北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定知识点分类练习题（word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
知识点分类练习题（附答案）
一．菱形的性质
1．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F．若菱形ABCD的周长为24，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．若菱形ABCD的周长是12，∠BCD＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（　　）
A．4 B．2 C．3 D．4
3．如图，菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成六部分，若菱形其中一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（　　）
A．2 B．4 C．12 D．24
4．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝3，DE⊥BC于点E，则DE的长为（　　）
A． B． C．5 D．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝6，菱形ABCD的面积为60，则OE的长为（　　）
A． B． C．5 D．6
7．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
8．菱形ABCD的周长为32cm，则菱形ABCD的面积的最大值为（　　）
A．16cm2 B．32cm2 C．64cm2 D．128cm2
9．如图，在菱形ABCD中，BD＝8，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线DE的长为（　　）
A． B． C． D．
10．菱形的周长为24cm，两个相邻的内角度数之比为1：2，则较短的对角线长度是（　　）
A．6cm B．5cm C．cm D．12cm
11．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　　）
A．AC＝BD
B．△ABD和△ABC的周长相等
C．菱形ABCD的周长等于两条对角线之和的两倍
D．菱形ABCD的面积等于两条对角线之积的一半
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，OH的长为3，则S菱形ABCD＝（　　）
A．12 B．24 C．36 D．48
14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为（　　）
A．10 B．5 C．1010 D．10﹣5
15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（　　）
A． B．3 C． D．
16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，CE∥BD，则△BDE的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
17．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①∠DBC＝60°：②△AED≌△DFB；③GC与BD一定不垂直；④∠BGE的大小为定值．其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
18．如图，已知菱形ABCD，AC是对角线，点E是AB的中点，过点E作对角线AC的垂线，垂足是点M，与边AD交于点F，联结DM．若∠BAD＝120°，AB＝8，则DM＝　 　．
19．已知菱形有一个内角为60°，较短的一条对角线长为8，那么菱形的边长为 　 　．
20．如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 　 　cm2．
21．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝　 　．
22．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC＝120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝4，则△BEF面积的最小值为 　 　．
23．在菱形ABCD中，P在对角线BD上，PE⊥BC，垂足为E，PE＝4，则点P到AB的距离为 　 　．
24．如图，菱形ABCD的周长是16，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°．
（1）求对角线AC，BD的长；
（2）求菱形ABCD的面积．
25．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若∠ADC＝150°，∠CDF＝50°，求∠BED的度数．
26．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF，连接EF，交对角线于点G．
求证：（1）∠BAE＝∠DAF；
（2）AC⊥EF．
27．如图，菱形ABCD的边长为6，∠DAB＝60°，点F是AD上的动点，E是CD上的动点，满足AF+CE＝6，求证：不论点E、F怎样移动，△BEF总是等边三角形．
28．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H．
（1）求菱形ABCD的周长？
（2）求DH的长？
29．在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到DG，连接EC，AG．
（1）如图①，当点E在菱形ABCD内部时，判断AG与EC的数量关系，并写出证明；
（2）如图②，当点B、D、G在同一条直线上时，若AD＝3，，求CE的长．
30．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两
点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度
为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值．
二．菱形的判定
31．张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（　　）
A． B．
C． D．
32．证明：对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
已知：如图，在 ABCD中，　 　．
求证： ABCD是菱形．
证明：
33．如图， ABCD中，∠ADB＝2∠ABD，分别延长DA、BC至点E、F，使得AE＝CF，连结BE、DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连结BD，AB是∠DBE的平分线，求证：四边形BFDE是菱形．
34．如图，在等边△ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）填空：
①当t为　 　s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是平行四边形；
