2022-2023学年北师大版（2019）高中数学必修第一册第二章章末检测B(含解析）

一、单选题
1．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的一段大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．设偶函数 在区间 上单调递增， 则（ ）
A． B．
C． D．
4．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．f（4）＝0 B．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
C．f（x＋8）＝f(x) D．若f（－3）＝－1，则f（2021）＝－1
6．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数().设关于x的不等式的解集为集合A.若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列函数中，满足f(2x)=2f(x)的是（ ）
A．f(x)=|x| B．f(x)=x-|x|
C．f(x)=x+1 D．f(x)=-x
10．(多选)华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：(c1　c2)＝(a1　a2)×，其中c1＝a1b11＋a2b21，c2＝a1b12＋a2b22.已知定义在R上不恒为0的函数f(x)，对任意a，b∈R有：(y1　y2)＝(f(a)　f(b))×且满足f(ab)＝y1＋y2，则（　　 ）
A．f(0)＝0 B．f(－1)＝1
C．f(x)是偶函数 D．f(x)是奇函数
11．下列选项不正确的是（ ）
A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是
B．函数在定义域内是减函数
C．所有的周期函数一定有最小正周期
D．函数和函数有相同的定义域与值域
12．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ）
A．对任意，都有
B．对任意，都存在，
C．若，，则有
D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形
三、填空题
13．已知，函数若，则___________.
14．已知函数的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数的说法：
①；
②；
③；
④，不等式的解集为.
其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号)
15．、若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
16．定义在上函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；
②的图象关于对称；
③在上是增函数；
④．
其中正确命题的序号是______．
四、解答题
17．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．已知函数(为常数).
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在恒成立，求的取值范围．
19．已知定义域在上的函数满足对于任意的，都有，当且仅当时，成立.
（1）设，求证；
（2）设，若，试比较x1与x2的大小；
（3）若，解关于x的不等式.
20．已知函数f(x)是上的奇函数，当x>0时，.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）证明函数f(x)在区间上是单调增函数．
21．设a＞0，f（x）=+（e为常数，e=2.71828…）在R上满足f（x）=f（-x）．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值．
22．已知，函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】利用奇偶函数定义可知为奇函数，且函数符号 即可知正确选项；
【详解】因为，所以为奇函数，
当时，，，，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性以及区间函数值符号确定函数图象；
2．A
【分析】根据函数奇偶性，可排除选项C，代入特殊值，可排除选项B、D，即可得答案.
【详解】因为，则，
所以为奇函数，故排除选项C；
当时，，故可排除选项B、D，
故选：A
【点睛】本题考查已知函数解析式判断图像问题，考查函数奇偶性的应用，属基础题
3．B
【分析】根据函数奇偶性，将转化为，再利用函数单调性即可比较大小.
【详解】根据题意为偶函数，则，
又由函数 在区间 上单调递增，且,
所以，
所以，
故选：B．
4．C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
5．B
【分析】根据奇函数性质，令，即可判断A的正误；根据函数的对称性，可判断B的正误；根据奇函数及对称性，整理可判错C的正误；根据函数周期性，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为f(x)是定义域在R上的奇函数，
所以，又，
令代入可得，故A正确；
对于B：因为，
所以图象关于对称，无法确定是否关于直线x＝1对称，故B错误；
对于C：因为为奇函数，
所以，
所以，则，故C正确；
对于D：由C选项可得，的周期为8，
所以，故D正确；
故选：B
6．C
【分析】由题设条件，求得，得到函数是周期为4的周期函数，进而得到，代入即可求解.
【详解】由题意，函数是定义在上的奇函数，且，
可得，所以，
所以函数是周期为4的周期函数，
又由当时，，
则.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
7．C
【分析】把函数有三个零点，可得方程有三个根，进而转化为函数和的图象有三个不同的交点，结合函数的图象、斜率公式和判别式，即可求解.
【详解】由题意，函数有三个零点，即方程有三个根，
函数过定点，
作出函数和的图象，如图所示，
当直线过点和时，此时，
当直线与相切时，
联立方程组，可得，
由，解得，
结合图象可知，若函数和的图象有3个交点，
则实数的取值范围是.
故选：C.

【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，其中解答中把函数的零点转化为两个函数的图象的交点的个数，结合图象求解是解答的关键，意在考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档试题.
