河南省郑州市郑东新区外国语学校2022-2023学年八年级上学期开学考试数学试题（含解析）

2022-2023学年河南省郑州市郑东新区外国语学校八年级（上）开学数学试卷（含答案与解析）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
2．（3分）在﹣，2π，，，0，中无理数个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）分析下列说法：①实数与数轴上的点一一对应；②﹣a2没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个；④平方根与立方根相同的数是0和1．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（1，﹣3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形，若B点的坐标是（2，0），则A点的坐标是（　　）
A．（2，1） B．（1，2） C．（，1） D．（1，）
7．（3分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．5
8．（3分）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
10．（3分）估计+3的值（　　）
A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：﹣3　 　﹣2．
12．（3分）已知点A（2，y）与点B（x，﹣3）关于x轴对称，则xy＝　 　．
13．（3分）已知实数a，b满足（a﹣2）2+＝0，那么（b﹣a）的立方根是 　 　．
14．（3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　 　cm．
15．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为　 　cm．
三、计算题（每题3分，共18分）
16．（18分）（1）；
（2）；
（3）；
（4）（1+2x）3﹣＝1；
（5）2；
（6）．
四、解答题（共30分）
17．（6分）已知x﹣1的平方根是±3，2x+y+7的立方根是2，求7﹣x﹣y的平方根．
18．（7分）如图，有一空心圆柱，高为12cm，底面周长为15cm，在圆柱内的下底面A处有一只蝴蝶，它想和上底面B处的同伴汇合，则这只蝴蝶经过的最短距离是多少cm？（π取3）
19．（8分）如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东60°方向以每小时36海里的速度前进，乙艇沿南偏东30°方向以每小时32海里的速度前进，半小时后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？（结果保留根号）
20．（8分）周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发0.8小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是 　 　，因变量是 　 　；小明家到文华公园的路程为 　 　km；
（2）小明书城停留的时间为 　 　h，小明从家出发到达文化公园的平均速度为 　 　km/h；
（3）图中的B点表示 　 　；
（4）爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离文华公园多远？
21．（8分）已知，如图，在平面直角坐标系中，S△ABC＝24，OA＝OB，BC＝12，求△ABC三个顶点的坐标．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝15°，求∠BDC的度数．
23．（10分）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，
那么便有：（a＞b）
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12即＝7，；
∴．
由上述例题的方法化简：．
2022-2023学年河南省郑州市郑东新区外国语学校八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+42≠62，不能组成直角三角形，符合题意；
B、72+242＝252，能组成直角三角形，不符合题意；
C、62+82＝102，能组成直角三角形，不符合题意；
D、92+122＝152，能组成直角三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．（3分）在﹣，2π，，，0，中无理数个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，所以根据无理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：在﹣，2π，，，0，中，
根据无理数的定义可得，无理数有2π，，三个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数定义．解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．（3分）分析下列说法：①实数与数轴上的点一一对应；②﹣a2没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个；④平方根与立方根相同的数是0和1．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】本题考查实数与数轴的点的关系及实数的有关性质，依次分析可得答案．
【解答】解：依次分析可得：
①实数与数轴上的点一一对应，符合实数与数轴上的点的关系，正确；
②a＝0时，﹣a2＝0，平方根为0，故错误；
③任何实数的立方根有且只有一个，正确；
④平方根与立方根相同的数是0，而1的平方根是±1，而立方根是1，不正确．
①③正确，
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴的点的关系及实数的有关性质．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点（1，﹣3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点（1，﹣3）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的混合运算法则即可直接解题．
【解答】解：A、非同类二次根式的被开方数不能直接相减，故错误．
B、∵π＞3，被开方数的算术平方根为非负数，故错误．
C、＝≠3，故错误．
D、＝＝，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，难度不大，重点掌握二次根式的混合运算法则．
6．（3分）如图，在直角坐标系中，△AOB是等边三角形，若B点的坐标是（2，0），则A点的坐标是（　　）
A．（2，1） B．（1，2） C．（，1） D．（1，）
【分析】首先过点A作AC⊥OB于点C，由△AOB是等边三角形，若B点的坐标是（2，0），可求得OA＝OB＝2，OC＝1，然后由勾股定理求得AC的长，则可求得答案．
