人教A版（2019)高中数学必修第一册 4.5 函数的应用（二） 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
4.5　函数的应用（二）
第四章　指数函数与对数函数
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
五、本章知识结构
一、上节回溯
图象
对数函数
概念
性质
不同函数增长的差异
二、知识讲解
　　在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法．本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法．
二、知识讲解
4.5.1　函数的零点与方程的解
　　 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点．像 ln x＋2x－6＝0 这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
？
思考
　　与二次函数的零点一样，对于一般函数 y＝f (x)，我们把使 f (x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f (x) 的零点（zero point）．
　　这样，函数 y＝f (x) 的零点就是方程 f (x)＝0 的实数解，也就是函数 y＝f(x) 的图象与 x 轴的公共点的横坐标．所以
二、知识讲解

二、知识讲解
对于二次函数 f (x)＝x2－2x－3，观察它的图象（图 4.5-1），发现它在区间 [2，4] 上有零点．这时，函数图象与 x 轴有什么关系？在区间 [－2，0] 上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数 f (x) 的取值规律来刻画这种关系？
再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与 x 轴的关系，并探究用 f (x) 的取值刻画这种关系的方法．
探究
x
y
O
2
1
3
4
1
2
-2
-1
-3
-4
-1
-2
图 4.5-1
二、知识讲解
　　可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x 轴．函数在端点 x＝2 和 x＝4 的取值异号，即 f (2) f (4)<0，函数 f (x)＝x2－2x－3 在区间 (2，4) 内有零点 x＝3，它是方程 x2－2x－3＝0 的一个根．同样地，f (－2) f (0)<0，函数 f (x)＝x2－2x－3 在 (－2，0) 内有零点 x＝－1，它是方程 x2－2x－3＝0 的另一个根．
　　一般地，我们有：
　　函数零点存在定理　如果函数 y＝f (x) 在区间 [a，b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a) f (b)<0，那么，函数 y＝f (x) 在区间 (a，b) 内至少有一个零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f (c)＝0，这个 c 也就是方程 f (x)＝0 的解．
二、知识讲解
例1　求方程 ln x＋2x－6＝0 的实数解的个数．
分析：可以先借助计算工具画出函数 y＝ln x＋2x－6 的图象（图 4.5-2）或列出 x，y 的对应值表（表 4.5-1），为观察、判断零点所在区间提供帮助．
x
y
6
－4
3.386 3
4
1
1.098 6
2
7
3
5
8
表 4.5-1
9
－1.306 9
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
x
y
O
图 4.5-2
-6
-2
-4
5
10
10
2
4
12
6
8
14
二、知识讲解
　　由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f (2)<0，f (3)>0，则 f (2) f (3)<0．由函数零点存在定理可知，函数 f (x)＝ln x＋2x－6 在区间 (2，3) 内至少有一个零点．
　　容易证明，函数 f (x)＝ln x＋2x－6，x∈(0，＋∞) 是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程 ln x＋2x－6＝0 只有一个实数解．
　　 为什么由图 4.5-2 和 f (2) f (3)<0 还不能说明函数 f (x) 只有一个零点？你能证明函数 y＝f (x) 是增函数吗？
？
二、知识讲解
4.5.2　用二分法求方程的近似解
　　我们已经知道，函数 f (x)＝ln x＋2x－6 在区间 (2，3) 内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
　　一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
　　取区间 (2，3) 的中点 2.5，用计算工具算得 f (2.5)≈－0.084．因为 f (2.5) f(3)<0，所以零点在区间 (2.5，3) 内．
　　再取区间 (2.5，3) 的中点 2.75，用计算工具算得 f (2.75)≈0.512．因为
二、知识讲解

