C+∠ABC=180°
解：.·∠CDE=150°，∴.∠CDB=180°-∠CDE=30°.
.·AB∥CD,∴.∠ABD=∠CDB=30°.
.·BE平分∠ABC,
.∴.∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°.
.·AB∥CD,.∠C=180°-∠ABC=180°-60°=120°.
解题策略在与平行线相关的角度计算中，常利用平行线
转移角或建立角与角之间的相等或互补关系.解题时常涉及
角的平分线、垂直、邻补角、对顶角等相关知识！
DE交于点E,BF交CD于
点F.
(1)求∠1+∠2的度数；
(2)若∠2=40°，求∠3的
度数(共22张PPT)
D
A
C
例1
女攻对下列语句正确的是(
A.从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直
线的距离
B.过直线外一点画这条直线的垂线，垂线的长度就
是点到直线的距离
C.画出直线外一点到这条直线的距离
D.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂
正解：A选项应是：从直线外一点到
这条直线的垂线段的长度，叫做点
到直线的距离；B选项中混淆了垂
线与垂线段，垂线是一条直线，没有
长度，点到直线的距离应是垂线段
的长度：C选项中长度不是画出来
的，只能画出直线外一点到这条直
线的垂线段：D选项正确.故选D
>错解剖析没有正确理解垂线、垂线段、点到直线的距离的
概念，垂线是直线，没有长度：垂线段是线段，有长度：点到直
线的距离是垂线段的长度
例2
下列说法中，正确的个数是(
)
①不相交的两条直线叫做平行线；
②平行于同一条直线的两条直线也互相平行；
③垂直于同一条直线的两条直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行：
A.1
B.2
C.3
D.4
正解：①③忽略了“在同一平面内”
这个前提条件；④
忽略了“过直线
外一点”这个前提条件，因为过直
线上一点不能画出与已知直线平
行的直线.故正确的只有②.故
选A.
例3
如图，下列能判定AB∥EF的条件有(
)
①∠B+∠BFE=180°：②∠1=∠2；③∠3=∠4；
∠B=∠5.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
正解：①利用“同旁内角互补，两直
线平行”，可以判定AB∥EF;②
与∠2是直线DE和BC被直线DF
所截得的内错角，故由∠1=∠2可
以得到DE∥BC,而不是AB∥EF;
3
利用“
内错角相等，两直线平
行”，可以判定AB∥EF④利用“同
位角相等，两直线平行”，可以判定
行”，可以判定AB∥EF;④利用“同
位角相等，两直线平行”，可以判定
AB∥EF故能判定AB∥EF的条件
有3个.故选
例4
女☆内
如图，将方格纸中的小船向右平行移动4格
◆
正解：将小船向右平行移动4格
是指任意两个对应点之间的距离
为4格，即每个“关键点”都向右平
行移动4格，再按原图的方式顺次
连结各对应点，如图所示
腕错解剖析平行移动的距离是指平行移动前后任意两个对
应点之间的距离.本题出现错误的原因是把“小船向右平行
移动4格”错误地理解为原图形右下角的点与平行移动后所
作图形左下角的点相距4格.(共24张PPT)
C
90
例1
女女☆
已知直线a∥b,将一块含30
角（∠BAC=30°）的直角三角尺按如图
所示的方式放置，其中A、C两点分别落
在直线a、b上.若∠1=20°，则∠2的度
数为(
A
2>
a
B
○
b
C
解析：方法1：.·直线a∥b,.∠1+
∠BCA+∠2+∠BAC=180°.·.·∠BAG=
30°，∠BCA=90°，∠1=20°，∴.∠2=40°.
方法2：由模型图②结论知∠ABC=∠1+
∠2..·∠ABC=60°，∠1=20°，∴.∠2=40°.
1-1☆[常德中考]如图，己知AB∥DE,
∠1=30°，∠2=35°，则∠BCE的度数
为(
B
A.70
B.65
C.35
D.5
A
B
27
D
E
1-3★[台州中考]一把直尺与一块直
角三角尺按如图方式摆放，若∠1=
47°，则∠2=（
B
A.40°
B.43°
C.4
D.470
1-4*[东营中考]如图，AB∥CD,EF1
CD于点F.若∠BEF=150°，则∠ABE=
D
A
B.40°
C.50
D.60
A
B
E
C
D
F
2一1女☆☆
[耒阳期末]如图，将直尺与含
30°角的三角尺摆放在一起，若∠1=
25°，则∠2的度数是(
A.55
B.60°
C.65°
70
D
130%
2
2-2女☆☆
如图，AB∥FE,∠ABC=70°，
∠CDE=150°，则∠C的度数为
(
A
A.40°
B.30°
C.20°
D.80°
B
A
F
D
E
2-3*★如图，AB∥CD,∠ABE=60°，则
∠E+∠D的度数为(
A
A.60°
B.30
C.90°
D.80°
E
A
B
C
F
D
2-4*安如图，AB∥CD∥EF,若∠B=
125°，∠E=105°，则∠BCE的度数为
50°
A
B
E F
C
D
2-5女女☆
如图，直线a∥b,∠1=55°，
∠2=65°，则∠3的度数是
60°
3
a
2
b
例3
女★☆如图，己已知
A
M
AB∥CD,∠B=30°，
∠D=120°.
(1)若∠BEF=60°，则∠DFE=
(2)清探索∠BEF与∠DFE之间满足的
数量关系，并说明理由.
解：（1)90
(2)∠DFE=∠BEF+30°.理由：
如图，分别过点E、F作EM∥AB,FN∥
AB,则EM∥AB∥FN,
∴.∠BEM=∠B=30°，∠MEF=∠EFN.
∴.∠BEF=∠MEF+∠BEM=∠EFN+30o.
.AB∥CD,AB∥FN,
.CD∥FN,