【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，
∵B点的坐标是（2，0），
∴OB＝2，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝2，OC＝OB＝1，
在Rt△OAC中，AC＝＝，
∴A点的坐标是：（1，）．
故选：D．
【点评】此题考查了等边三角形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
7．（3分）已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积转换成以m+n，mn为整体相加的形式，代入求值．
【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣2，
∴（1﹣m）（1﹣n），
＝1﹣（m+n）+mn，
＝1﹣2﹣2，
＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．
8．（3分）如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．
【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，
故本选项不符合题意；
C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，
所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；
D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，
∴∠FEC＝∠BDE，
∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，
∴△BDE≌△CEF，
所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；
由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键．
9．（3分）已知直线l1∥l2，将含30°角的直角三角板按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2＝（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】过点B作BF∥l1，交AC于点F，利用三角形的外角的性质，平行线的性质定理和对顶角相等的性质解答即可．
【解答】解：过含30°角的直角三角板的直角顶点B作BF∥l1，交AC于点F，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝60°．
∵∠1＝∠A+∠ADE，
∴∠ADE＝60°．
∵BF∥l1，
∴∠ABF＝∠ADE＝60°，
∴∠FBG＝90°﹣∠ABF＝30°．
∵BF∥l1，l1∥l2，
∴BF∥l2，
∴∠BGH+∠FBG＝180°，
∴∠BGH＝180°﹣∠FBG＝150°，
∴∠2＝∠BGH＝150°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质定理，三角形的外角的性质，对顶角相等，过点B作BF∥l1，交AC于点F是解题的关键．
10．（3分）估计+3的值（　　）
A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间
【分析】先估计的整数部分，然后即可判断+3的近似值．
【解答】解：∵42＝16，52＝25，
所以，
所以+3在7到8之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小的能力，理解无理数性质，估算其数值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：﹣3　＜　﹣2．
【分析】先把两数平方，再根据实数比较大小的方法即可比较大小．
【解答】解：∵（3）2＝18，（2）2＝12，
∴﹣3＜﹣2．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
（2）两个负数，绝对值大的反而小．
12．（3分）已知点A（2，y）与点B（x，﹣3）关于x轴对称，则xy＝　6　．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到x、y的值，进而计算出答案．
【解答】解：∵点A（2，y）与点B（x，﹣3）关于y轴对称，
∴x＝﹣2，y＝﹣3，
∴xy＝6，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律．
13．（3分）已知实数a，b满足（a﹣2）2+＝0，那么（b﹣a）的立方根是 　﹣2　．
【分析】根据非负数的性质即可求出a与b的值，然后代入b﹣a即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣2＝0，b+6＝0，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴b﹣a＝﹣6﹣2＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
14．（3分）如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　13　cm．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解答】解：
∵PA＝2×（4+2）＝12，QA＝5
∴PQ＝13．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形．
15．（3分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为　3　cm．
【分析】由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE．
【解答】解：由勾股定理得，AB＝10．
由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°．
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2＝BD2
即CD2+42＝（8﹣CD）2，
解得：CD＝3cm．
【点评】本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．
三、计算题（每题3分，共18分）
16．（18分）（1）；
（2）；
（3）；
（4）（1+2x）3﹣＝1；
（5）2；
（6）．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可求解；
（2）根据二次根式乘除法运算的计算法则计算即可求解；
（3）先算小括号里面的减法，再算括号外面的乘法；
（4）先移项，再合并同类项，再开立方即可求解；
（5）先化简，再计算加法；
（6）先化简，再计算加减法．
【解答】解：（1）
＝1﹣4+8
＝9﹣4；
（2）
＝
＝；
（3）
＝（3﹣4）×
＝﹣×
＝﹣3；