②当t为　 　s时，四边形ACFE是菱形．
三．菱形的判定与性质
35．如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为α＝30°，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 　 　．
36．如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO＝OC，OB＝OD且∠1＝∠2．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）E为AO上一点，连接BE，若AE＝4，AB＝6，EB＝2，求AO的长．
37．如图，在△ABC中，BD是∠B的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BFDE为菱形；
（2）若∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求线段EF的长．
38．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CDBC．分别以B、D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧交于点M．画射线AM交BC于E，连接DE．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝1时，求BD的长．
39．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且DE＝DF．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）若AD＝BC＝6，AE＝BE，求菱形BECF的面积．
40．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度向点D运动．
（1）若点E、F同时运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当AB为何值时， AECF是菱形；
（3）求（2）中菱形AECF的面积．
参考答
一．菱形的性质
1．解：延长EP交AD于点G，如图所示：
在菱形ABCD中，AD∥BC，∠DAC＝∠BAC，
∵PE⊥AB，
∴PE⊥AD，
∴∠AGP＝90°，
∵PF⊥AB，
∴∠AFP＝90°，
∴∠AFP＝∠AGP，
又∵∠FAP＝∠GAP，AP＝AP，
∴△FAP≌△GAP（AAS），
∴GP＝FP，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴BC＝6，
∵菱形ABCD面积为24，
∴EG＝24÷6＝4，
∴PE+PF＝GE＝4，
故选：B．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，BD是对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴CB＝BD＝CD，
∵菱形ABCD的周长是12，
∴CB＝3，
∴BD＝3，
故选：C．
3．解：连接AC、BD，如图所示：
∵菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，BD＝4，
∴AB＝5，OB＝ODBD＝2，OA＝OC，AC⊥BD，
∴OA，
∴AC＝2OA＝2，
∴菱形ABCD的面积AC×BD24＝4，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积菱形ABCD的面积＝2；
故选：A．
4．解：AC，BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC＝OA＝2，OD＝OB＝1.5，
在Rt△BOC中，BC，
∵，
∴，
∴DE，
故选：B．
5．解：如图，连接AB'，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝16，
∴AC⊥BD，AO＝OCAC＝2，OB＝ODBD＝8，
∴∠AOB＝90°，
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，
∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝∠AOB＝90°，
∴AO'＝AC+O'C＝6，
∴AB'10，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC，
∴BD＝12，
∵S菱形ABCDAC×BD＝60，
∴AC＝10，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴OEAC＝5，
故选：C．
7．解：在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，如图：
∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，BO＝3，AO＝4．
∴AB＝5．
∴周长＝4×5＝20．
故选：D．
8．解：∵菱形ABCD的周长为32cm，
∴菱形ABCD的边长是8cm，
设AO＝xcm，
由勾股定理可得BO（cm），
∴菱形ABCD的面积x×42，
当x2﹣32＝0时，菱形ABCD的面积的最大值是64cm2．
故选：C．
9．解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC＝3，BO＝DO＝4，AC⊥BD，
∴AB5，
∵S菱形ABCD＝AB DEAC BD，
∴DE，
故选B．
10．解：∵菱形的周长为24，
∴菱形的边长为6，
∵两邻角之比为1：2，
∴较小角为60°，
画出图形如图所示：
∴∠ABO＝30°，AB＝6，
∵最短边为AC，AOAB＝3，
∴AC＝2AO＝6．
故选：A．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BC，
∵△ABD的周长＝AB+BD+DA，△ABC的周长＝AB+BC+AC，菱形ABCD的周长＝4AB，
∴选项A、B、C不正确；
∵菱形ABCD的面积AC BD，
∴选项D正确；
故选：D．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝2，
∴BD＝4，
∵OA＝4，
∴AC＝8，
∴菱形ABCD的面积AC BD16．
故选：B．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，
∵OA＝4，OH＝3，
∴AC＝2OA＝8，BD＝2OH＝6，
∴S菱形ABCDAC BD8×6＝24，
故选：B．
14．解：连接BD，在菱形ABCD中，
∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA＝10；
②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为1010；
③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PA的最小值为（1010）（cm）；
故选：C．
15．解：如图，连接AP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BO＝DO，
∵S菱形ABCD＝24AC×BD，
