北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定知识点分类练习题（含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
知识点分类练习题（附答案）
一．正方形的性质
1．下列各组图形中，对角线互相平分且相等的是（　　）
A．矩形与正方形 B．菱形与矩形
C．平行四边形与菱形 D．菱形与正方形
2．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直
C．对角线互相平分 D．四条边相等
3．如图，正方形ABCD中，M、N是对角线BD上的两点，且∠MAN＝45°．若BM＝2，DN＝3，则MN的长为（　　）
A． B． C．4 D．5
4．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，若BE+DF＝5，则△AEF的面积为（　　）
A．30 B．15 C．11 D．5.5
5．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个结论：
①△OEF始终是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是1；
③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2；
④四边形OECF的面积始终是1．
所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．③④
6．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，若OE＝2，CE DE＝5，则正方形ABCD的面积为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．12.5
7．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（　　）
A．4 B．8 C．16 D．无法计算
8．如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（　　）
A．不变 B．先增大再减小
C．先减小再增大 D．不断增大
9．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）
A．（，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（，﹣1）
10．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE、CE，∠BCE＝70°，则∠EAD为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
11．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
12．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上（不与端点重合），且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（　　）
A．BE＝AF B．∠AFB+∠BEC＝90°
C．∠DAF＝∠ABE D．AG⊥BE
13．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（　　）
A．3 B． C．3 D．6
14．如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
15．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，EF＝3，则DP的长为 　 　．
16．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的度数是 　 　度．
17．两个边长为10cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为　 　cm2．
18．边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连结GH，则GH的长为　 　．
19．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为　 　．
20．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．
①△GAB≌△FAD吗？说明理由．
②若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．
③若DF＝4，CF＝8．求线段EF的长度．
21．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG、DE．
求证：（1）BG＝DE；（2）BG⊥DE．
二．正方形的判定
22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD相交于点H．
（1）求证：AD⊥EF；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动
（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？
（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
24．已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A的大小为多少度时，四边形BECF是正方形？
25．如图，在 ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若AB＝5，BC＝7，则AC＝　 　时，四边形AECF为正方形．
26．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使AE∥BC，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积＝　 　．
②若AB＝10，则BC＝　 　时，四边形ADCE是正方形．
三．正方形的判定与性质
27．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；
（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
28．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
29．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
30．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE．
（1）求证：BF＝DE；
（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
31．如图，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA＝∠CGF；
（2）当AH＝DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
32．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．
（1）求证：四边形MANP是正方形；
（2）求证：EM＝BN．
参考答
一．正方形的性质
1．解：∵矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相平分且垂直，
平行四边形的对角线互相平分，正方形的对角线互相平分且相等且互相垂直，
∴对角线互相平分且相等的是矩形与正方形，
故选：A．
2．解：A、三个图形中，只有矩形和正方形的对角线相等且互相平分，故本选项错误；
B、三个图形中，只有正方形的对角线相等且互相垂直，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；
D、矩形的四条边不一定相等，故本选项错误；
故选：C．
3．解：将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，
∵∠MAN＝45°，
∴∠MAN＝∠HAN＝45°，
∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
∴AH＝AM，BM＝DH＝2，∠ABM＝∠ADH＝45°，
又AN＝AN，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN＝HN，
∵∠NDH＝∠ABM+∠ADH＝45°+45°＝90°，
∴MN＝HN．
故选：B．
4．解：延长EB到点H，使得BH＝DF，连接AH，如图所示：
