倾斜角与斜率跟踪练习（答案）
1．给出下列说法，正确的个数是( A )
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．
A．0 B．1 C．2 D．3
2.过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，那么m的值为( A )
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
3．已知点A(1,2)，在x轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为( C )
A．(0,3) B．(0，－1) C．(3,0) D．(－1,0)
4.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+),则此直线的倾斜角是( A )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( D )
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
6.过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝( C )
A．－ B. C．－1 D．1
7.如下图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( D )
A．k1C．k38.直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为( B )
A．1 B． C． D．－
9.已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( D )
A．k≥ B．k≤－2 C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
10.(多选)下列说法中,不正确的有( AB )
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.任何一条直线都能找出方向向量
11.已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的取值范围是 [10°,100°) .
12.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为(3,0)或(0,-3) .
13.若直线l的一个法向量为n=(2,1),则直线l的斜率k= -2 .
14.已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x= 3 ,直线AB的倾斜角为 .
15.已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．
解：设l的斜率为k，倾斜角为α，
当m＝1时，斜率k不存在，α＝90°，
当m≠1时，k＝＝，
当m＞1时，k＝＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，
当m＜1时，k＝＜0，此时α为钝角，
90°＜α＜180°.
所以α∈(0°，180°)，k∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
16．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，
(1)求直线AB和AC的斜率．
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
17.已知两点A(2,1)，B(m,4)．
(1)求直线AB的斜率；
(2)已知m∈[2－，2＋3]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解:(1)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；
当m≠2时，直线AB的斜率kAB＝.
(2)当m＝2时，α＝90°；
当m≠2时，由m∈[2－，2]∪(2,2＋3] kAB＝∈(－∞，－]∪[，＋∞) α∈[30°，90°)∪(90°，120°]．
综上，直线AB的倾斜角α的取值范围是[30°，120°]．倾斜角与斜率跟踪练习
1．给出下列说法，正确的个数是( )
①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
②一条直线的倾斜角为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条；
④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．
A．0 B．1 C．2 D．3
2.过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，那么m的值为( )
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
3．已知点A(1,2)，在x轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为( )
A．(0,3) B．(0，－1) C．(3,0) D．(－1,0)
4.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+),则此直线的倾斜角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
6.过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝( )
A．－ B. C．－1 D．1
7.如下图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1C．k38.直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为( )
A．1 B． C． D．－
9.已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥ B．k≤－2 C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
10.(多选)下列说法中,不正确的有( )
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.任何一条直线都能找出方向向量
11.已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的取值范围是 .
12.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为 .
13.若直线l的一个法向量为n=(2,1),则直线l的斜率k= .
14.已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x= ,直线AB的倾斜角为 .
15.已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围．
16．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，
(1)求直线AB和AC的斜率．
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
17.已知两点A(2,1)，B(m,4)．
(1)求直线AB的斜率；
(2)已知m∈[2－，2＋3]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．2.1.1倾斜角与斜率教学设计
教材分析
本节课教材主要分为两部分进行，一是直线的倾斜角，二是刻画直线倾斜程度的方法——直线的斜率。首先教材从在平面直角坐标系中如何确定直线的位置出发，引导学生探究倾斜角概念的形成过程。接着利用直线的方向向量探究刻画直线倾斜程度的量，即直线的斜率，推导出斜率的坐标公式。教材通过直线的方向向量，引导学生亲身体验直线的倾斜角与斜率这两个数学概念形成的过程，能够发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
教学目标
1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素，培养学生的直观想象的核心素养。
2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式，发展学生的数学抽象和数学运算的核心素养。
3、掌握倾斜角与斜率的对应关系，培养逻辑推理的核心素养.
三、教学重难点
重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系
难点：过两点的直线斜率的计算公式.
四、教学过程
1、情境导入
三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程，大坝拥有三峡展览馆、坛子岭园区、185园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区．俯瞰长江，泄洪观景区和185米水位线的观景区波澜壮阔、雷霆万钧．浩大工程展现了国人的智慧和匠心．大坝上不同位置有的坡度“陡峭”，有的“平缓”……
[问题] “陡峭”和“平缓”在数学中应该如何刻画？
新知初探·自主学习
探究一： 直线的倾斜角
问题1: 确定一条直线的几何要素是什么？在平面直角坐标系中如何确定直线的位置？
两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
如图，在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们组成一个直线束，这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同.
这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同.因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
定义：当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正方向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
（2）范围：
练一练：
1、下图中α能表示直线l的倾斜角的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．②④
答案：C
2、已知直线l的倾斜角是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：由题意可知，解得.故选A
探究二：直线的斜率
问题2： 在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.
（1）已知直线经过与的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线经过与的坐标又有什么关系？
（3）一般地，如果直线经过两点，那么与的坐标有怎样的关系？
对于问题（1），如图（1），向量，且直线OP的倾斜角为.由正切函数的定义，有.
对于问题（2），如图（2），.平移向量到，则点的坐标为，且直线OP的倾斜角也是.由正切函数的定义，有.
一般地，如图，当向量的方向向上时，.平移向量到，则点的坐标为，且直线OP的倾斜角也是，由正切函数的定义，有.
同样，当向量的方向向上时，如图，，也有.
问题 当直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？
当直线与x轴平行或重合时，，，，上述式子仍成立.
综上可知，直线l的倾斜角与直线l上的两点的坐标有如下关系：.①
（1）定义：我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即.②
注：倾斜角是90°的直线没有斜率.
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.
斜率公式： 如果直线经过两点，那么由①②可得斜率公式：.
探究三：斜率与倾斜角的对应关系
倾斜角
斜率 不存在
练一练：
1、直线经过点,则直线的斜率是( )
A.2 B. C. D.
解析：因为直线经过点,所以直线的斜率为.故选A.
2、已知直线l的斜率的绝对值为1，则直线l的倾斜角为( )
A.45° B.135° C.45°或135° D.以上均不正确
解析：设直线l的倾斜角为，则由题意知，又，所以当时，；当时，.故选C.
探究四：斜率与方向向量
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度.
直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线的方向向量的坐标为.当直线与x轴不垂直时，.此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标为，即.其中k是直线的斜率.
因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.
典型例题
例1：如图，已知A(-3,4),B(3,2),P(2,-1),求直线AB,AP,BP的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
（引导学生独立完成，教师总结，评价）
例2.已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1).
(1)当m为何值时，直线l的斜率是1
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？
解： (1)kMN＝＝1，解得m＝.
(2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1.
（学生独立完成，教师评价，并板书解题过程）
课堂练习
（1）、如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．
（2）、已知，，则直线的倾斜角为（ D ）
A． B． C． D．
（3）、经过两点P(2，m)和Q(2m,5)的直线的斜率等于，则m的值是( B )
A．4 B．3 C．1或3 D．1或4
（4）、已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a＝________．
答案：（1）k1＜k3＜k2 （2）D （3）B （4）2或
小结
作业
小练习1~5
教学反思
本节课通过教师引导、学生探究的教学方式，理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。整个教学过程学生主动参与，教师评价点评，提高了学生的探究学习能力，发展学生的数学抽象和数学运算的核心素养。