8．B
【解析】由题意可得，在上，函数y＝f（x+2a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方．当a＝0或a＜0时，检验不满足条件．当a＞0时，应有f（a）f（），化简可得 a2+a﹣10，由此求得a的范围．
【详解】由于f（x），
关于x的不等式的解集为集合A.若，
则在上，函数y＝f（x+2a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方．
当a＝0时，显然不满足条件．
当a＜0时，函数y＝f（x+2a）的图象是把函数y＝f（x）的图象向右平移2a个单位得到的，函数y＝f（x+2a）的图象在函数y＝f（x）的图象的下方．
当a＞0时，如下图所示，要使在上，函数y＝f（x+2a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方，只要f（a）f（）即可，
即a（a）22（a）a，
化简可得a2+a﹣10，解得 a，
故此时a的范围为（0，．
综上可得，a的范围为（0，，
故选：B．
【点睛】本题关键是转化为在上，函数y＝f（x+2a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方．
9．ABD
【解析】根据题意满足f(2x)=2f(x)，依次验证即可.
【详解】在A中，f(2x)=|2x|=2|x|，2f(x)=2|x|，满足f(2x)=2f(x)；
在B中，f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x)，满足f(2x)=2f(x)；
在C中，f(2x)=2x+1，2f(x)=2(x+1)=2x+2，不满足f(2x)=2f(x)；
在D中，f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x)，满足f(2x)=2f(x).
故选：ABD.
【点睛】本题考查函数的表示法，属于基础题.
10．AD
【分析】根据定义得到，再对，分别赋值即可判断结论．
【详解】解：因为，
所以；
且；
；
令可得：，故A成立；
令可得：，
令可得： ，故B不成立，
令可得：，故C不成立，D成立，
故选：AD．
11．ABC
【解析】A. 既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是，但定义域不一定是；
B.不是整个定义域上的减函数，两个区间必须分开写；
C.狄利克雷函数函数是周期函数，没有最小正周期；
D.求两个函数定义域和值域即可.
【详解】A. 既是奇函数又是偶函数的函数解析式一定是，但定义域不一定是，也可以是这种.
B. 函数在和上为减函数
C.狄利克雷函数是周期函数，但是没有最小正周期.
D. 的定义域为，值域为
定义域为，值域为
故选：ABC
12．BC
【解析】根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．
【详解】解：对于A选项，当，则，此时，故A选项错误；
对于B选项，当任意时，存在，则，故；当任意时，存在，则，故，故对任意，都存在，成立，故B选项正确；
对于C选项，根据题意得函数的值域为，当，时，，故C选项正确；
对于D选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：
①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D错误．
故选：BC.
【点睛】本题考查函数的新定义问题，考查数学推理与运算等核心素养，是难题.本题D 选项解题的关键是根据题意分直角顶点在上，斜边在轴上；直角顶点在上，斜边不在轴上；直角顶点在轴上，斜边在上；直角顶点在轴上，斜边不在上四种情况讨论求解.
13．2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
14．①③
【解析】根据图象，可求得的值，即可判断①的正误；根据图中数据及在上的单调性，可判断②的正误；分别讨论和两种情况，求得解析式，检验即可判断③的正误；根据不等式解集，即求的根，根据解析式，即可判断④的正误，即可得答案.
【详解】对于①：由图象可得：，所以，故①正确；
对于②：，且在上为单调递增函数，所以，
所以，故②错误；
对于③：当时，，，满足图象；
当时，，，斜率，满足图象，故③正确；
对于④：由题意得的解集为，即的根为，
根据解析式可得，当时，令，解得，所以解集为，故④错误.
故答案为：①③
15．.
【详解】试题分析：函数，在上单调递减，得，解得.
考点：函数的性质.
16．①②④
【分析】令替换即可得出的周期为4；计算，再令得出为奇函数，用替换可得的对称轴；根据奇函数的对称性和对称轴得出在的单调性；根据和，即可得出.
【详解】由，可得，
所以函数的周期为4，所以①正确；
由，可得，解得，
在令，可得，所以，
即，所以函数为奇函数，
所以，即，
所以的图象关于对称，所以②正确；
因为在上是增函数，
又由，所以函数关于直线对称，
所以函数在为减函数，所以③错误；
由，可知，
因为，所以，所以④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性的综合应用及判定，属于中档试题.