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABE＝∠D＝∠BAD＝90°，
∴∠ABH＝∠D，
在△ABH和△ADF中，
，
∴△ABH≌△ADF（SAS），
∴∠HAB＝∠FAD，AH＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAD＝45°，
∴∠BAE+∠HAB＝45°，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EH＝EF，
∵BE+DF＝5，
∴BE+BH＝5，
∴HE＝5，
∵AB＝6，
∴15，
∴△AEF的面积为15，
故选：B．
5．解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
在△OBE和△OCF中，
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴OE＝OF，
∵∠BOE＝∠COF，
∴∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴△OEF是等腰直角三角形；
故①正确；
②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OFBC＝1，
∴△OEF面积的最小值是1×1，
故②错误；
③∵BE＝CF，
∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，
假设存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2，
则EF，
由①得△OEF是等腰直角三角形，
∴OE．
∵OB，OE的最小值是1，
∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2．
故③正确；
④由①知：△OBE≌△OCF，
∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBCS正方形ABCD2×2＝1，
故④正确；
故选：C．
6．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED＝90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵∠COM+∠DOM＝90°＝∠DON+∠DOM，OC＝OD，
∴∠COM＝∠DON，
在△COM和△DON中，
，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM＝ON，CM＝DN，
∴四边形OMEN是正方形，
在Rt△OEN中，
∵OE＝2，
∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，
∴NE＝ON＝2，
∴DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，
设DE＝a，CE＝b，
∴a+b＝4，
∵CE DE＝5，
∴CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×5＝6，
∴S正方形ABCD＝6，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，
即∠ABF＝∠D＝90°，
在Rt△ABF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），
∴SRt△ABF＝SRt△ADE，
∴SRt△ABF+S四边形ABCE＝SRt△ADE+S四边形ABCE，
∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝16．
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是两个边长相等正方形，
∴∠BOC＝∠EOG＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，
∴∠BOC﹣∠COM＝∠EOG﹣∠COM，
即∠BOM＝∠CON，
∵在△BOM和△CON中
，
∴△BOM≌△CON，
∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是S△COM+S△CNO＝S△COM+S△BOM＝S△BOCS正方形ABCD，
即不管怎样移动，阴影部分的面积都等于S正方形ABCD，
故选：A．
9．解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC＝∠ADO＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵A的坐标为（1，），
∴AD，OD＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE＝AD，CE＝OD＝1，
∴C（，1）．
故选：A．
10．解：∵正方形ABCD，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，
∵DE＝DE，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠EAD＝∠ECD，
又∵∠BCE＝70°，
∴∠BEC＝65°，
∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD，
即65°＝45°+∠ECD，
∴∠ECD＝20°，
∴∠EAD＝20°．
故选：C．
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BF＝CE，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE（A正确），∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（B错误），
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠DAF＝∠ABE（C正确），
∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠CBE+∠AFB＝90°，
∴AG⊥BE（D正确），
所以不正确的是B，
故选：B．
13．解：连接DB，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝6，
∴DB6，
∵点M，N分别是DQ，BQ的中点，
∴MN是△DQB的中位线，
∴MNDB＝3，
故选：A．
14．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴DA＝DE，∠ADE＝150°，
∴∠DAE＝∠DEA（180°﹣150°）＝15°．
故选：B．
15．解：如图，连接PB，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∵AP＝AP，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP＝DP；
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC＝90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴EF＝PB，
∴EF＝DP＝3，
故答案为：3．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
17．解：如图，连接OA、OD，则∠AOD＝∠GOE＝90°，
∴∠AOM＝∠DON，
∵ABCD是正方形，O为正方形ABCD的中心，
∴OA＝OD，∠OAM＝∠ODN＝45°，
在△OAM和△ODN中，，
∴△OAM≌△ODN（ASA），
∴S△OAM＝S△ODN，
∴S阴影＝S△ODM+S△ODN＝S△OAM+S△ODM＝S△OAD，
S正方形ABCD102＝25（cm2），
故答案是：25．
18．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH和△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴PE，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GHEP．
19．解：阴影部分的面积
20．解：①全等．
证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D，
在△ABG和△ADF中，∠GAB＝∠FAD，AB＝AD，∠ABG＝∠D
∴△GAB≌△FAD．
②解：∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°
∴∠DAF+∠BAE＝45°
∵△GAB≌△FAD
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF
∴∠GAB+∠BAE＝45°