二、知识讲解
零点所在区间
中点的值
(2.531 25，2.562 5)
－0.084
0.215
(2.5，2.625)
(2，3)
0.512
(2.5，3)
(2.531 25，2.546 875)
(2.5，2.75)
(2.5，2.562 5)
(2.531 25，2.539 062 5)
表 4.5-2
中点函数
近似值
0.066
－0.009
0.029
0.010
0.001
2.535 156 25
2.5
2.75
2.625
2.562 5
2.531 25
2.546 875
2.539 062 5
x
y
O
图 4.5-3
0.3
0.1
0.5
2.5
2
3
0.2
0.4
2.625
-0.1
-0.3
2.75
-0.2
-0.4
-0.5
二、知识讲解
　　例如，当精确度为 0.01 时，因为 |2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5<0.01，所以区间 (2.531 25，2.539 062 5) 内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将 x＝2.531 25 作为函数 f (x)＝ln x＋2x－6 零点的近似值，也即方程 ln x＋2x－6＝0 的近似解．
　　对于在区间 [a，b] 上图象连续不断且 f (a) f (b)<0 的函数 y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）．
二、知识讲解
　　给定精确度 ε，用二分法求函数 y＝f (x) 零点 x0 的近似值的一般步骤如下：
1．确定零点 x0 的初始区间 [a，b]，验证 f (a) f (b)<0．
2．求区间 (a，b) 的中点 c．
3．计算 f (c)，并进一步确定零点所在的区间：
（1）若 f (c)＝0（此时 x0＝c），则 c 就是函数的零点；
（2）若 f (a) f (c)<0（此时 x0∈(a，c)），则令 b＝c；
（3）若 f (c) f (b)<0（此时 x0∈(c，b)），则令 a＝c．
4．判断是否达到精确度 ε：若 |a－b|<ε，则得到零点近似值 a（或 b）；否则重复步骤 2～4．
二、知识讲解
例2　借助信息技术，用二分法求方程 2x＋3x＝7 的近似解（精确度为 0.1）．
解：原方程即 2x＋3x－7＝0，令 f (x)＝2x＋3x－7，用信息技术画出函数 y＝f(x) 的图象（图 4.5-4），并列出它的对应值表（表 4.5-3）．
10
21
40
75
142
x
y
2
1
3
4
5
6
7
8
－2
3
－6
0
273
表 4.5-3
x
y
O
图 4.5-4
-5
5
6
10
8
16
10
2
14
-4
4
12
-2
-8
-6
二、知识讲解
　　观察图 4.5-4 或表 4.5-3，可知 f (1) f (2)<0，说明该函数在区间 (1，2) 内存在零点 x0．
　　取区间 (1，2) 的中点 x1＝1.5，用信息技术算得 f (1.5)≈0.33．因为 f (1) f(1.5)<0，所以 x0∈(1，1.5)．
　　再取区间 (1，1.5) 的中点 x2＝1.25，用信息技术算得 f (1.25)≈－0.87．因为 f (1.25) f (1.5)<0，所以 x0∈(1.25，1.5)．
　　同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375，1.437 5)．
　　由于 |1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375．
二、知识讲解
　　由例 2 可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图 4.5-5 就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．
定义 f (x)
开始
输入 ε，a，b

f (a) f (c)<0
b＝c
|a－b|<ε
输出解 x＝a
结束
是
是
否
a＝c
a＝c
f (c)＝0
否
否
是
图 4.5-5
二、知识讲解
4.5.3　函数模型的应用
例3　人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在 1798 年，英国经济学家马尔萨斯（T. R. Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型
y＝y0ert，
其中 t 表示经过的时间，y0 表示 t＝0 时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国 1950 年末、1959 年末的人口总数分别为 55 196 万和 67 207 万．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 1950～1959 年期间的具体人口增长模型．
二、知识讲解
（2）利用（1）中的模型计算 1951～1958 年各年末的人口总数．查阅国家统计局网站公布的我国在 1951～1958 年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符．
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到 13 亿？
分析：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量 y0 和年平均增长率 r．
58 940
60 243
61 576
62 938
64 330
年份
计算所得人口总数/万
1953
1952
56 417
1954
1955
1956
1958
1957
57 665
57 482
56 300
1951
65 753
表 4.5-4
实际人口总数/万
58 796
60 266
61 465
62 828
64 563
65 994
二、知识讲解
x
y
O
图 4.5-6
60 000
50 000
70 000
3
4
5
55 000
65 000
1
2
6
7
8
9
75 000
　　事实上，我国 1990 年的人口数为 11.43 亿，直到 2005 年才突破 13 亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？
？
思考
二、知识讲解
例4　2010 年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳 14 年代学检测，检测出碳 14 的残留量约为初始量的 55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
分析：因为死亡生物机体内碳 14 的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数 y＝kax (k∈R，且 k≠0；a>0，且 a≠1) 建立数学模型．
二、知识讲解
例5　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
　　方案一：每天回报 40 元；
　　方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；
　　方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番．
　　请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．
二、知识讲解
增加量/元
增加量/元
2
30
3
4
5
6
x
y
9
10
1
方案一