∴BD＝6，
∴BO＝3，
∴AB5，
∵S△ABDS菱形ABCD＝S△ABP+S△ADP，
∴125×EP5×PF，
∴PE+PF，
故选D．
16．解：过点C作CF⊥BD于点F，
，
∵CE∥BD，
∴点E到BD的距离等于点C到BD的距离，
∴△BDE边BD的高＝CF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BC＝CD＝2，∠DBC，2BF＝BD，
∴CF，BF，
∴BD＝2，
∴△BDE的面积，
故选：D．
17．解：∵ABCD为菱形，
∴AB＝AD，
∵AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°＝∠DBC，
又∵AE＝DF，AD＝BD，
∴△AED≌△DFB，故①、②正确；
当点E，F分别是AB，AD中点时，
由①知，△ABD，△BDC为等边三角形，
∵点E，F分别是AB，AD中点，
∴∠BDE＝∠DBG＝30°，
∴DG＝BG，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG＝∠BCG，
∴CH⊥BD，
即CG⊥BD，故③错误；
∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，为定值，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：B．
18．解：过M作MN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，
∴∠DAC＝∠BAC∠BAD120°＝60°，
∵EF⊥AC，
∴AE＝AF＝4，∠AFM＝30°，
∴AM＝2，
Rt△AMN中，∠AMN＝30°，
∴AN＝1，MN，
∵AD＝AB＝2AE＝8，
∴DN＝8﹣1＝7，
由勾股定理得：DM，
故答案为：2．
19．解：由题意得，∠ABC＝60°，AC＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，BO＝OD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝8，
故答案为：8．
20．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝2cm，
∴BO＝1cm，
∵ABcm，
∴AO2（cm），
∴AC＝2AO＝4cm．
∴S菱形ABCD（cm2）．
故答案为：4．
21．解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CDF，
∵FE垂直平分AB，∠BAF100°＝50°，
∴∠ABF＝∠BAF＝50°，
∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°，
∴∠CDF＝30°．
故答案为：30°．
22．解：连接BD，
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°；
∴△ABD与△BCD为正三角形，
∴∠FDB＝∠EAB＝60°，
∵AE+CF＝4，DF+CF＝4，
∴AE＝DF，
∵AB＝BD，
∴△BDF≌△BAE（SAS），
∴BE＝BF，
∠ABE＝∠DBF，
∴∠EBF＝∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴当BE⊥AD时，△BEF的面积最小，此时BE＝2，
∴边BE上的高为23，
∴△BEF面积的最小值＝3．
故答案为：3．
23．解：如图，过P作PF⊥AB于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ABC，
∵PE⊥BC，PF⊥AB，PE＝4，
∴PF＝PE＝4，
即点P到AB的距离为4，
故答案为：4．
24．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，周长是16，
∴AB＝AD＝16÷4＝4，OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，
∴OBBD＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2，
∴AC＝2OA＝4，
即对角线AC的长为4，BD的长为4；
（2）S菱形ABCDAC BD44＝8．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB，AD＝DC，
∵BE＝BF，
∴AB﹣BE＝CB﹣BF，
即AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF＝50°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∴∠A＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BED＝∠A+∠ADE＝30°+50°＝80°．
26．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD．
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE＝∠DAF．
（2）在菱形ABCD中，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，∠B＝∠D，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAC﹣∠DAF，
即∠EAC＝∠FAC，
在△ABE和△ADF中，
，
∵△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∴AC⊥EF（三线合一）．
27．证明：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝DB，
又∵AF+CE＝6，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DBE中，
，
∴△ABF≌△DBE（SAS），
∴BE＝BF，∠ABF＝∠DBE，
∴∠EBF＝∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
28．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OCAC＝8，OB＝ODBD＝6，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB10，
∴菱形ABCD的周长为：10×4＝40；
（2）∵S菱形ABCD AC BD，
S菱形ABCD＝DH AB，
∴DH 1012×16，
∴DH．
29．解：（1）AG＝CE，理由如下：
由题意可得∠GDE＝60°，GD＝DE，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE；
（2）过点G作GH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
∴，
∴∠GDH＝∠ADB＝30°，
在Rt△DHG中，，
∴，DH＝DG cos30°＝3，
∴AH＝AD+DH＝6，
在Rt△AHG中，，
由（1）知，．
30．解：连接BD，
∵在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，
