1.2 反比例函数的图象与性质 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
湘教版数学九年级
2022秋精品课件
反比例函数的
图象与性质
本节内容
1.2
复习
什么是反比例函数？
一般地，形如 y = ( k是常数, k ≠ 0 ) 的函数叫做反比例函数.其中k是反比例系数.
研究一个函数要从函数的图象入手，总结函数的性质.
反比例函数的图象是什么形状的？
它的图象又有什么规律和性质？
带着这些疑问我们开始下面的学习.
x
列表
x
比一比
举
例
探究
反比例函数 (k为常数，k≠0)的图象是什么样子呢？
我们先将 k 取为 6，画出反比例函数
的图象并进行观察.
想想我们为什么要取 k=6？
列表
x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …
… -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 …
比一比
你的取值和老师的取值一样吗？取值的时候应该注意什么？
x
比一比，你画对了吗？
下面的图象都出现了什么错误？
观察画出的
的图象，思考下列问题：
（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？
可以发现这两个函数的图象均由两支曲线组成，且分别位于第一、三象限.
对于y 轴右边的点，当自变量x 逐渐增大时，函数值 y 反而减小；对于y 轴左边的点也有这一性质.
（2）在每一象限内，函数
值 y 随自变量 x 的变化如何
变化？
一般地，当 k > 0 时， 反比例函数
的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与 x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小.
结 论
我们知道反比例函数中的 k 值也可以是负数，以 k = -6 为例，如何画反比例函数
的图象？
的图象与 的图象有什么关系？
动脑筋
法一：列表描点作图
x … -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …
… 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 …
法二：利用对称性
当x取任一非零实数a时，
的函数值为 ，而 的函
数值为 ， 从而都有点P（a, ）
与点Q （a, ）关于x 轴对称，
因此 的图象与 的图象
关于x轴对称. 于是只要把
的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制” 出来， 就得到 的图象.
从图中看出： 的图象由分别在第二、四象限的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大.
类似地，当k＜0时，反比例函数 图象与 的图象关于x 轴对称．从而当 k＜0时，反比例函数 的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.
反比例函数 （k为常数， k≠0）的图象是由两支曲线组成的， 这两支曲线称为双曲线（hyperbola）.
反比例函数 y = — （k≠0）有下列性质：
(1)反比例函数的图象 是由两支曲线组成的.
一
三
(3) 当 k<0 时，两支曲线分别位于第__ _、___象限，在每个象限内 y 随 x 值的增大而 .
二
四
(4)反比例函数图象与坐标轴不相交.
(5)反比例函数 y=— (k≠0) 的图象关于直角坐标系的原点 成中心对称.
k
x
k
x
减小
增大
(2) 当 k>0 时，两支曲线分别位于第___、___象限， 在每个象限内 y 随 x 值的增大而 .
例1.已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
（1） 求k 的值，并写出该函数的表达式；
（2） 判断点A（-2，-4）， B（3，5）是否在这个函数的图象上；
（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
举
例
例1. 已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
（1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式；
解： 因为反比例函数 的图象经过点P（2，4），
即点P 的坐标满足这一函数表达式， 因而
4 = ，解得k = 8.
因此， 这个反比例函数的表达式为 .
举
例
例1.已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
（2） 判断点A（-2，-4）， B（3，5）是否在这个函数的图象上；
解：把点A， B 的坐标分别代入 ，
可知点A 的坐标满足函数表达式， 点B 的坐标
不满足函数表达式， 所以点A 在这个函数的图
象上， 点B 不在这个函数的图象上.
例1.已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）.
（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内， 函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
解：因为k > 0， 所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而减小.
例2 .如图是某反比例函数 的图象.
根据图象， 回答下列问题：
（1） k 的取值范围是k > 0还是k < 0？
说明理由；
（2） 如果点A（-3， y1）， B（-2， y2）
是该函数图象上的两点， 试比较
y1， y2的大小.
举
例
例2 .如图是某反比例函数 的图象.
根据图象，回答下列问题：
解（1） 由图可知， 反比例函数
的图象的两支曲线分别位于第
一、三象限内， 在每个象限内，
函数值y随自变量x的增大而减小，因此， k ＞ 0.
（2） 因为点A(-3， y1），B（-2， y2）是该图象上的两点，且-3 < 0，-2 < 0， 所以点A，B 都位于第三象限. 又因为-3 ＜ -2， 由反比例函数图象的性质可知：y1 ＞ y2 .
举
例
说一说
从反比例函数的表达式中再分析
1.为什么反比例函数
当k＞0时，图象经过一、三象限？
当k＜0时，图象经过二、四象限？
由表达式可知：
当k＞0时，x和 y同号，
因此图象经过一三象限.
当k＜0时，x和 y异号，
因此图象经过二四象限.
说一说
从反比例函数的表达式中再分析
2.为什么反比例函数
的图象不会与坐标轴相交？
由表达式可知：
x不可以取数值 0，
因此图象与y轴无交点；
因 k≠0，所以 y≠0，
因此图象与 x轴无交点.
说一说
从反比例函数的表达式中再分析
3.为什么反比例函数
的图象关于原点对称？
由表达式可知：
坐标点（x，y）和
坐标点（y，x）都
在函数的图象上，
因此它关于原点对称.
说一说
从反比例函数的表达式中再分析
4. 反比例函数
的图象有何位置关系？
由表达式可知：
两个函数当x一定时，
y互为相反数，因此
它们关于x轴对称.
又有当 y一定时，x互
为相反数，因此它们
也关于 y 轴对称.
做一做
习题一：简单图象性质
1.反比例函数 中比例系数k为 ，
它的图象经过 象限，当x<0时，
y随x的增大而 .
2.反比例函数 的图象经过
象限，在各个象限内y随x的增大而
二四
增大
一三
减小
小结与复习
表达式
图象
象限
增减性
一三象限
二四象限
在每个象限内，
y随x的增大而
减小
在每个象限内，
y随x的增大而
增大
3.若反比例函数 的图象在二四象
限，那么 ，在双曲线每一支上
y随x的增大而 .
增大
4.反比例函数 的图象，当x<0时，
y随x的增大而减小，则m ，图象
经过第 象限.
<3
一三
5.已知函数
①若它是反比例函数，且在每一支上y随
x的增大而增大，则k .
②若它是正比例函数，且y随x的增大而
增大，则k .
=-2
=4
习题二 增减性
已知 上两点 ，若
，则 ，若
则 .
练：已知 上两点 ，
若 ，则 ，
若 ，则 .
＞
＜
＜
＞
小结：
1. 请问反比例函数的图象和性质是什么？
2. 在反比例函数的图象和性质的研究中，
我们用到了哪些方法？
结 束
谢谢
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