10
7
214 748 364.8
方案二
方案三
40
8
增加量/元
y
y






40
40
40
40
40
40
40
40
40
40
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
300
0.4
0.8
1.6
3.2
6.4
12.8
25.6
51.2
102.4
204.8
0.4
0.8
1.6
3.2
6.4
12.8
25.6
51.2
102.4
107 374 182.4
表 4.5-5
二、知识讲解
x
y
O
图 4.5-7
20
120
60
12
4
y＝40
80
40
10
2
6
y＝10x
8
y＝0.4×2x－1
100
140
二、知识讲解
160
4
8
10
440
方案
一
320
11
280
360
5
200
400
6
7
80
240
9
30
表 4.5-6
二
3
40
1
2
120
10
三
天数
60
100
150
210
280
360
450
550
660
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
二、知识讲解
例6　某公司为了实现 1 000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y（单位：万元）随销售利润 x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 5万元，同时奖金不超过利润的 25%．现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7 x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为 1 000 万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间 [10，1 000] 上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过 5
二、知识讲解
万元，即最大值不大于 5；第二，奖金不超过利润的 25%，即 y≤0.25x．
　　不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
x
y
O
图 4.5-8
3
800
7
200
4
y＝5
400
5
1
2
6
y＝1.002x
8
y＝0.25x
600
1 000
y＝log7 x＋1
x
y
O
图 4.5-9
-200
800
200
-150
400
-250
-50
-100
-300
1 200
600
1 000
二、知识讲解
　　 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
　　这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题．在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等．
归纳
实际问题
函数模型
实际问题的解
函数模型的解
运算
推理
化归
解释说明
三、小结
二分法与求方程近似解
函数的零点与方程的解
用二分法求方程的近似解
函数的应用（二）
函数模型的实际应用
对数增长直线上升指数爆炸
函数模型的应用举例
1．图（1）（2）（3）分别为函数 y＝f (x) 在三个不同范围的图象．能否仅根据其中一个图象，得出函数 y＝f (x) 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？
四、练习
y
x
O
-200
200
200
-200
（1）
y
x
O
-20
20
20
-20
（2）
y
x
O
-2
2
2
-2
（3）
答案：不能．同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，只能从图（1）观察到它与 x 轴有 1 个交点，从图（2）观察到它与 x 轴有 2 个交点，从图（3）观察到它与 x 轴有 3 个交点，所以仅凭观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，至于是否真的有零点，以及有几个零点，要依据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断．
四、练习
2．借助信息技术，用二分法求函数 f (x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4 在区间 (0，1)内零点的近似值（精确度为 0.1）．
答案： 0.625．
四、练习
四、练习
3．已知 1650 年世界人口为 5 亿，当时人口的年增长率为 0.3%；1970 年世界人口为 36 亿，当时人口的年增长率为 2.1%．
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是 1650 年的 2 倍？什么时候世界人口是 1970 年的 2 倍？
（2）实际上，1850 年以前世界人口就超过了 10 亿；而 2004 年世界人口还没有达到 72 亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
答案：（1）按 1650 年人口的年增长率 0.3%，232 年后即 1882 年世界人口是1650 年的 2 倍；按 1970 年人口的年增长率 2.1%，34 年后即 2004 年世界人口是 1970 年的 2 倍．
四、练习
3．已知 1650 年世界人口为 5 亿，当时人口的年增长率为 0.3%；1970 年世界人口为 36 亿，当时人口的年增长率为 2.1%．
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是 1650 年的 2 倍？什么时候世界人口是 1970 年的 2 倍？
（2）实际上，1850 年以前世界人口就超过了 10 亿；而 2004 年世界人口还没有达到 72 亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
答案：（2）马尔萨斯人口模型是用来刻画自然状态下的人口增长模型，其中的参数 r 表示人口的年平均增长率．这两段时期都存在人口非自然增长的状况，且计算选择的增长率都不是这两段时期的平均增长率，所以所得出的两个结果与实际存在差异．
四、练习

五、本章知识结构
函数的应用
指数函数
对数函数
有理数指数幂
定义
运算性质
整数指数幂
无理数指数幂
指数
对数
定义
运算性质
现实背景、定义
图象、性质
现实背景、定义
图象、性质
函数零点与方程的解
函数模型的应用
谢谢观看