∴AD＝AB，∠A＝60°，∠ADB∠ADC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD，
∵若△DEF是等边三角形，则∠DEF＝60°，DE＝DF，
∴∠ADE＝∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴AE＝BF，
∴当AE＝BF时，△DEF是等边三角形，
∵E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，
∴AE＝tcm，CF＝2tcm，
则BF＝BC﹣CF＝4﹣2t（cm），
∴t＝4﹣2t，
解得：t．
二．菱形的判定
31．解：A、四条边相等的四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；
B、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，能判定菱形，不符合题意；
C、不能判定四边形是平行四边形，故不能判定形状，符合题意；
D、两组对边平行，能判定平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，则能判定菱形，不符合题意．
故选：C．
32．解：已知：如图，在 ABCD中，BD平分∠ABC，BD平分∠ADC，
求证： ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵BD平分∠ABC，BD平分∠ADC，
∴∠ABD∠ABC，∠ADB∠ADC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形，
故答案为：BD平分∠ABC，BD平分∠ADC．
33．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝CF，
∴ED＝BF，
又∵ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝DF，∠E＝∠F，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：∵AB是∠DBE的平分线，∠ADB＝2∠ABD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED，
由（1）知：四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．
34．（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD，
∵在△ADE和△CDF中，，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；
（2）解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝8﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝8﹣2t，
解得：t；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣8（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣8，
解得：t＝8；
综上可得：当t或8s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
②若四边形ACFE是菱形，则有CF＝AC＝AE＝8，
则此时的时间t＝8÷1＝8（s）；
故答案是：或8；8．
三．菱形的判定与性质
35．解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
则AE＝AF＝1，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝CD×AF，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵∠ADC＝α＝30°，∠AFD＝90°，
∴CD＝AD＝2AF＝2，
∴菱形ABCD的面积＝CD×AF＝2×1＝2，
故答案为：2．
36．（1）证明：∵AO＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2＝AB2﹣AO2＝BE2﹣OE2，
设OE＝x，
∵AE＝4，AB＝6，EB＝2，AO＝4+x，
∴62﹣（4+x）2＝（2）2﹣x2，
解得：x＝1，
∴AO＝AE+OE＝4+1＝5．
37．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）解：如图连接EF，交BD于O，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝30°．
由（1）知，平行四边形BFDE是菱形，
则EF⊥BD，BO＝OD＝6，
∴，
即：BE＝2EO，
由勾股定理得到：BE2＝62+EO2，即4EO2＝62+EO2，
解得：，
∴．
38．证明：（1）连接BD，
根据题意得出AM为BD的线段垂直平分线，
即BD⊥AE，
∵AD∥BC，AB＝AD＝CDBC，
∴∠ADB＝∠DBE，∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠DBE，
∵BD⊥AE，
∴AB＝BE，
∴AD＝AB＝BE＝DE，
∴四边形ABED为菱形；
方法二：设AE与BD的交点为O，
∴AM为BD的线段垂直平分线，
∴BO＝DO，
由平行可得∠DAO＝∠BEO，
∵∠AOD＝∠EOB，
∴△AOD≌△EOB（AAS），
∴AO＝EO，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AE⊥BD，
∴平行四边形ABED是菱形；
（2）∵AB＝AD＝CDBC，BE＝AD，
∴E是BC的中点，
∵DE＝BE＝CE＝CD＝1，
∴△BDC是直角三角形，
∵2DC＝BC，
∴△BDC是含30°的直角三角形，
∴BDCD．
39．（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵DE＝DF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：设DE＝x，则AE＝BE＝AD﹣DE＝6﹣x，
∵BD＝CDBC＝3，
∴BD2+DE2＝BE2，
∴32+x2＝（6﹣x）2，
∴x，
∴EF＝2DE，
∴菱形BECF的面积BC EF6．
40．解：（1）若四边形AECF为平行四边形，
∴AO＝OC，EO＝OF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝OD＝6cm，
∴EO＝6﹣t，OF＝2t，
∴6﹣t＝2t，
∴t＝2s，
∴当t为2秒时，四边形AECF是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AO2+BO2＝AB2，
∴AB3；
∴当AB为3时， AECF是菱形；
（3）∵四边形AECF是菱形，
∴BO⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
∴BE＝DF，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2，
∴BE＝DF＝2，
∴EF＝8，
∴菱形AECF的面积AC EF6×8＝24．