2022-2023学年北师大版（2019）高中数学必修第一册第二章章末检测A(含解析）

一、单选题
1．函数的图象大致是（ ）．
A． B． C． D．
2．函数的一段大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
4．已知为定义在上的奇函数，，，则（ ）
A． B．0 C．4 D．5
5．已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．f（4）＝0 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．f（x＋8）＝f(x) D．若f（－3）＝－1，则f（2021）＝－1
6．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域是，值域为，则值域也为的函数是
A． B． C． D．
8．已知集合，，为集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况有（ ）种.
A．2 B．3 C．6 D．7
二、多选题
9．下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是（ ）
A．f(x)=|x| B．f(x)=x-|x|
C．f(x)=x+1 D．f(x)=-x
10．下列说法中正确为（ ）
A．已知函数，若，有成立，则实数a的值为4
B．若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为
C．设集合，则“”是“”的充分不必要条件
D．函数与函数是同一个函数
11．把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，则有成立.下列说法错误的是（ ）
A．若为“函数”，则
B．若为“函数”，则一定是增函数
C．函数在上是“函数”
D．函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数）
12．下列选项不正确的是（ ）
A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是
B．函数在定义域内是减函数
C．所有的周期函数一定有最小正周期
D．函数和函数有相同的定义域与值域
三、填空题
13．，=_______________.
14．在函数①；②；③；④；⑤；⑥中定义域与值域相等的有_________个.
15．函数的图象如图所示，图中曲线l与直线m无限接近，但永不相交，则.
①值域为 ______ ；
②单调区间为 ______ ；
③______ 时，只有唯一的x与之对应.
16．已知函数，图数，若存在，使成立，则实数a的取值范围是________
四、解答题
17．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，求：
（1）与的值；
（2）的值；
（3）的值.
19．已知函数.
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）求在上的值域.
20．已知函数在上的最大值与最小值之和为20,记.
(1)求的值.
(2)证明:.
(3)求的值.
21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P=3-6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q=a+2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司的总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大
22．已知函数，且.
（1）证明函数是奇函数；
（2）证明函数在上是增函数；
（3）求函数在上的最大值和最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由函数为偶函数，可排除B,D选项，又恒成立，可排除C选项，得出答案.
【详解】由，所以函数为偶函数，图像关于y轴对称，可排除B,D选项，
又恒成立，可排除C选项
故选：A
2．A
【分析】根据函数奇偶性，可排除选项C，代入特殊值，可排除选项B、D，即可得答案.
【详解】因为，则，
所以为奇函数，故排除选项C；
当时，，故可排除选项B、D，
故选：A
【点睛】本题考查已知函数解析式判断图像问题，考查函数奇偶性的应用，属基础题
3．A
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
4．A
【分析】由，得到函数是周期为的函数，化简，即可求解.
【详解】由题意，函数满足，可得，
所以函数是周期为的函数，
又由函数为定义在上的奇函数，且，
所以.
故选：A.
5．B
【分析】根据奇函数性质，令，即可判断A的正误；根据函数的对称性，可判断B的正误；根据奇函数及对称性，整理可判错C的正误；根据函数周期性，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为f(x)是定义域在R上的奇函数，
所以，又，
令代入可得，故A正确；
对于B：因为，
所以图象关于对称，无法确定是否关于直线x＝1对称，故B错误；
对于C：因为为奇函数，
所以，
所以，则，故C正确；
对于D：由C选项可得，的周期为8，
所以，故D正确；
故选：B
6．D
【分析】由题先求出的分段函数表达式，分析图象变化规律，确定范围，代入给定区间表达式即可求出.
【详解】当时，，又，故当时，，，即，令，
则，同理，当时，，
令，则，整理得，
当时，，画出大致图象，函数类似于周期函数，每向右移一个单位，函数最小值变为上一个最小值2倍，由图可知，要使对任意，都有，
，令，解得或（舍去），故m的最大值是.
故选：D
7．B
【分析】已知的定义域和值域，然后可根据各选项所给函数的特点分别分析函数的值域；这里的选项所给的均是常见的平移、伸缩、对称、翻折变换，可从这几个方面入手.
