苏科版九年级数学上册1.3一元二次方程根与系数的关系强化提优训练（word版含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上
《1.3一元二次方程根与系数的关系》强化提优训练（二）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根，则α2+β2的值等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　　）
A．2 B．﹣4 C．4 D．3
3．已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（　　）
A．0 B．2 C．1 D．﹣1
6．若α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，且αβ﹣2α﹣2β＝﹣11，则b的值是（ 　）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
7．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（ ）
A．16 B．14 C．10 D．6
8．已知α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根，则代数式（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　）
A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3
10．已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a﹣的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
二．填空题(30分)
11．已知一元二次方程x2﹣5x+c＝0有一个根为4，则另一个根为　 　．
12．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　．
13．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是　 　．
15．若α，β是方程x2﹣4x﹣2023＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ﹣4＝　 　．
16．若m，n是方程3x2+4x﹣3＝0的两根，则式子6m2+10m+2n的值为　 　．
17．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么＝　 　．
18．如果关于x的方程的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为　 　．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
20．已知x1，x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0的两个实数根，而a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0的实数根，则代数式（﹣）÷ 的值是　 　．
三。解答题（60分）
21．（8分）已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m+3＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若，m为整数，求m的值．
23．（8分）如果关于x的一元二次方程a x2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程 x2+x＝0的两个根是 x1＝0， x2＝﹣1，则方程 x2+x＝0是“邻根方程”；
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．
①x2﹣x﹣12＝0； ②x2﹣9x+20＝0；
（2）已知关于x的方程 x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
24．（8分）如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD．
（1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由；
（2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长．
25 （8分）已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)若a为正整数,求a的值;
(2)若x1,x2满足+-x1x2=16,求a的值.
26.（10分）已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求这个三角形的周长.
教师样卷
一．选择题(30分）
1．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根，则α2+β2的值等于（　C　）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根，∴α+β＝﹣2，α β＝﹣1，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α β＝4+2＝6．故选：C．
2．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（　D　）
A．2 B．﹣4 C．4 D．3
解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，根据两根之和公式求出两根之和为3．方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无解．∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，即所有实数根的和3．故选：D．
3．已知a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，则的值是（　D　）
A． B． C． D．
解：∵a、b是一元二次方程x2+5x+3＝0的两个根，∴ab＝3．∴＝+＝2＝2．故选：D．
4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则点P（a﹣2，﹣a+3）在（　B　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴a≠0，Δ＝（﹣1）﹣4a×（﹣）＝0，解得：a＝﹣1．∴a﹣2＝﹣3，﹣a+3＝2，∴点P（a﹣2，﹣a+3）在第二象限．故选：B．
5．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（　B　）
A．0 B．2 C．1 D．﹣1
解：∵x1，x2是一元二次方程x2 x 1＝0的两个根，∴x1+x2＝1，x12 x1 1＝0，两式相加得：x12 x1 1+x1+x2＝1，移项得：x12+x2＝2，故选：B．
6．若α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，且αβ﹣2α﹣2β＝﹣11，则b的值是（　C　）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
解：∵α和β是关于x的方程x2+bx﹣1＝0的两根，∴α+β＝﹣b，αβ＝﹣1，∴αβ﹣2α﹣2β＝αβ﹣2（α+β）＝﹣1+2b＝﹣11．∴b＝﹣5．故选：C．
7．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（B）
A．16 B．14 C．10 D．6
解：∵n是一元二次方程x2+x＝4的根，∴n2+n＝4，即n2＝﹣n+4，∵m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，∴2n2﹣mn﹣2m＝2（﹣n+4）﹣mn﹣2m＝﹣2（m+n）﹣mn+8＝2+4+8＝14．故选：B．
8．已知α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根，则代数式（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）的值是（　A　）
A．4 B．3 C．2 D．1
解：∵α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根，∴αβ＝1，α2+2022α+1＝0，β2+2022β+1＝0，∴（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）＝a 4β＝4αβ＝4×1＝4．故选：A．
9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　D　）
A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3
解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，
∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，∴+＝＝＝1，解得：m＝3或m＝﹣1，
把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；把m＝﹣1代入方程得：x2﹣x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m＝﹣1舍去．故选：D．
10．已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a﹣的值是（　B　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
解：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，∴a2﹣a＝5，ab＝﹣5，∴a2﹣5＝a，a＝﹣，
∴﹣a3+5a﹣＝﹣a（a2﹣5）﹣＝﹣a2+a＝﹣（a2﹣a）＝﹣5．故选：B．
二．填空题(30分)
11．已知一元二次方程x2﹣5x+c＝0有一个根为4，则另一个根为　 　．
【答案】 1 解：设方程的另一个根为x2，则x2+4＝5，解得x2＝1，故答案为：1．
12．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝　 　．
