章末检测 空间向量与立体几何（答案）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ C ）
A． B．97 C． D．61
2、已知直线l过点和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（ C ）
A．5 B．14 C． D．
3、已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则＋(＋)＝( A )
A. B. C. D.
4、下列说法正确的是( C )
A.三点确定一个平面
B.如果一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线
C.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直
D.平行于同一平面的两条直线互相平行
5、已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是“l⊥α”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、平面α外的一条直线l上有相异的三个点A,B,C,且三个点到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( B )
A.l⊥α B.l∥α C.l与α相交 D.l∥α或l α
7、如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为( A )
8．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ B ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．有下列四个命题，其中正确的命题有( BC )
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0
B．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
10、如图，正方体的棱长为，则下列结论正确的是（ BD ）
A．若点在线段上，则不存在点满足
B．若点在线段上，则四面体的体积为定值
C．若点在线段上，则异面直线与所成角的取值范围是，
D．若点是正方体表面上的动点，则满足的动点轨迹长度为
11、如图，四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论正确的有( ABD )
A．直线PB与平面AMC平行
B．直线PB与直线AD垂直
C．线段AM与线段CM长度相等
D．PB与AM所成角的余弦值为
12、正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有( BD )
A．AD与BC所成的角为30°
B．AC与BD所成的角为90°
C．BC与面ACD所成角的正弦值为
D．平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、若A(－1，2，3)，B(2，－4，1)，C(x，－1，－3)是以BC为斜边的直角三角形的三个顶点，则x＝___-11_____．
14、已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为____ ______
15、如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于___2_____．
16、在棱长为的正方体中，，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时，______；满足条件的所有点构成的平面图形的周长为______．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
17、(本小题满分10分)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解：(1)a＝＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，
b＝＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．
cos θ＝＝＝－.
所以a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2)因为ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，
所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)·(k＋2)＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，所以k＝－或k＝2.
18、如图在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.
(1)求异面直线EF与CD1所成角的大小;
(2)证明:EF⊥平面A1CD.
解：据题意,建立如图空间直角坐标系.
则D(0,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),E(2,1,0),F(1,1,1),D1(0,0,2),
∴=(-1,0,1),=(0,-2,2),=(2,0,2),=(0,2,0).
(1)cos<>=,
∴<>=60°,
即异面直线EF和CD1所成的角为60°.
(2)∵=-1×2+0×0+1×2=0,
∴,即EF⊥DA1.
∵=-1×0+0×2+1×0=0,
∴,即EF⊥DC.
又DA1,DC 平面DCA1,且DA1∩DC=D,
∴EF⊥平面A1CD.
19、在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，求D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，因为AB＝2，BC＝AA1＝1，所以A1(1，0，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)，所以＝(－1，2，0)，＝(－1，0，1)，＝(0，2，0)．设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取x＝2，则y＝1，z＝2，则n＝(2，1，2)．设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，即D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.
20、如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，且
（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为，求的值.
解：（1）因为，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，所以平面，所以，
又因为，，
所以，所以，
又，所以平面；
（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
因为，
所以，
因为，所以，
设平面一个法向量为，设平面一个法向量为，
且，
因为，所以，令，所以，
又因为，所以，令，所以，
所以，
又因为二面角的余弦值为，
所以，所以解得（舍去），
综上可知：.
21．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面ABCD夹角的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
解：(1)证明：以D点为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0)．
＝(，1，－)，＝(－，2，0)，
∴·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，
即⊥，∴AM⊥PM.
(2)设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量，
则即
取y＝1，得n＝(，1，)．
取p＝(0，0，1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，
∴cos〈n，p〉＝＝＝.
故平面PAM与平面ABCD的夹角为45°.
(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n＝(，1，)为平面PAM的一个法向量，则
d＝＝＝，
即点D到平面AMP的距离为.
22．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求平面A1BC1与平面B1BC1夹角的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，
所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.
(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)．
所以＝(0，3，－4)，＝(4，0，0)，＝(0，0，4)，＝(4，－3，4)．
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
取z＝3，则x＝0，y＝4，
所以平面A1BC1的一个法向量为n＝(0，4，3)．
设平面B1BC1的一个法向量为m＝(a，b，c)，
则即
取a＝3，则b＝4，c＝0，
故平面B1BC1的一个法向量为m＝(3，4，0)．
所以cos〈n，m〉＝＝.
所以平面A1BC1与平面B1BC1夹角的余弦值为.
(3)假设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且＝λ(λ∈[0，1])，
所以(x1，y1－3，z1)＝λ(4，－3，4)．
解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ，
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝.
因为∈[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，
使得AD⊥A1B.此时＝.章末检测 空间向量与立体几何
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）
A． B．97 C． D．61
2、已知直线l过点和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（ ）
A．5 B．14 C． D．
3、已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则＋(＋)＝( )
A. B. C. D.
4、下列说法正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.如果一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线
C.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直
D.平行于同一平面的两条直线互相平行
5、已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是“l⊥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6、平面α外的一条直线l上有相异的三个点A,B,C,且三个点到平面α的距离相等,那么直线l与平面α的位置关系是( )
A.l⊥α B.l∥α C.l与α相交 D.l∥α或l α
7、如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为( )
8．长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．有下列四个命题，其中正确的命题有( )
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0
B．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
10、如图，正方体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）
A．若点在线段上，则不存在点满足
B．若点在线段上，则四面体的体积为定值
C．若点在线段上，则异面直线与所成角的取值范围是，
D．若点是正方体表面上的动点，则满足的动点轨迹长度为
11、如图，四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论正确的有( )
A．直线PB与平面AMC平行
B．直线PB与直线AD垂直
C．线段AM与线段CM长度相等
D．PB与AM所成角的余弦值为
12、正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有( )
A．AD与BC所成的角为30°
B．AC与BD所成的角为90°
C．BC与面ACD所成角的正弦值为
D．平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、若A(－1，2，3)，B(2，－4，1)，C(x，－1，－3)是以BC为斜边的直角三角形的三个顶点，则x＝________．
14、已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为__________
15、如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．
16、在棱长为的正方体中，，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时，______；满足条件的所有点构成的平面图形的周长为______．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
17、(本小题满分10分)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
18、如图在边长是2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.
(1)求异面直线EF与CD1所成角的大小;
(2)证明:EF⊥平面A1CD.
19、在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，求D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值．
20、如图，在三棱台中，侧棱平面点在棱上，且
（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为，求的值.
21．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求平面PAM与平面ABCD夹角的大小；
(3)求点D到平面AMP的距离．
22．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求平面A1BC1与平面B1BC1夹角的余弦值；
(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
