北师大版九年级数学上册 1.2矩形的性质与判定 同步达标测试题（含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等
C．两条对角线互相平分 D．两条对角线相等
2．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠BOC＝120°，AC＝8，则AB的长为（　　）
A．6 B．4 C． D．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，连接DE，若AE平分∠BED，则EC的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝3，AE＝9，则AB的长为（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
6．如图，小明将一张为14cm，宽为10cm的长方形（AE＞DE）纸张剪去了一个直角三角形，量得AB＝4cm，CD＝6cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
7．如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）
A．66° B．60° C．57° D．48°
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点O为对角线AC和BD的交点，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作矩形AEFG，点G在AD上，若AG＝4，过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点P、Q，则PQ2的值为（　　）
A．39 B．40 C．41 D．42
9．如图，已知长方形纸板的边长DE＝10，EF＝11，在纸板内部画Rt△ABC，并分别以三边为边长向外作正方形，当边HI、LM和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B． C． D．
二．填空题（共10小题，满分40分）
10．如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为　 　．
11．如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是　 　．
12．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝　 　°．
13．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　．
14．如图， ABCD中，AB＞AD，AE，BE，CM，DM分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AE与DM相交于点F，BE与CM相交于点N，连接EM．若 ABCD的周长为42cm，FM＝6cm，EF＝8cm，则EM＝　 　cm，AB＝　 　cm．
15．如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝　 　．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为 　 　．
17．已知平面上四点A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直线y＝mx﹣3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为 　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．
19．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快　 　s后，四边形ABPQ成为矩形．
三．解答题（共6小题，满分53分）
20．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝6，DF＝10，求BF的长．
21．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证： ABCD是矩形；
（2）求AD的长．
22．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
（1）求证：△ADE≌△BDF．
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．
23．如图，AD是 ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC交BD于点O，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．
24．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC＝2：1，则∠BDF的度数是多少？
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE＝15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB＝2，求△BOE的面积．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．解：A、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；
B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；
C、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的，故本选项不符合；
D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；
故选：D．
2．解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；
B、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；
C、是一内角等于90°，可判断平行四边形ABCD成为矩形；
D、是对角线平分对角，可判定平行四边形ABCD是菱形．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OAAC＝4，OBBD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝4，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝4；
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BED，
∴∠AED＝∠AEB，
∴∠AED＝∠DAE，
∴AD＝DE＝4，
∴EC，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠CDE＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝9，
∴BD＝BE＝9﹣AB．
∵DB2＝AD2+AB2，
∴（9﹣AB）2＝9+AB2，
∴AB＝4，
故选：B．
6．解：延长AB、DC相交于F，则△BFC是直角三角形，
在Rt△BFC中，BC2＝（14﹣6）2+（10﹣4）2＝82+62＝100，
所以BC＝10．
则剪去的直角三角形的斜边长为10cm，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE（90°﹣∠DBC）（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°．
故选：C．
8．解：∵过点O的一条直线平分该组合图形的面积，
∴PQ必过矩形EFGA的对角线交点，
连接AF，EG交于点H，取AE的中点M，AB的中点N，连接HM，ON，过点H作HT⊥ON于T，设PQ与AD的交点为S，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
又∵点N是AB的中点，
∴ONBC＝3，AN，ON∥BC，
∴∠ANO＝∠ABC＝90°，
同理可求：NH＝2，AM，∠AMH＝90°，
∵HT⊥NO，
∴四边形MHTN是矩形，
∴MH＝NT＝2，MT＝MN＝3，
∴TO＝1，
∴HO，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，∠ASO＝∠CQO，
在△ASO和△CQO中，
，
∴△ASO≌△CQO（AAS），
∴SO＝OQ，
同理可得PH＝SH，
∴PQ＝2HO＝2，
∴PQ2＝40，
故选：B．
9．解：如图，延长CA交GF于R，延长CB交EF于Q，
