23.3.2 相似三角形的判定课时练习(含答案)

23.3.2相似三角形的判定（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．下列说法正确的是（ ）
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D．有一个角为100°的两个等腰三角形相似
2．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（　 　）
A．B．C． D．
3．如图，在ABC中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．点M为等边三角形ABC一边AB上的一点（与A、B不重合），过M作直线截等边三角形ABC，使截得的三角形与原三角形相似，符合条件的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．下列条件中能判断△ABC∽△A′B′C′的是（　 　）
A．∠A＝∠B，∠A′＝∠B B．∠A＝∠A′，∠B＝∠C
C．∠A＝∠A′， D．∠A＝∠A′，AB＝AC，A′B′＝A′C′
6．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影）与相似的是（ ）
A． B．C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（　 　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，点P在的边AC上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．在ΔABC与△中，有下列条件，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有（ ）组．
①； ②； ③；④．
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　 ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(共10个小题)
11．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是_________．
12．如图，在△ABC中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，不能得出和相似的是：__________（填序号）．
13．如图，△ABC的高AD，BE相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是______．
14．△ABC的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5，的三边长分别为6、3、4，则△ABC与__________相似．
15．如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_________．
17．如图，∠1＝∠2，请你补充一个条件：_________，使△ABC∽△ADE．
18．在和中，，，，，，判定这两个三角形是否相似_______．（填“相似”或“不相似”）
19．如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP AF的值为_____．
20．如图，在直角梯形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若 PAE与 PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有________个.
三、解答题(共3个小题)
21．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．
22．如图所示，在四边形ABCD中，，点E是对角线BD上一点，，求证．
23．如图，，点P在上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，求的长．
23.3.2相似三角形的判定解析
1．
【答案】D
【详解】解：A、∵两个直角三角形只有一组角相等，
∴两个直角三角形不一定相似，故选项A不合题意；
B、∵两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，
∴两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形不一定相似，
故选项B不合题意；
C、∵底角为40°的等腰三角形和顶角为40°的等腰三角形不相似，
∴有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不合题意；
D、∵有一个角为100°的两个等腰三角形相似，
∴选项D符合题意；
故选：D．
2．
【答案】D
【详解】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A、三角形各角的度数都是60°，
B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选：D．
3．
【答案】C
【详解】解：，，
∽，
，
又，
∽，
，，
∽，
故选C
4．
【答案】B
【详解】解：是等边三角形，
，
符合条件的直线是过点分别平行于的两条直线，如图所示：
故选：B．
5．
【答案】D
【详解】解：A、从∠A＝∠B，∠A′＝∠B只有一个角对应相等，找不出第二组对应相等的角，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
B、∵∠A＝∠A′，∠B＝∠C，
只能找到一组对应角∠A＝∠A′，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
C、有两边对应成比例，相等的角∠A＝∠A′，不是边AB、BC，A′B′、B′C′的夹角，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
D、AB＝AC，∠A＝∠A′，A′B′＝A′C′，可以利用两边对应成比例，夹角∠A＝∠A′相等，根据两三角形相似判定定理可判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项正确．
故选：D．
6．
【答案】C
【详解】解：由正方形的性质可知，∠ABC=180°-45°=135°，
A、B、D图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，BC=，AB=2，
对应的图形C中的边长分别为和1，
∵，
∴图C中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，
故选：C．
7．
【答案】B
【详解】解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA，
故选：B．
8．
【答案】D
【详解】解：在和中，，
∴当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确；
当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确；
当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确；
当时，其夹角不相等，则不能判断，故D不正确；
故选：D．
9．
【答案】C
【详解】解：能判断△ABC∽△A′B′C′的有①②或②④或③④，共3组，
故选C．
10．
【答案】D
【详解】解：如图①，，时，．
如图②，，，则，故；
如图③，，，则，故△；
如图④，，，则△．
故选：D．
11．
【答案】
【详解】解：∵DE∥BC，
，
∴，
∴，
∵，DE＝1，
∴，
故答案为：．
12．
【答案】③
【详解】解：①，时，，故①不符合题意；
②，时，，故②不符合题意；
③，时，不能推出，故③符合题意；
④，时，，故④不符合题意，
故答案为：③
13．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：本题答案不唯一；
与相似的三角形有：，，，
选择求证：．
证明：的高，交于点，
．
，
，
故答案是：．
14．
【答案】
【详解】解：△ABC的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5
∵
∴△ABC与不相似
△ABC的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为6、3、4
∵
∴△ABC与相似
故答案为
15．
【答案】3
【详解】解：∵，
∴△DEA∽△FGA∽△BCA，
∴一共有3组相似三角形，
故答案为：3．
16．
【答案】
【详解】解：如图，
∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴，
∴
∴CQ＝ ，
故答案为：．
17．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠DAE，
要使△ABC∽△ADE，只需再有一对应角相等即可，
∴添加的条件为∠B＝∠D．
故答案为：．
18．
【答案】不相似
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴这两个三角形不相似．
故答案为：不相似
19．
【答案】3
【详解】由△ABC是等边三角形，得到∠C=60°，求得∠C=∠APE，根据相似三角形的判定定理得到△APE∽△ACF，再根据相似三角形的性质得到AE：AF=AP：AC，代入数据即可得到AP AF=3．
故答案为3．
20．
【答案】3
【详解】试题解析：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个.
21．
【答案】见解析
【详解】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD．
22．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴．
23．
【答案】当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
【详解】解：设DP=x，则BP=BD-x=14-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴当时，△ABP∽△CDP，即，
解得；
当时，△ABP∽△PDC，即，
整理得x2-14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14-2=12，BP=14-12=2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．