北师大版九年级数学上册 1.1菱形的性质与判定常考易错习题检测（含答案）

2022-2023北师大版九年级数学上册第一章第一节
菱形的性质与判定 常考易错习题检测 （附带答案）
一．选择题（共10小题）
1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．如图，菱形ABCD中，∠ABD＝70°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．菱形ABCD中，AC＝10，BD＝24，则该菱形的面积等于（　　）
A．13 B．52 C．120 D．240
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，则DE＝（　　）
A． B． C．10 D．8
5．如图， ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件：____使得 ABCD是菱形（　　）
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD
6．如图，在菱形ABCD中，∠C＝110°，BC的垂直平分线交BD于点E，F为垂足，连接AE，则∠EAD的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
7． ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AC⊥BD C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD
8．如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（　　）
A．（5，﹣2） B．（2，﹣5） C．（2，5） D．（﹣2，﹣5）
9．如图，在菱形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且A（0，1），∠ABC＝60°，分别以点A，D为圆心，以AD的长为半径作弧，两弧交于点E，连接EA，ED．将菱形ABCD与△EAD构成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2022次旋转结束时，点E2022的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．问题：已知：如图，四边形ABCD是菱形，E、F是直线AC上两点，AF＝CE．求证：四边形FBED是菱形．
几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（　　）
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
二．填空题（共5小题）
11．如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 　 　cm2．
12．如图，已知点A的坐标是，2），点B的坐标是（﹣1，，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O，则点D的坐标是 　 　．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝6，菱形ABCD的面积为48，则OH的长为 　 　．
14．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 　 　．
15．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE＝30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC＝；②当点D与点C重合时，FH＝；③AE+CD＝DE；④当AE＝CD时，四边形BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
17．如图，△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝CE，过点B作BF∥CE，交DE的延长线于点F．
（1）求证：四边形BCEF是菱形．
（2）若BC＝2，∠BCE＝60°，求菱形BCEF的面积．
18．如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．
（1）求证：AM＝AE；
（2）连接CM，DF＝2．
①求菱形ABCD的周长；
②若∠ADC＝2∠MCF，求ME的长．
19．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
20．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A．对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故A不符合题意；
B．对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故B不符合题意；
C．对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故C不符合题意；
D．对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故D符合题意；
故选：D．
2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC＝∠ABC，DB平分∠ADC和∠ABC，
∴∠CDB＝∠CBD＝∠ADB＝∠ABD＝70°，
∴∠C＝180°﹣2∠CDB＝180°﹣2×70°＝40°，
故选：B．
3．【解答】解：∵菱形对角线相互垂直，
∴AC⊥BD，
∴菱形面积是S＝AC×BD＝＝120．
故选：C．
4．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝8，DO＝BO＝6，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝10，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DE，
∴×16×12＝10×DE，
∴DE＝，
故选：A．
5．【解答】解：当AC⊥BD时， ABCD是菱形，
故选：B．
6．【解答】解：连接EC，AC，
∵EF垂直平分BC，AC垂直平分BD，
∴BF＝CF，
∴AE＝EC，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠EBA，
∵∠C＝110°，
∴∠ABC＝70°，
∴∠EBA＝∠EAB＝35°，
∴∠EAD＝110°﹣35°＝75°，
故选：D．
7．【解答】解：A、AC＝BD时， ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、AC⊥BD时， ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACD＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴ ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、BC＝CD时， ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
8．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，
∵点A（﹣2，5），
∴点C的坐标是（2，﹣5）．
故选：B．
9．【解答】解：如图：将菱形ABCD与△EAD构成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，即点E绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，过点E6作E6G⊥x轴，垂足为G，
∵360°÷45°＝8，
∴点E每8次一循环，
∵2022÷8＝252......6，
∴点E2022的坐标与点E6的坐标相同，
∵A（0，1），
