2022-2023学年北师大版（2019）高中数学必修第一册第一章章末检测A（含答案）

2022年9月14日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集，集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．无穷多个
2．下列说法中正确的是（ ）
A．若命题“”为假命题，则命题“”是真命题
B．命题“，”的否定是“，”
C．设，则“”是“”的充要条件
D．命题“平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题
3．设表示不超过x的最大整数，则方程的所有根的和为（ ）
A． B． C．8 D．4
4．若正实数满足，则的最小值为
A．4 B． C．5 D．
5．已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知非空集合是集合的子集，若同时满足两个条件：（1）若，则；（2）若，则；则称是集合的“互斥子集”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．记实数…中的最大数为{…}，最小数为min{…}.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为则“t=1”是“为等边三角形”的
A．充分布不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
8．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k不可以是（ ）
A． B． C．1 D．4
二、填空题
9．正数满足，则的值为______．
10．设，则的最小值为______.
11．下列命题：
① 命题“若，则” 的逆否命题为：“若，则”
② “” 是 “”的充分不必要条件
③若为假命题，则均为假命题
④对于命题，使得，则，均有，说法错误的是__________．
12．已知，且，则的最小值为_________．
三、解答题
13．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
14．已知不等式的解集为.
（1）若，求集合；
（2）若集合是集合的真子集，求实数的取值范围.
15．设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.
(1)计算：；
(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
(3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I.
16．已知函数.
(1)关于x的一元二次方程的两个根是，,当时，求实数m的取值范围；
(2)求关于x的不等式的解集.
17．已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集是或，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的取值范围；
（3）若不等式的解集为，求的取值范围．
18．若实数，，且满足.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】先解分式不等式得集合A，再化简B，最后根据交集与补集定义得结果.
【详解】因为，，
所以阴影部分所表示集合为,元素共有4个，
故选B
【点睛】本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．D
【分析】利用逻辑联结词、全称命题的否定、不等式的性质、向量的性质等逐一判断各选项是否正确.
【详解】选项A,若命题“”为假命题，则命题至少有一个假命题，
即可能有一真一假，也可能两个都是假命题，
所以“”可能是真命题，也可能是假命题，故A不正确.
选项B,命题“，”的否定是“，”,故B不正确.
选项C,，无法得出，故C不正确.
选项D, 原命题的否命题时“平面向量满足，则共线”，
因为，所以由可得.
所以，则或，即共线.故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查常用逻辑用语，涉及逻辑联结词、全称命题的否定、充要条件、否命题，综合考查了不等式的性质、平面向量的性质.与其他知识综合命题，是考查常用逻辑用语的一般方式.
3．A
【分析】首先根据题意得到，根据得到，从而得到，再分类讨论或或的情况求解即可.
【详解】因为，所以，
又，所以．
由，得，该不等式恒成立．
由，得，解得，
则或或．
当时，可化为，解得，又，所以；
当时，可化为，解得，又，所以；当时，可化为，解得，又，所以．
所以方程的根为1，，3，
即方程的所有根的和为．
故选：A．
4．A
【解析】正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8＝0，利用基本不等式的性质可得x+2y+（）2﹣8≥0，设x+2y＝t＞0，即可求出x+2y的最小值．
【详解】∵正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8＝0，
∴x+2y+（）2﹣8≥0，当且仅当x=2y取等
设x+2y＝t＞0，
∴tt2﹣8≥0，
∴t2+4t﹣32≥0，
即（t+8）（t﹣4）≥0，
∴t≥4，
故x+2y的最小值为4，
故选A．
【点睛】本题考查了基本不等式的性质，不等式的解法,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．D
【分析】要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值，转化为函数在区间为单调函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由题意，函数的图象开口向上，对称轴的方程为，
要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值，
可得函数在区间为单调函数，则满足或，
解得或，即实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．D
【解析】按所含元素的个数分为“1+1型”、“1+2型”、“1+3型”、“2+2型”，分别求出相应的“互斥子集组”数.