【详解】的定义域为，值域为，即；
∴A．，即的值域为，∴该选项错误；
B．，即的值域为，∴该选项正确；
C．，即的值域为，∴该选项错误；
D．，即的值域为，∴该选项错误．故选B．
【点睛】函数图象常见的四种变换：平移、伸缩、对称、翻折.
平移：；
伸缩：或者；
对称：（关于轴对称）或者（关于轴对称）；
翻折：（将轴下方图象翻折到上方）或者（将轴右边图象翻折到左边）.
8．C
【分析】函数的值域C是集合B的一个子集,分析可知B的非空子集共有7个,除去有3个元素不能作为值域,则值域C的不同情况有6种.
【详解】由函数的定义可知,函数的值域C是集合B的一个子集.
,非空子集共有个；
而定义域A中至多有2个元素,所以值域C中也至多有2个元素；
所以集合B的子集不能作为值域C,值域C的不同情况只能有6种.
故选：C.
【点睛】本题考查了集合的子集个数和函数的定义,若函数的定义域和值域里的元素个数为有限个,则值域的元素个数不会超过定义域里的元素个数.本题属于中等题.
9．ABD
【解析】根据题意满足f(2x)=2f(x)，依次验证即可.
【详解】在A中，f(2x)=|2x|=2|x|，2f(x)=2|x|，满足f(2x)=2f(x)；
在B中，f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x)，满足f(2x)=2f(x)；
在C中，f(2x)=2x+1，2f(x)=2(x+1)=2x+2，不满足f(2x)=2f(x)；
在D中，f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x)，满足f(2x)=2f(x).
故选：ABD.
【点睛】本题考查函数的表示法，属于基础题.
10．AC
【分析】根据函数的对称性，可求得a值，即可判断A的正误；分别讨论和两种情况，结合二次型函数的性质，可判断B的正误；根据集合的包含关系及充分、必要条件的概念，可判断C的正误；根据同一函数的定义，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，
又二次函数的对称轴为，
所以，解得，故A正确；
对于B：当时，可得成立，满足题意，
当时，可得，解得，
综上k的取值范围为，故B错误；
对于C：当时，，所以，充分性成立，
若，则或，解得或，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：函数定义域为R，函数的定义域为，
定义域不同，故不是同一函数，故D错误，
故选：AC
11．BC
【分析】对于A，由条件（1）得.由条件（2），得，所以，故A说法正确；对于B，举反例说明B说法错误；对于C，举反例说明C说法错误；对于D，说明函数符合条件（1）（2），故D说法正确.
【详解】对于A，若函数为“函数”，则由条件（1）得.由条件（2），得当时，，所以，故A说法正确；
对于B，若，，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法错误；
对于C，当，时，，，，，不满足条件（2），所以不是“函数”，故C说法错误；
对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设x的整数部分是m，小数部分是n，即，则.设y的整数部分是a，小数部分是b，即，则.当时，，当时，，所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“函数”，故D说法正确.
故选：BC.
12．ABC
【解析】A. 既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是，但定义域不一定是；
B.不是整个定义域上的减函数，两个区间必须分开写；
C.狄利克雷函数函数是周期函数，没有最小正周期；
D.求两个函数定义域和值域即可.
【详解】A. 既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是，但定义域不一定是，也可以是这种.
B. 函数在和上为减函数
C.狄利克雷函数是周期函数，但是没有最小正周期.
D. 的定义域为，值域为
定义域为，值域为
故选：ABC
13．9
【分析】根据分段函数的解析式求出，即可求出，最后求出.
【详解】，
，
，
.
故答案为：9
【点睛】本题主要考查了分段函数值的求解，属于基础题.
14．3
【分析】根据幂函数的函数性质，写出各个幂函数的定义域和值域，即可求解.
【详解】①的定义域为，值域为.
②的定义域为，值域为.
③的定义域为，值域为.
④的定义域为，值域为.
⑤的定义域为，值域为.
⑥的定义域为，值域为.
故定义域与值域相等的有①, ②和⑤
故答案为：3
【点睛】本题考查幂函数的函数性质，属于基础题.
15． .
【分析】直接利用函数的图象，进一步求出函数的值域和单调区间，以及函数的性质，得到答案.
【详解】由题意，根据①根据函数的图象，函数的值域为，
即函数的值域为.