（4）（1+2x）3﹣＝1，
（1+2x）3＝+1，
（1+2x）3＝，
1+2x＝，
2x＝﹣1，
2x＝，
x＝；
（5）2
＝4+12
＝16；
（6）
＝5+﹣18﹣
＝﹣13．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．同时考查了立方根．
四、解答题（共30分）
17．（6分）已知x﹣1的平方根是±3，2x+y+7的立方根是2，求7﹣x﹣y的平方根．
【分析】根据题意分别确定x﹣1及2x+y+7的值，继而化简后可得出答案．
【解答】解：由题意得：x﹣1＝9①，2x+y+7＝8②，
②﹣①得：x+y+8＝﹣1，
∴x+y＝﹣9，
∴7﹣x﹣y＝7﹣（x+y）＝16，
它的平方根为±4．
【点评】本题考查了平方根及立方根的知识，比较简单，注意一个正数的平方根有两个．
18．（7分）如图，有一空心圆柱，高为12cm，底面周长为15cm，在圆柱内的下底面A处有一只蝴蝶，它想和上底面B处的同伴汇合，则这只蝴蝶经过的最短距离是多少cm？（π取3）
【分析】先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蝴蝶经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．
【解答】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形ADFE，
连接AB，则线段AB的长就是蝴蝶爬行的最短距离，其中C，B分别是AE，DF的中点．
∵AD＝12cm，DB＝πr＝7.5cm，
∴AB故蝴蝶经过的最短距离为：（cm）．
答：这只蝴蝶经过的最短距离是cm．
【点评】此题考查平面展开﹣最短路径问题，关键是根据勾股定理解答．
19．（8分）如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东60°方向以每小时36海里的速度前进，乙艇沿南偏东30°方向以每小时32海里的速度前进，半小时后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？（结果保留根号）
【分析】根据条件可以证得△BMN是直角三角形，求得BP与BM的长，根据勾股定理即可求得MP的长．
【解答】解：根据条件可知：BP＝×32＝16（海里），BM＝×36＝18（海里）．
∵∠MBP＝180﹣60﹣30＝90°
则△BPM是直角三角形．
∴MP＝＝＝2（海里）
答：M岛与P岛之间的距离是2海里．
【点评】本题主要考查了勾股定理，正确证明△BPM是直角三角形是解决本题的关键．
20．（8分）周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发0.8小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）图中自变量是 　小明离家的时间　，因变量是 　他们离家的路程　；小明家到文华公园的路程为 　30　km；
（2）小明书城停留的时间为 　1.7　h，小明从家出发到达文化公园的平均速度为 　7.5　km/h；
（3）图中的B点表示 　爸爸出发1小时后到达文华公园　；
（4）爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离文华公园多远？
【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量、路程；
（2）根据图象中数据进行计算，即可得到时间、速度；
（3）根据自变量、因变量表示的意义以及B点坐标即可得到B点坐标表示的意义；
（4）根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追击问题关系式即可解答．
【解答】解：（1）由图象可得，自变量是小明离家的时间，因变量是他们离家的路程，小明家到文华公园的路程为30km，
故答案为：小明离家的时间，他们离家的路程，30；
（2）由图象可得，小明在中心书城逗留的时间为2.5﹣0.8＝1.7（h），小明从家出发到达文化公园的平均速度为：＝7.5（km/h），
故答案为：1.7，7.5；
（3）由图象可得，B点坐标为（3.5，30），表示爸爸出发3.5﹣2.5＝1（小时）后到达文华公园，或小明离家3.5小时时，爸爸到达文华公园，或爸爸离家的路程为30km；
（4）由图象可得，小明从书城到公园的平均速度为＝12（km/h），
小明爸爸驾车的平均速度为＝30（km/h），
爸爸驾车经过＝h追上小明，
30﹣30×＝10（km）；
方法二：设爸爸出发后mh追上小明，根据题意得：
30m﹣12m＝12，
解得：m＝，
30﹣30×＝10（km），
即爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离文华公园10km．
【点评】本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解题关键是正确理解清楚函数图象的意义．
21．（8分）已知，如图，在平面直角坐标系中，S△ABC＝24，OA＝OB，BC＝12，求△ABC三个顶点的坐标．
【分析】首先根据面积求得OA的长，再根据已知条件求得OB的长，最后求得OC的长．最后写坐标的时候注意点的位置．
【解答】解：∵S△ABC＝BC OA＝24，OA＝OB，BC＝12，
∴OA＝OB＝＝＝4，
∴OC＝8，
∵点O为原点，
∴A（0，4），B（﹣4，0），C（8，0）．
【点评】写点的坐标的时候，特别注意根据点所在的位置来确定坐标符号．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝15°，求∠BDC的度数．
【分析】（1）通过SAS直角即可证明；
（2）由外角的性质可得∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝15°+45°＝60°，再借助全等三角形的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：在△ABE与△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）在△ABC中，
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由（1）得：△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝15°+45°＝60°，
∴∠BDC＝60°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明△ABE≌△CBD是解题的关键．
23．（10分）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，
那么便有：（a＞b）
例如：化简．
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12即＝7，；
∴．
由上述例题的方法化简：．
【分析】根据题意利用二次根式的性质进行化简即可得出答案．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝||
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．