∴OA＝1，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠CBO＝∠ABC＝30°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°，
在Rt△ADO中，AD＝2OA＝2，OD＝OA＝，
由题意得：
AD＝DE＝AE＝2，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ODE＝∠ADE+∠ADB＝90°，
∴∠EOD+∠OED＝90°，
由题意得：
OE＝OE6，∠EOE6＝2×45°＝90°，
∴∠EOD+∠DOE6＝90°，
∴∠OED＝∠DOE6，
∵∠ODE＝∠OGE6＝90°，
∴△DOE≌△FE6O，
∴OD＝FE6＝，DE＝FO＝2，
∴E6（2，﹣），
∴E2022（2，﹣），
故选：D．
10．【解答】解：甲：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠BCE＝∠DCE，
在△BAF和△DAF中，
，
∴△BAF≌△DAF（SAS），
∴BF＝DF，
同理：△DCE≌△BCE（SAS），△BAF≌△BCE（SAS），
∴BE＝DE，BF＝BE，
∴BF＝DF＝BE＝DE，
∴四边形FBED是菱形；
乙：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AF＝CE，
∴OA+AF＝OC+CE，
即OF＝OE，
∴四边形FBED是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形FBED是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝2cm，
∴BO＝1cm，
∵AB＝cm，
∴AO＝＝＝2（cm），
∴AC＝2AO＝4cm．
∴S菱形ABCD＝（cm2）．
故答案为：4．
12．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
又∵点O为坐标原点，
∴点B和点D关于原点对称，
∵点B的坐标为（﹣1，﹣），
∴D点坐标为（1，），
故答案为：（1，）．
13．【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝6，AO＝CO，S菱形ABCD＝，
∴AC＝8，
∵AH⊥BC，AO＝CO＝4，
∴OH＝AC＝4．
故答案为：4．
14．【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，
∵在菱形ABCD中，
∴O为AC中点，
∵F为CE中点，
∴OF＝AE＝1，
当C、F、E、A共线时，OF也为1，
∵G为BF中点、H为OB中点，
∴GH＝OF＝，
∵在菱形ABCD中且∠D＝60°，
∴∠ABO＝∠ABC＝∠ADC＝30°，∠BOA＝90°，
∴OA＝AB＝2，
∴OB＝＝，
∴OH＝，
∴AH＝＝，
∵AG≤AH+HG，
∴AG≤，
∴AG的最大值为．
故答案为：．
15．【解答】解：①过点A作AP⊥BC于点P，如图1：
∵△ABC是边长为1的等边三角形，AP⊥BC，
∴BP＝BC＝，
∴AP＝，
∴．故①正确；
②当点D与点C重合时，H，D，C三点重合，如图2：
∵∠DBE＝30°，∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵AB＝BC，
∴AE＝EC＝AC＝，
∵CF∥AB，
∴∠FCA＝∠A＝60°，
∵GF∥BC，
∴∠FEC＝∠ACB＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝60°，
∴∠FCE＝∠FEC＝∠F＝60°，
∴△EFC为等边三角形，
∴FC＝EC＝，
即FH＝．故②正确；
③如图3，将△CBD绕点B逆时针旋转60°，得到△ABN，连接NE，过点N作NP⊥AC，交CA的延长线于P，
∴BD＝BN，CD＝AN，∠BAN＝∠C＝60°，∠CBD＝∠ABN，
∵∠DBE＝30°，
∴∠CBD+∠ABE＝30°＝∠ABE+∠ABN＝∠EBN，
∴∠EBN＝∠DBE＝30°，
又∵BD＝BN，BE＝BE，
∴△DBE≌△NBE（SAS），
∴DE＝NE，
∵∠NAP＝180°﹣∠BAC﹣∠NAB＝60°，
∴AP＝AN，NP＝AP＝AN＝CD，
∵NP2+PE2＝NE2，
∴CD2+（AE+CD）2＝DE2，
∴AE2+CD2+AE CD＝DE2，故③错误；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵GF∥BH，BG∥HF，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，∠DHC＝∠ABC＝60°，
∴△AGE，△DCH都是等边三角形，
∴AG＝AE，CH＝CD，
∵AE＝CD，
∴AG＝CH，
∴BH＝BG，
∴ BHFG是菱形，故④正确，
故答案为：①②④．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
17．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴EF∥BC，
∵BF∥CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∵DE＝CE，
∴BC＝CE，
∴平行四边形BCEF是菱形；
（2）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，
由（1）知BC＝CE，
∵∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∵EG⊥BC，
∴BG＝BC＝1，
在Rt△BGE中，由勾股定理得：EG＝＝＝，
∴S菱形BCEF＝BC EG＝2×＝2．
18．【解答】（1）证明：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AD＝AB，
∵EM⊥AC，
∴ME∥BD，
∵点E是AB的中点，
∴点M是AD的中点，AE＝AB，
∴AM＝AD，
∴AM＝AE．
（2）解：①由（1）得，点M是AD的中点，
∴AM＝MD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠AEM，∠EAM＝∠FDM，
∴△MDF≌△MAE（AAS），
∴AE＝DF，
∵AB＝2AE，DF＝2，
∴AB＝4，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝4×4＝16．
②如图，连接CM，记EF与AC交点为点G，
∵AM＝AE，△MAE≌△MDF，
∴DF＝DM，MF＝ME，
∴∠DMF＝∠DFM，
∴∠ADC＝2∠DFM，
∵∠ADC＝2∠MCD，
∴∠MCD＝∠DFM，
∴MF＝MC＝ME，∠EMC＝2∠F＝∠MDC，
∵ME⊥AC，AM＝AE，
∴∠MGC＝90°，ME＝2MG，
∴MC＝2MG，
∴∠GMC＝60°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠MCD＝30°，
∴∠DMC＝90°，
∴△DMC为直角三角形，
∵DF＝2，
∴DM＝2，CD＝4，
∴CM＝＝2，
∴ME＝2．
19．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝13，
设AE＝x，则DE＝13﹣x，
在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，
即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，
解得：x＝，
∴BE＝＝，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×BE＝13×＝120．
20．【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
作AH⊥BC于H点，则BH＝2，
S四边形AECF＝S△ABC＝．
△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+EF＝BC+EF＝BC+AE
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小＝4+