∵四边形ACML，ABJK是正方形，
∴AC＝CM，CM⊥GD，AB＝BJ，∠ABJ＝90°，
∵四边形GFED是矩形，
∴GD∥EF，
∴MC⊥EF，
∴∠BQJ＝∠ACB＝90°＝∠ABJ，
∴∠ABC+∠BAC＝90°＝∠ABC+∠QBJ，
∴∠BAC＝∠QBJ，
在△ABC和△BJQ中，
，
∴△ABC≌△BJQ（AAS），
∴AC＝BQ，
同理可证：AR＝BC，
∵AC+CH+AR＝11，MC+BC+BQ＝10，
∴AC+2BC＝11，2AC+BC＝10，
∴AC＝3，BC＝4，
∴S△ABCAC×BC3×4＝6，
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分40分）
10．解：∵四边形ABDE是矩形，
∴∠BAE＝∠E＝90°，
∵∠ADE＝62°，
∴∠EAD＝28°，
∵AC⊥CD，
∴∠C＝∠E＝90°
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠EAD＝∠CAD＝28°，
∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，
故答案为：34°．
11．解：作A'F⊥BC于F，如图所示：
则∠A'FB＝90°，
根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC A'FBC AB，
∴A'FAB＝1，
∴∠D'＝∠A'BF＝30°，
∴BFA'F，
∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，
∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，
∴CD⊥A'D'，
∴A'F∥CD，
∴四边形A'ECF是矩形，
∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，
∴D'E＝BF，
∴△ECD'的面积D'E×CE1；
故答案为：．
12．解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴EC＝EA，
∴∠ECA＝∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠DCA＝∠EAC＝90°﹣70°＝20°，
∴∠DCE＝∠DCA+∠ECA＝20°+20°＝40°，
故答案为：40．
13．解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案为12．
14．解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠EAB∠DAB，
同理：∠ABE＝∠CBE∠ABC，
∠BCM＝∠DCM∠BCD，
∠CDM＝∠ADM∠ADC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC．
∴∠DAF＝∠BCN，∠ADF＝∠CBN．
在△ADF和△CBN中，
∴△ADF≌△CBN（ASA）．
∴DF＝BN．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°．
∴∠EAB+∠EBA＝90°．
∴∠AEB＝90°．
同理可得：∠AFD＝∠DMC＝90°．
∴∠EFM＝90°．
∵FM＝6，EF＝8，
∴ME10（cm）．
∵∠EFM＝∠FMN＝∠FEN＝90°．
∴四边形EFMN是矩形．
∴EN＝FM＝6．
∵∠DAF＝∠EAB，∠AFD＝∠AEB，
∴8DF＝6AF．
设DF＝6k，则AF＝8k．
∵∠AFD＝90°，
∴AD＝10k．
∵∠AEB＝90°，AE＝8（k+1），BE＝6（k+1），
∴AB＝10（k+1）．
∵2（AB+AD）＝42，
∴AB+AD＝21．
∴10（k+1）+10k＝21．
∴k＝0.55．
∴AB＝15.5（cm）．
故答案为：10；15.5．
15．解：∵四边形ADBE是矩形，
∴AB＝DE，AO＝BO，DO＝OE，
∴AB＝DE＝2OD＝4，
∵AB＝AC，
∴AC＝4，
故答案为4．
16．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE＝S△COF，
∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．
S△BCDBC×CD2×3＝3．
故答案为：3．
17．解：∵直线y＝mx﹣3m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分
∴直线必经过矩形的中心对称点O
∵根据矩形中心对称，可知O（5，3），将它代入y＝mx﹣3m+2中得：
3＝5m﹣3m+2，即m．
18．解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积AB×ACBC×AD，
∴AD，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
19．解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．
解得x＝4，
故答案为：4．
三．解答题（共6小题，满分53分）
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵FC＝AE，
∴CD﹣FC＝AB﹣AE，
即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝10，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE8，
由（1）得：四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝8．
21．（1）证明：∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝ODBD，OA＝OCAC，
∴BD＝AC，
∴ ABCD是矩形；
（2）解：∵ ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，
∴ADAB＝4．
22．证明：（1）∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE，
∴DB＝DE，
∴AB＝EF，
∴平行四边形AFBE是矩形．
23．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，AB＝ED，
∵DC＝ED，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DE⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：过O作OF⊥CD于F，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2
∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，
∴OD＝OC，
∵OF⊥CD，
∴DF＝CFCD1，
∴OFBC2，EF＝DE+DF＝2+1＝3，
∴OE．
24．（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°，四边形ABCD是矩形，
∵∠ADF：∠FDC＝2：1，AC＝BD，
∴∠FDC＝30°，
∵DF⊥AC，
∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°，
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠DCO＝60°，
∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．
25．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴EC＝DC，
又∵∠BDE＝15°，
∴∠CDO＝60°，
又∵矩形的对角线互相平分且相等，
∴OD＝OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DOC＝∠OCD＝60°，
∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，
∵CO＝CE，
∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝60°+75°＝135°；
（3）解：作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OFCD＝1，
∵∠OCB＝30°，AB＝2，
∴BC＝2，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△BOE的面积 EB OF（22）×11．