北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定 同步达标测试题 (含答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（　　）
A．测量两条对角线是否分别平分两组内角
B．测量四个内角是否相等
C．测量两条对角线是否互相垂直且平分
D．测量四条边是否相等
2．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
3．如图，菱形ABCD，∠DAB＝70°，点E是对角线AC上一点，点F是边BC上一点，且DE＝FE，则∠DEF的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．140°
4．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　）
A．16 B．16 C．32 D．32
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（　　）
A．6 B．8 C． D．
6．从菱形的钝角顶点，向对角的两边条垂线，垂足恰好在该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（　　）
A．150° B．135° C．120° D．100°
7．如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE：AB＝4：5，则下列结论：①DE＝8cm；②BE＝4cm；③BD＝4cm；④AC＝8cm；⑤S菱形ABCD＝80cm2，正确的有（　　）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
8．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，则OE的长为（　　）
A．6 B．5 C．2 D．4
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，菱形ABCD中，若BD＝8，AC＝6，则AB的长等于 　 　，菱形ABCD的面积等于 　 　．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A（0，4），D（﹣3，0），若点C在x轴正半轴上，则点B的坐标为 　 　．
11．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．AD＝10，EF＝4，则BG的长　 　．
12．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：
①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是 　 　（写出所有可能的情况）．
13．菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点E为AC上的动点，连接BE，以AE、BE为边作平行四边形AEBF，则EF长的最小值为 　 　．
14．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为 　 　．
15．如图，已知AB＝2，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为　 　（结果保留根号）．
16．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于　 　．
三．解答题（共6小题，满分48分）
17．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．
求证：四边形AEDF是菱形．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上的一点，连接CD，CE∥AB，BE∥CD，且CE＝AD．
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若点F是BD的中点，EB＝6，求BC的长．
19．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长，交BC于点F．连接AF，CE，EF平分∠AEC．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四边形AFCE的面积．
20．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是AB上一点（不与点A，B重合），线段CE的垂直平分线交CE于点F，交BD于点G，连接AG，EG．
（1）根据题意补全图形，并证明AG＝EG；
（2）用等式表示线段AG与CE之间的数量关系，并证明．
21．如图，在菱形ABCD中，BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：BF＝DE；
（2）分别延长BE和AD交于点G，若∠A＝45°，AB＝1，求DG的值．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝6，BD＝8，求CE的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A、测量两条对角线是否分别平分两组内角，能判定菱形，故故选A不符合题意；
B、测量四个内角是否相等，能判定矩形，不能判定菱形，故选项B符合题意；
C、测量两条对角线是否互相垂直且平分，能判定菱形，故选项C不符合题意；
D、测量四条边是否相等，能判定菱形，故选项D不符合题意．
故选：B．
2．解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，如图：
∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝4．
∴AB＝5．
∴周长＝4×5＝20．
故选：D．
3．解：连接BD交AC于G，连接BE，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝70°，ED＝EF，
∴ED＝EB＝EF，∠AGD＝90°，∠DCE＝∠BCE＝35°，∠GBC＝55°，
∴∠EDB＝∠EBD，∠DEG＝90°﹣∠EDB，∠EBD+∠DBC＝∠EFB＝∠CEF+∠ECF，
∴∠CEF＝20°+∠EBD，
∴∠DEF＝∠DEG+∠CEF＝90°﹣∠EDB+20°+∠EBD＝110°，
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠BAD，∠ACB＝∠ACD，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∵∠DAB＝45°，
∴∠BCD＝∠BAD＝45°，
∵DE⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，CDDE，
∵PF⊥CD，
∴△DPF是等腰直角三角形，
∴PF＝DF，PDPF，
设PF＝DF＝x，则PDx，
∵△PDF的周长为8，
∴x+xx＝8，
解得：x＝8﹣4，
∵∠ACB＝∠ACD，DE⊥BC，PF⊥CD，
∴PE＝PF＝x，
∴DE＝xx＝（1）×（8﹣4）＝4，
∴BC＝CDDE＝8，
∴菱形ABCD的面积＝BC×DE＝8×432，
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD，
∵AC＝6，DB＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴BC，
∵AC＝6，DB＝8，
∴菱形ABCD的面积，
∵BC＝5，
∴AE，
故选：C．
6．解：过A作AE⊥BC，
由题意知AE⊥BC，且E为BC的中点，
则△ABC为等腰三角形
即AB＝AC，即AB＝AC＝BC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°．
故选：C．
7．解：∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AB4cm＝10cm，
∵DE：AB＝4：5，
∴DE＝8cm，
故①正确；
∵DE⊥AB，且AD＝10cm，DE＝8cm，