∴∠GAE＝45°
∴∠GAE＝∠EAF
在△GAE和△FAE中
∵AG＝AF，∠GAE＝∠EAF，AE＝AE
∴△GAE≌△FAE（SAS）
∴EF＝GE．
∵△GAB≌△FAD
∴GB＝DF
∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝8+4＝12．
③设EF＝x，则BE＝GE﹣BG＝x﹣4．
∵EC＝BC﹣BE，
∴EC＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x．
在Rt△EFC中，依据勾股定理可知：EF2＝FC2+EC2，即（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
∴EF＝10．
21．证明：（1）∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，
即：∠BCG＝∠DCE，
在△BCG和△DCE中，，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG＝DE，
（2）∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC＝∠EDC，
∵∠GBC+∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，
∴∠DOG+∠EDC＝90°，
∴BG⊥DE．
二．正方形的判定
22．（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∴AD⊥EF；
（2）解：△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵EF⊥AD，
∴矩形AEDF是正方形．
23．解：（1）过点P作PH⊥CD于点H，
∴HQ＝16﹣5t，
∴PQ2＝PH2+HQ2，
即102＝（16﹣5t）2+62，
解得：，
答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；
（2）假设四边形PBCQ是正方形，
∴BP＝CQ，即16﹣3t＝2t，
解得：t，
∵，
∴不成立．
24．解：（1）∵EF垂直平分BC，
∴CF＝BF，BE＝CE，∠BDE＝90°，BD＝CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴EF∥AC，
∵D为BC中点，
∴DB：BC＝1：2，
∴BE：AB＝1：2，
∴E为AB中点，
即BE＝AE，
∵CF＝AE，
∴CF＝BE，
∴CF＝FB＝BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．
（2）当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形．
证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，
∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ECA，
∵EF垂直平分AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，
∴∠FAC＝∠ACF，∠ACE＝∠EAC
∴∠EAC＝∠ACF，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AF＝CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）若四边形AECF为正方形，
∴AE＝EC，∠AEC＝∠AEB＝90°，ACAE，
∵AB2＝BE2+AE2，
∴25＝（7﹣AE）2+AE2，
∴AE＝3或4，
∴AC＝3或4，
故答案为：3或4．
26．（1）证明：∵点O是AC中点，
∴AO＝OC，
∵AE∥BC，
∴∠AEO＝∠ODC，∠EAO＝∠OCD，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴OE＝OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）①∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC＝16，AB＝17，
∴BD＝CD＝8，AB＝AC＝17，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：AD15，
∴四边形ADCE的面积是AD×DC＝15×8＝120．
②当AB＝10，BC＝10时，四边形ADCE是正方形，理由如下：
∵AB＝AC＝10，BC＝10，
∴ADDC，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCE是正方形；
故答案为：120；10．
三．正方形的判定与性质
27．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中，，
∴△AGD≌△ABE（AAS），
∴AB＝AG；
（3）∵矩形ABCD，
∴∠BAF＝∠ABE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，
∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，
∴四边形ABEF是正方形；
∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，
∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∴AD，∠DAG＝∠ADG＝45°，
∴DF1，
∵EF⊥AD，
∴∠FDO＝∠FOD＝45°，
∴DF＝FO1，
∴DODF＝2．
28．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CEAB48，
∴CE+CG＝8是定值．
29．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB
∴DF2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥DF，
∴DH＝HF，
∴EHDF，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM，
∴HM＝HF﹣FM，
在Rt△EHM中，EM．
30．（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF＝90°，
∴∠BAF＝∠EAD，
在△ADE和△ABF中
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF＝DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB＝BC，
∴BE⊥AC，BE＝AEAC，
∵AF＝AE，
∴BE＝AF＝AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE＝∠BEC＝90°，
∴BE∥AF，
∵BE＝AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE＝90°，AF＝AE，
∴四边形AFBE是正方形．
31．证明：（1）连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠CGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG＝∠FGE，
∴∠HEA＝∠CGF；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠A＝90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG＝HE，
在Rt△HAE和Rt△GDH中，
，
∴Rt△HAE≌Rt△GDH（HL），
∴∠AHE＝∠DGH，又∠DHG+∠DGH＝90°，
∴∠DHG+∠AHE＝90°，
∴∠GHE＝90°，
∴菱形EFGH为正方形；
32．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴四边形MANP是矩形，
∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM＝PN，
∴四边形MANP是正方形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∵∠EPB＝90°，
∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，
∴∠MPE＝∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
∵，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM＝BN．