【详解】①若、中各含一个元素时，“互斥子集组”数：个
②若含一个、含两个元素时，“互斥子集组”数:个
③若含一个、含三个元素时，“互斥子集组”数:个
④若、中各含两个元素时，“互斥子集组”数：个.
综上共有“互斥子集组”数50个.
故选:D
【点睛】此题关键在于恰当分类，属于中档题.
7．B
【详解】试题分析：若为等腰三角形，如，此时，但此时不为等边三角形；当为等边三角形时，则，故选B．
考点：充分必要性．
8．B
【分析】分别解一元二次不等式并根据充分不必要条件的集合关系得是的真子集，进而得或，再依次讨论各选项即可.
【详解】解：解不等式，得 ．
解不等式得 或．
“”是“”的充分不必要条件，
∴ 是的真子集，
∴ 或，解得：或，
则实数可以是ACD.
故选：B
9．；
【分析】由可因式分解得出的关系,再代入求解即可.
【详解】由题,可得,又正数,故,即,所以.
故答案为.
【点睛】本题主要考查二元函数的因式分解问题,属于基本技能题型.
10．
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
11．③
【详解】命题“若，则” 的逆否命题为：“若，则”,① 正确；因为，所以“” 是 “”的充分不必要条件，② 正确；若为假命题，则至少有一个为假命题，③错误；对于命题，使得，则，均有，④正确；因此说法错误的是③.
12．4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
13．（1）；（2）.
【分析】（1）当是，解一元二次不等式求得不等式的解集.
（2）利用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）当时，不等式为，即，
该不等式解集为 .
（2）由已知得，若时，恒成立，
，
即，的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.
14．（1）；（2）.
【分析】（1）当时，不等式化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
（2）把不等式化为，分类讨论，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】（1）由题意，当时，不等式，即，
即，解得，所以集合.
（2）由，可得，
当时，不等式的解集为.
由集合是集合的真子集可得，所以，
当时，不等式的解集为满足题意；
当时，不等式的解集为，
由集合是集合的真子集，可得，所以，
综上可得：，即实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解及其应用，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，结合集合的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
15．(1)；
(2)交换律：，证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用给定定义直接计算作答.
（2），再利用所给定义计算证明作答.
（3）结合（2）及给定条件，求出元素I，再验证即可作答.
（1）
.
（2）
交换律：，证明如下：
依题意，设，，则，
，
所以.
（3）
若A中的元素，，都有成立，则由（2）知只需成立，设，
即，则，
当时，显然有成立，即元素为A中任意元素，
当时，则，解得，
因此当，都有成立时，得，
反之，当时，，设，，
所以“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，
元素.
16．（1）； （2）当时，解集为；当时，解集；当时，解集.
【分析】(1)设，结合二次函数的图象与性质，得到，即可求解，得到答案；
(2)关于的不等式可化为，分类讨论，即可求解.
【详解】(1)由题意，设,
若方程的两个根满足，
结合二次函数的图象与性质，可得只需，即，
解得，即实数m的取值范围是.
(2)关于的不等式，可得，
即，
①当时，可得，解得，所以不等式的解集为；
②当时，解得或，所以不等式的解集；
③当时，解得或，所以不等式的解集.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及一元二次不等式的解法，其中解答熟练应用一元二次函数的图象与性质，以及熟记应用一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由题意可知不等式的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值；
（2）由题意得出，由此可解得实数的取值范围；
（3）由题意得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为不等式的解集是或，
所以，和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理得，所以；
（2）由于不等式的解集是，
所以，解得，
因此，实数的取值范围是；
（3）由于不等式的解集为，
则不等式对任意的恒成立，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.
18．（1）4；（2）4.
【分析】（1）由于，，根据基本不等式得出，再结合一元二次不等式的解法，即可求出的最大值；
（2）根据题意，由，，根据基本不等式得出，通过解一元二次不等式，即可求出的最小值.
【详解】解：（1）∵，，
∴，即，
即，解得：，
（当且仅当时取等号），
∴的最大值为4.
（2）∵，，
，
即，
整理得：，
∴，
∴（当且仅当时取等号），
所以的最小值为4.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力.
答案第1页，共2页
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