2022-2023学年北师大版（2019）高中数学必修第一册第三章章末检测A（含答案）

一、单选题
1．函数是R上的单调减函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的反函数的图像必过点
A．(1，3) B．(2，5) C．(1，4) D．(4，1)
3．下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数（且），，的图象可能为（　　）
A． B． C． D．
5．函数的图像的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数是指数函数，则实数
A． B． C． D．或
7．设函数，.则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．函数和分别为偶函数和奇函数.
8．若函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．定义在上的奇函数和偶函数满足：，下列结论正确的有（ ）
A．，且
B．，总有
C．，总有
D．，使得
三、填空题
10．已知函数，则的值为______.
11．已知函数是偶函数，则______.
12．__________.
13．设函数则满足的x的取值范围是____________.
四、解答题
14．我们知道：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”.有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“，”.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断函数的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，说明理由.
15．已知函数，求证：
（1）；
（2）.
16．已知函数的定义域为.
（1）求函数的单调区间；（2）求函数的值域.
17．（1）；
（2）；
（3）.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用指数函数的单调性，只需，解不等式即可求解.
【详解】函数是R上的单调减函数，
所以，解得，
故选：B
【点睛】本题考查了指数函数的单调性，需掌握指数函数单调性与底数有关，当底数在区间
上时，单调递减；当底数在区间上时，单调递增，属于基础题.

2．D
【分析】根据原函数与其反函数的图象关于对称可知,所以它们所过定点也关于 对称.
【详解】令得,,所以,所以函数的图象经过定点(1,4),
所以函数的反函数的图像必过定点(4,1).
故选D.
【点睛】本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性以及指数型函数过定点,属于基础题.
3．D
【分析】利用指数函数的定义，形如：即可求解.
【详解】解：根据指数函数的定义知，，
A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；
D正确.
故选：D
【点睛】本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.
4．C
【详解】由题意易知：函数为偶函数，且，排除A，B
当a时，在上单调递增，图象应该是下凸，排除D
∴选C
点睛：识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
5．D
【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.
【详解】根据
，
是减函数，是增函数.
在上单调递减，在上单调递增
故选：D.
【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
6．D
【分析】根据指数函数的定义，得，即可求解实数的值.
【详解】由指数函数的定义，得，解得或，故选D.
【点睛】本题主要考查了指数函数的定义，其中熟记指数函数的定义的形式，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．D
【分析】根据选项逐一计算判断.
【详解】A.，
正确；
B.，正确；
C.，正确；
D.，，
故，，所以函数和均为偶函数，错误.
故选：D
【点睛】本题主要考查函数奇偶性以及利用解析式进行计算，是基础题.
8．B
【分析】先分析每一段单调递增情况，再综合整个函数递增即可求出结果.
【详解】函数在上单调递增，
，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.
9．ABC
【分析】函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）＝4x，可得f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，与f（x）+g（x）＝4x联立，解出f（x），g（x），对选项一一判定即可得出．
【详解】∵函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）＝4x，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，与f（x）+g（x）＝4x联立，
可得g（x），f（x）．
对A：f（1），g（2），
∴0＜f（1）＜g（2）．故A正确；
对B：，故B正确；
对C：=，故C正确；
对D：f（2x），2，
∴f（2x）2，故D错误；
故选ABC．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．5
【解析】利用可求代数式的值.
【详解】，故，
所以，
故答案为：5.
11．1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
12．
【解析】根据分数指数幂的运算法则计算可得.
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查分数指数幂的运算，属于基础题.
13．
【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.
14．(1)函数为奇函数，证明见解析
(2)是中心对称图形，对称中心坐标为
【分析】（1）根据奇函数的定义，即可证明结果；
（2）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论．
（1）
解：函数为奇函数
证明如下：函数的定义域为R，关于原点对称
又
所以函数为奇函数.
（2）
解：函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点
解方程得，所以函数的定义域为
明显定义域仅关于点对称
所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为
设其对称中心为点， 则由题意可知有，
令，可得， 所以
所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点
下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：
即只需证明，
，得证
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】直接根据指数的运算性质进行证明.
【详解】证明：（1），
，
；
（2），
.
【点睛】本题主要考查指数的运算性质，属于基础题.
16．（1）函数的单调增区间为，单调减区间为；（2）.
【详解】试题分析： (1)利用换元思想,将问题转化为二次函数的单调性问题,再利用复合函数单调性“同增异减”的原则进行判定;(2),∴,利用（1）的结论与单调性确定函数的值域.
试题解析：(1)令,则==,
当时是减函数,
此时==是减函数,
当时,是减函数,
此时==是增函数,
∴函数的单调增区间为,单调减区间为.
(2),∴,∴值域为.
17．（1）0；（2）0；（3）100.
【分析】（1）把根式化为分数指数幂再计算；
（2）利用幂的运算法则计算；
（3）把根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则计算．
【详解】解：（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
【点睛】本题考查根式与分数指数幂的运算，解题时遇到根式一般先化为分数指数幂，然后由幂的运算法则计算即可．掌握幂的运算法则是解题基础．
答案第1页，共2页
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