17．（1）图像见解析，定义域为R，值域为R；
（2）图像见解析，定义域为，值域为；
（3）图像见解析，定义域为R，值域为R；
（4）图像见解析，定义域为R，值域为
【解析】根据正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的性质求解定义域、值域，画图象的方法直接画图即可.
【详解】解：（1）定义域为R，值域为R，函数图象如图（1）所示；
（2）定义域为，值域为，函数图象如图（2）所示；
（3）定义域为R，值域为R，函数图象如图（3）所示；
（4）定义域为R，值域为，函数图象如图（4）所示.

【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义域、值域、图象，属于基础题.
18．（1）时，为偶函数；时，为非奇非偶函数（2）
【分析】（1）分别在和两种情况下根据奇偶性定义判断即可得到结果；（2）将问题变为，根据的单调性和极限值可求得结果.
【详解】（1）由题意得：定义域为
当时， 为偶函数
当时， ，
为非奇非偶函数
综上所述：时，为偶函数；时，为非奇非偶函数
（2）当时，等价于
在上单调递减，且时，
，即当时，在上恒成立
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为参数与函数最值之间的比较.
19．（1）证明见解析；（2）；（3）答案见解析
【分析】
（1）取，代入已知等式即可证得结果；
（2）由，结合（1）中等式，得到，再根据当且仅当时，成立得到，从而得到；
（3）在已知等式中取特值求出，由（2）可知函数f（x）在定义域上是减函数，在不等式中，用替换0后利用函数的单调性脱掉“f”，则不等式的解集可求.
【详解】
（1）证明：∵，∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
又，所以，
∵当且仅当时，成立，∴当时，，∴，；
（3）解：代入得，即，
∴可得，
由（2）可知函数在定义域上是减函数，∴，
当时，，
所以恒成立；
故只需满足即成立即可；
即.当时，；当时，；
当时，；
综上可得：当时，；当时，；当时，
【点睛】
本题考查了函数单调性的定义，考查了含参一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知不等式结合函数的单调性得含有参数的不等式.
20．(1)；(2)见解析.
【分析】（1）设，则，根据函数为奇函数，得到，且，即可求解函数的解析式；
（2）根据函数的单调性性的定义，即可证明函数在上为单调递增函数.
【详解】（1）设，则，
因为函数为奇函数，则当时，，
且，
所以函数的解析式为.
（2）任取，且，
则，
因为，且，所以，
所以，即，
所以函数在上为单调递增函数.
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及利用函数的单调性的定义判定函数的单调性，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及合理应用函数的奇偶性，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21．（1）1；（2）证明见解析；（3）最小值为e+e-1，f（2）最大值为e2+e-2．
【分析】（1）由f（x）=f（-x），化简整理可得a=，即可得到a的值；
（2）运用单调性的定义，结合指数函数的单调性，即可得证；
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，2]上递增，计算即可得到最值．
【详解】（1）由题意，函数满足f（x）=f（-x），可得+=+aex，
即ex（a-）=e-x（a-），可得a=，解得a=1或（舍去）；
所以．
（2）设，则，
因为，可得，
所以，即，
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）由（2）可得函数f（x）在区间[1，2]上递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断与证明，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性的判定方法，以及合理利用函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
22．（1）增区间为，，减区间为（2）时，
时，
【详解】试题分析：（1）将函数的解析式去掉绝对值，转化为分段函数，求单调区间时分别在时结合二次函数求解其单调区间；（2）结合（1）中的单调区间确定函数在区间上的单调性，从而求得函数的最小值
试题解析：函数
（1）∵ ，函数的图像如图所示
∴当时，
则，函数在区间递减，在区间递增
当时，
则，函数在区间递增
∴综上可知，函数的增区间为，，减区间为
（2）时，函数在区间上是单调递增函数
则
时，
当即时，
函数在递增，在递减
且 ，
若，即时，
若，即时，
当即时，函数在递增，在递减，在递增，
如图所示
且，
而时，，即
所以时，
且此时对，也成立
∴综上所述，时，
时，
考点：1.二次函数单调性与最值；2.分情况讨论
答案第1页，共2页
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