2022-2023学年北师大版（2019）高中数学必修第一册第三章章末检测B（含答案）

一、单选题
1．已知函数和都是指数函数，则（ ）
A．不确定 B． C．1 D．
2．已知函数的定义域为R，当时，，当时，，当时，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
5．在同一坐标系内，函数和的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
6．设函数，.则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．函数和分别为偶函数和奇函数.
7．已知函数（其中）的图象如下图所示，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数的大致图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．(多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有
A． B． C． D．
10．（多选）设函数，对任意的，，以下结论正确的是
A． B．
C． D．
11．定义在上的奇函数和偶函数满足：，下列结论正确的有（ ）
A．，且
B．，总有
C．，总有
D．，使得
三、填空题
12．已知函数，则的值为______.
13．对于函数定义域中的任意，有如下结论：
①
②
③；
④．
上述结论中正确结论的序号是__________．
14．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.
15．已知，则函数的最大值为__________．
四、解答题
16．已知指数函数（，且），且，求的值.
17．已知函数.
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）利用定义证明在区间上是增函数.
18．我们知道：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“，”.有同学发现可以将其推广为：设函数的定义域为，那么“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“，”.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断函数的图象是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心坐标；若不是，说明理由.
19．若函数对任意的均有，则称函数具有性质.
(1)判断下面函数①；②是否具有性质，并说明理由；
(2)全集为，函数，试判断并证明函数是否具有性质；
(3)若函数具有性质，且，求证：是否对任意，均有
20．设函数，其中．
（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；
（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；
（3），，解关于x的不等式．
21．求解下列问题
（1）已知函数，求函数的单调递增区间；
（2）已知函数，，求函数的值域.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据指数函数的概念，得到，，即可求出结果.
【详解】因为函数是指数函数，所以，
由是指数函数，得，所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由指数函数概念求参数的问题，属于基础题型.
2．B
【解析】根据函数的奇偶性，周期性，以及函数表达式，可得结果.
【详解】由当时，，
用取代
可知，周期为1
所以
当时，
所以
当时，，所以
故选：B
【点睛】本题考查函数的性质，属基础题.
3．D
【分析】利用指数函数的定义，形如：即可求解.
【详解】解：根据指数函数的定义知，，
A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；
D正确.
故选：D
【点睛】本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.
4．B
【分析】先利用指数函数为上的单调减函数，比较、的大小，再利用幂函数在上为增函数，比较、的大小，即可得正确选项；
【详解】解：因为为减函数，故，又在上为增函数，故，
即，即
故选：B
【点睛】本题主要考查根据指数与幂函数单调性判断函数值大小问题，属于基础题.
5．B
【分析】根据幂函数的图象与性质，分和讨论，利用排除法，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，若时，函数在递增，此时递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即时，不合题意；
若时，函数在递减，又由递减可排除A，故选B.
【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．D
【分析】根据选项逐一计算判断.
【详解】A.，
正确；
B.，正确；
C.，正确；
D.，，
故，，所以函数和均为偶函数，错误.
故选：D
【点睛】本题主要考查函数奇偶性以及利用解析式进行计算，是基础题.
7．A
【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】解：由图象可知：，
因为，所以由可得：，
由可得：，
由可得：，
因此有，
所以函数是减函数，，所以选项A符合，
故选：A
8．B
【解析】通过函数值为0，求出x的表达式，判断m，n的范围，排除选项A，D，通过，利用函数的单调性，结合x与y的关系，判断排除选项C即可.
【详解】令，
即，
则，
即，
由题意，
故时，时，排除A D；
当时，易知是减函数，
且当时，则，C明显不合题意，排除C；
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，函数的最值以及函数的单调性的应用，属于中档题.
9．AD
【分析】根据指数型函数的图象分布列式可解得.
【详解】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:
由图像可知函数为增函数，所以.当时，，
故选AD.
【点睛】本题考查了指数函数的图象,属于基础题.
10．BC
【分析】利用指数幂的计算法则判断A，B的对错；利用负整数指数幂的计算法则判断C的对错；D中需要分两种情况分析.
【详解】A．不恒成立，错误；
B．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；
C．由，可知，正确；
D．当时，，当时，，所以 ，错误；
故选BC.
【点睛】本题考查指数幂的计算法则以及指数函数的函数值判断，难度较易.
（1），，；
（2），当时，若则，若则；当时，若则，若时则.
11．ABC
【分析】函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）＝4x，可得f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，与f（x）+g（x）＝4x联立，解出f（x），g（x），对选项一一判定即可得出．
【详解】∵函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且满足f（x）+g（x）＝4x，
∴f（﹣x）+g（﹣x）＝4﹣x，即﹣f（x）+g（x）＝4﹣x，与f（x）+g（x）＝4x联立，
可得g（x），f（x）．
对A：f（1），g（2），
∴0＜f（1）＜g（2）．故A正确；
对B：，故B正确；
对C：=，故C正确；
对D：f（2x），2，
∴f（2x）2，故D错误；
故选ABC．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．5
【解析】利用可求代数式的值.