②结合函数的图象，可得函数在区间单调递增，在区间单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
③当时，只有唯一的x与之对应.
故答案为：①；②；③.
【点睛】本题主要考查了函数的图象和性质的应用，着重考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.
16．
【分析】分析当时的单调性并求出值域为A，分析当时的值域进而求出的值域为B，由题意知，列出不等式即可求出a的取值范围.
【详解】，当时，为减函数，
所以当时，函数的值域为，
当时，，，则的值域为，
因为存在，使成立，
所以，
若，则或，即或，
所以若且，则
故答案为：
【点睛】本题考查函数的单调性与值域，集合交集运算的概念，涉及分离常数法判断函数的单调性，正弦函数的单调性与值域，属于中档题.
17．（1）图像见解析，定义域为R，值域为R；
（2）图像见解析，定义域为，值域为；
（3）图像见解析，定义域为R，值域为R；
（4）图像见解析，定义域为R，值域为
【解析】根据正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的性质求解定义域、值域，画图象的方法直接画图即可.
【详解】解：（1）定义域为R，值域为R，函数图象如图（1）所示；
（2）定义域为，值域为，函数图象如图（2）所示；
（3）定义域为R，值域为R，函数图象如图（3）所示；
（4）定义域为R，值域为，函数图象如图（4）所示.

【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义域、值域、图象，属于基础题.
18．（1），；（2）；（3）.
【分析】（1）直接根据函数的解析式和函数的关系式，即可求得与的值；
（2）根据关系式和函数的奇偶性，即可求得的值；
（3）利用函数的奇偶性和关系式，求得函数是以4为周期的函数，进而求得的值
【详解】（1）当时，，所以，
因为，都有，所以.
（2）因为函数为偶函数，且，当时，，
所以.
（3）依题意，当时，都有，
可得当时，，
即时，函数是以4为周期的函数.
所以，
又由，，
故.
【点睛】本题主要考查了函数值的计算，以及抽象函数性质的应用，其中解答中结合函数的奇偶性和周期进行转化求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
19．（1）为非奇非偶函数；证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据函数的定义域，即可得出结论；
（2）分离常数，判断函数的单调性，或利用不等式的性质，即可求解.
【详解】（1）由，得，
所以的定义域为，不关于原点对称，
则为非奇非偶函数.
（2），
方法一：时，为单调减函数，
所以时，，
时，，
即的值域为.
方法二：因为，所以，
从而可得，，
即的值域为.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的值域，判断函数奇偶性要注意定义域，分离常数是解题的关键，属于基础题.
20．（1）；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）根据函数单调性可知最值在区间端点处取得，由此可构造方程求得；
（2）由（1）可得函数解析式，从而求得，整理可得结论；
（3）采用倒序相加的方式，根据（2）中结论即可求得结果.
【详解】（1）为单调增函数 ，解得：
（2）由（1）知：
（3）令
则
两式相加，由（2）可得：
即
【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用函数单调性求解参数值、函数解析式的性质、函数值的求解等知识；关键是能够通过函数的单调性确定最值点的位置，进而构造方程得到函数解析式.
21．（1）43.5(万元)；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元.
【解析】（1）直接代入收益公式进行计算即可.
（2）由收益公式写出f(x)=-x+3+26，令t=，将函数转为关于t的二次函数求最值即可.
【详解】（1）当x=50时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元，所以公司的总收益为
3-6+×70+2=43.5(万元).
（2）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资(120-x)万元，所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26，
依题意得解得40≤x≤80.
故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).
令t=，则t∈[2，4]，
所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.
当t=6，即x=72万元时，y的最大值为44万元，所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.
【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数最值的求解，属于基础题.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）最大值为，最小值为..
【分析】（1）根据奇函数的定义，求，使即可；
（2）根据求出，从而求出，利用单调性的定义，即可证得结论；
（3）根据在上的单调性求在上的最值即可.
【详解】（1）由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由，所以函数是定义域上的奇函数.
（2）因为，可得，解得，所以，
任取，
则，
因为，所以，可得，即且，
所以，所以在上是增函数.
（3）由（2）知，在上是增函数，
所以的最大值为，最小值为.
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与证明，函数的单调性的判定与证明，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义是解答的关键，注重考查推理与运算能力，属于基础题.
答案第1页，共2页
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