∴AE6（cm），
∴BE＝AB﹣AE＝10cm﹣6cm＝4cm，
故②正确；
∵DE＝8cm，BE＝4cm，
∴BD4（cm），
故③正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BOBD＝2cm，且AC⊥BD，
∴AO4（cm），
∴AC＝2AO＝8cm，
故④正确；
∴S菱形ABCDAC BD8480（cm2），
故⑤正确；
∴正确的为①②③④⑤，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OBBD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，
∴OA4，
∴OE＝OA＝4．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AOAC＝3，BOBD＝4，
∴AB5，
∵BD＝8，AC＝6，
∴菱形的面积AC×BD＝24，
故答案为：5，24．
10．解：∵菱形ABCD的顶点A（0，4），D（﹣3，0），
∴OA＝4，OD＝3，
∵∠AOD＝90°，
∴AD5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝5，
∴B（5，4）；
故答案为：（5，4）．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AEAD＝5；
∵四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，
故答案为2．
12．解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB，
则四边形ABCD是菱形，
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAO＝∠BAO，
在△AOD和△AOB中，
，
∴△AOD≌△AOB（ASA），
∴DO＝CB，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
若①AB∥CD； ②AO＝OC；④AC平分∠DAB或①AB∥CD； ③AB＝AD；④AC平分∠DAB或 ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．都可以判定四边形ABCD为菱形．
故答案为：②③④或①②④或①③④或②③④．
13．解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝4，AC⊥BD，
∴BO3，
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴BF∥AE，
∴当EF⊥AC时，EF有最小值，
此时EF＝BO＝3，
故答案为：3．
14．解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴EF＝8，OEEF8＝4，
由勾股定理得，AO3，
∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCDBD AC24×6＝72；
故答案为：72．
15．解：连接PC、CQ．
∵四边形ACED，四边形CBGF是菱形，∠D＝120°，
∴∠ACE＝120°，∠FCB＝60°，
∵P，Q分别是对角线AE，BF的中点，
∴∠ECP∠ACE，∠FCQ∠BCF，
∴∠PCQ＝90°，
设AC＝2a，则BC＝22a，PC＝a，CQBC（）．
∴PQ．
∴当a时，点P，Q之间的距离最短，最短距离是．
解法二：连接CD、CG、DG，构造中位线解决，当DG与AD或BG垂直时，取最值．
故答案为：．
16．解：连接OP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BOBD＝8，OCAC＝6，
∴BC10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBCOB×OCBC×OP，
∴OP4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
三．解答题（共6小题，满分48分）
17．证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
∵在△AEO和△AFO中
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO＝FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
18．（1）证明：∵CE∥AB，BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∴CE＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝AD，
又∵∠ACB＝90°，
∴CDAB＝BD，
∴四边形BDCE是菱形；
（2）解：连接DE，如图所示：
由（1）得：四边形BDCE是菱形，
∴BC⊥DE，BD＝BE，OB＝OC，
∵EF⊥BD，点F是BD的中点，
∴BE＝DE，
∴BE＝DE＝BD，
∴∠DBE＝60°，∠EBC∠EBD＝30°，
∴OEEB＝3，
∴OB3，
∴BC＝2OB＝6．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠AEF＝∠CFE，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE，
∵AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形；
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，
∴AC⊥EF，AO＝COAC＝1，
∴∠AOE＝90°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠AEO＝30°，
∴OEAO，
∴EF＝2OE＝2，
∴四边形AFCE的面积AC×EF2×22．
20．（1）证明：如图，连接CG，
∵GF是CE的垂直平分线，
∴CG＝GE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG，
∴AG＝GE；
（2）解：CEAG，理由如下：
延长EG，交CD于点H，
∵GE＝GC，GF⊥CE，
∴∠CGF＝∠EGF∠CGE，EF＝CF，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠CHG，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA＝∠CHG，
∵△ADG≌△CDG，
∴∠DCG＝∠DAG，
∵AB∥CD，∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝120°，
∴∠DAG+∠BAG＝120°，
∵∠CGE＝∠GHC+∠GCH＝∠DAG+∠GAE＝120°，
∴∠FGE＝60°，
∴∠GEF＝30°，
∴GE＝2GF，EFGF，
∴ECGEAG．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，
∵BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
在△BEC与△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（AAS），
∴EC＝FC，
∴BF＝DE；
（2）解：如图，延长AD，BE交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BEC＝90°，
∵∠A＝45°，
∴∠G＝∠A＝45°，
∴AB＝BG＝1，
∴AG，
∴DG1．
22．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝ODBD＝4，
∴∠AOB＝90°，
∴OA2，
∴AC＝2OA＝4，
∴菱形ABCD的面积AC×BD48＝16，
∵CE⊥AB，
∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝6CE＝16，
∴CE．