【详解】，故，
所以，
故答案为：5.
13．①③④
【分析】根据指数运算与指数函数性质依次讨论即可得答案.
【详解】解：，①正确，
又，②错，
函数是减函数，③正确，
，当且仅当，由于已知，故，④正确．
故答案为：①③④
【点晴】本题考查命题真假判断，实质上是考查函数的性质．对于这种给出具体函数式的问题，只要把函数式代入一一验证即可，解决此类问题不能限入误区，认为这类问题都是有难度，没处下手，事实上最简单的方法反而是最好的方法．
14．
【详解】由题意在上单调递减，又是偶函数，
则不等式可化为，则，，解得．
15．
【详解】
令 ，则
即
又∵对称轴
∴当 即 时
即答案为 2
16．
【解析】由求出，可确定的解析式，从而计算函数值．
【详解】因为，且，则，解得，于是.
所以，.
【点睛】本题考查指数函数的解析式．属于基础题．
17．（1）奇函数，证明见解析 （2）证明见解析
【分析】(1)求出，判断与的关系即可.
(2) 根据单调性的定义证明步骤，可证明结论.
【详解】解：（1）函数的定义域为，关于原点对称,
任取一个，则， 因为，
所以，，即是奇函数.
（2）任取，，使得，
，
因为，所以，即，
所以在区间上是增函数.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，用定义法证明函数的单调性，属于基础题.
18．(1)函数为奇函数，证明见解析
(2)是中心对称图形，对称中心坐标为
【分析】（1）根据奇函数的定义，即可证明结果；
（2）根据题意，由函数的解析式可得，即可得结论．
（1）
解：函数为奇函数
证明如下：函数的定义域为R，关于原点对称
又
所以函数为奇函数.
（2）
解：函数的图象是中心对称图形，其对称中心为点
解方程得，所以函数的定义域为
明显定义域仅关于点对称
所以若函数的图象是中心对称图形，则其对称中心横坐标必为
设其对称中心为点， 则由题意可知有，
令，可得， 所以
所以若函数为中心对称图形，其对称中心必定为点
下面论证函数的图象关于点成中心对称图形：
即只需证明，
，得证
19．(1)函数①具有性质P，函数②不具有性质；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用题中定义及所给函数，结合基本不等式，可检验函数①否具有性质，代入特殊值检验，可检验函数②否具有性质.
（2）分别讨论x为有理数和无理数，根据题中所给定义及函数，检验计算，即可得证.
（3）利用反证法，结合所给定义，推理整理，即可得证.
(1)
①，
则，
因为，所以，且
所以，
所以，即函数①具有性质.
②不具有性质P，
如当x=-1时，，不满足题意，故函数②不具有性质P.
(2)
当x为有理数时，具有性质P，理由如下：
，故具有性质P；
当x为无理数时，具有性质P，理由如下：
，故具有性质P；
综上：函数具有性质.
(3)
证明：假设为中第一个大于0的值，则，
因为具有性质P，
所以，
所以，
所以与矛盾，
所以假设不成立，原命题成立.
所以对任意，均有
【点睛】解题的关键是理解题中新定义，根据所给函数，代入检验即可得证，考查学生对抽象函数、性质的理解能力，属中档题.
20．（1）；（2）；（3）答案见解析.
【分析】（1）先由求得的值，再根据偶函数的定义验证，得到答案；
（2）换元法令，则转化成在上有最小值，再由的对称轴大于0，得到的取值范围；
（3）由化简得到，再分类讨论的范围，得到不等式的解集.
【详解】解：（1），所以，
所以，检验，此时，，
所以，为偶函数；
（2），令，
则在上有最小值，
所以，得；
（3），所以，所以，
因为，，所以．
①，即，解集为R；
②，即，解集为．
【点睛】本题考查了奇偶性的应用，指数不等式的解法，指数与对数的综合应用，考查了学生的分析推理能力，分类讨论思想，属于中档题.
21．（1）（2）.
【分析】(1)先令，求其减区间，然后由在定义域上为减函数，即可得出答案;
(2)令，然后求在上的值域.
【详解】(1)令则其减区间为， 由在定义域上为减函数，得的单调递增区间为:.
(2)令，由得， ∴，
∴函数在上为单调减函数，在上为单调增函数，
∴，， ∴，
∴当时，函数的值域为.
【点睛】本题考查了复合函数求单调区间，在给定区间上求值域的问题，考查了学生的运算能力，属中档题.
答案第1页，共2页
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