【答案】 7 解：∵方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣6，
∴|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4×（﹣6）＝49，∴|x1﹣x2|＝7，故答案为：7．
13．已知矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，则矩形的面积是　 　．
【答案】 4 解：设矩形的长和宽分别为a、b，∵矩形的长和宽分别是关于x的方程2x2+mx+8＝0（m≥8）的两根，∴a+b＝﹣，ab＝＝4，即矩形的面积是4，故答案为：4
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值是　 　．
【答案】9 解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，所以x12+3x1x2+x22＝（x1+x2）2+x1x2＝16﹣7＝9．故答案为：9．
15．若α，β是方程x2﹣4x﹣2023＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ﹣4＝　 　．
【答案】2023 解：∵α，β是方程x2﹣4x﹣2023＝0的两个实数根，∴α+β＝4，αβ＝﹣2023，∴α+β﹣αβ﹣4＝4+2023﹣4＝2023．故答案为：2023．
16．若m，n是方程3x2+4x﹣3＝0的两根，则式子6m2+10m+2n的值为　 　．
【答案】 解：∵m，n为方程3x2+4x﹣3＝0的两根，∴3m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣，
∴3m2+4m＝3．∴6m2+10m+2n＝2（3m2+4m）+2m+2n＝6+2（m+n）＝6+2×（﹣）＝．
故答案为：．
17．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，王同学由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，那么＝　 　．
【答案】﹣ 解：设王同学将a看成a′，得到方程a′x2+bx+c＝0有两根为2和4，
根据根与系数的关系得﹣＝6，＝8，则＝﹣．故答案为：﹣．
18．如果关于x的方程的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为　 　．
【答案】．﹣． 解：∵方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根，∴b2﹣4ac＝k2﹣4（k2﹣3k+）＝﹣2k2+12k﹣18＝﹣2（k﹣3）2≥0，∴k＝3，代入方程得：x2+3x+＝（x+）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣，∴＝﹣，故答案为：﹣．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
【答案】﹣3 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤，由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，故答案为﹣3．
20．已知x1，x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0的两个实数根，而a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0的实数根，则代数式（﹣）÷ 的值是　 　．
【答案】 ﹣ 解：∵x1，x2是方程x2﹣2（k+1）x+k2+2k﹣1＝0①的两个实数根，
∴x1+x2＝2（k+1），x1 x2＝k2+2k﹣1，∴x1+x2﹣2k＝2（k+1）﹣2k＝2，（x1﹣k）（x2﹣k）＝x1 x2﹣（x1+x2）k+k2＝k2+2k﹣1﹣（2k+2）k+k2＝﹣1，方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0②为y2﹣2y﹣1＝0，∵a是关于y的方程y2﹣（x1+x2﹣2k）y+（x1﹣k）（x2﹣k）＝0…②的根，∴a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣1＝2a，∴（﹣）÷
＝××＝××2＝﹣．故答案为：﹣．
三。解答题（60分）
21．（8分）已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为0时，求m的值及方程的另一根；
（2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m的值．
解：（1）当x＝0时，0+0+m﹣2＝0∴m＝2，∴x2+2x＝0，∴x＝0或x＝﹣2，
即方程的另一根是﹣2；
（2））∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝22﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12＞0，∴m＜3，∵m为正整数，∴m＝1，2．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m+3＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若，m为整数，求m的值．
解：（1）由题意可得，△＝（﹣4）2﹣4（2m+3）＝4﹣8m，∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣8m＞0．解得m＜；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝4，x1x2＝2m+3，∵，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤13，即42﹣3（2m+3）≤13，解得m≥﹣1，由（1）可得﹣1≤m＜，
又∵m为整数，∴m＝﹣1或m＝0．
23．（8分）如果关于x的一元二次方程a x2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程 x2+x＝0的两个根是 x1＝0， x2＝﹣1，则方程 x2+x＝0是“邻根方程”；
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”．
①x2﹣x﹣12＝0； ②x2﹣9x+20＝0；
（2）已知关于x的方程 x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
解：（1）①分解因式得：（x﹣4）（x+3）＝0，解得：x＝4或x＝﹣3，∵4≠﹣3+1，
∴x2﹣x﹣12＝0不是“邻根方程”；
②分解因式得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，∵5＝4+1，
∴x2﹣9x+20＝0是“邻根方程”；
（2）分解因式得：（x+m）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣m或x＝1，∵方程 x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程，∴﹣m＝1+1或﹣m＝1﹣1，∴m＝0或﹣2．
24．（8分）如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD．
（1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由；
（2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长．
解：（1）平行四边形ABCD为菱形，理由如下：解方程x2﹣14x+48＝0得x1＝6，x2＝8，
∵AC＜BD，∴AC＝6，BD＝8，∴BO＝4，CO＝3，∵32+42＝52，∴BO2+CO2＝BC2，
∴∠BOC＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，且AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形：
（2）∵四边形ABCD为菱形：∴AE BC＝BD，∴5AE＝，∴AE＝，
∴BE＝＝＝1.4．故BE的长为1.4．
25 （8分）已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)若a为正整数,求a的值;
(2)若x1,x2满足+-x1x2=16,求a的值.
解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,解得a<3.∵a为正整数,∴a=1或2.
(2)∵x1+x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2,又∵+-x1x2=16,∴(x1+x2)2-3x1x2=16,
∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16,整理,得a2-5a-6=0,解得a1=-1,a2=6.∵a<3,∴a=-1.
26.（10分）已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求这个三角形的周长.
解:(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根,
∴Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=4(m+1)2-4(m2+5)=4m2+8m+4-4m2-20=8m-16≥0,解得m≥2.
根据根与系数的关系,得又∵(x1-1)(x2-1)=28,
∴(x1-1)(x2-1)=x1x2-x1-x2+1=x1x2-(x1+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=m2+5-2m-2+1=m2-2m+4=28,
即m2-2m-24=0,解得m1=-4(舍去),m2=6.∴m=6.
(2)若7为一腰长,则x=7是原方程的一个根,∴72-2(m+1)×7+m2+5=0,整理,得m2-14m+40=0.
解得m1=4,m2=10,当m=4时,原方程为x2-10x+21=0,解得x1=3,x2=7.
∵3+7>7,∴能组成三角形,此时三角形的周长为7+7+3=17.当m=10时,原方程x2-22x+105=0,解得x1=7,x2=15.∵7+7<15,∴不能组成三角形.若7为底边长,则x1=x2,∴Δ=8m-16=0,∴m=2,
此时方程为x2-6x+9=0,∴x1=x2=3.∵3+3<7,∴不能组成三角形.综上,这个三角形的周长17.