2022-2023学年北师大版（2019）高中数学必修第一册第五章章末检测A（含答案）

一、单选题
1．在下列区间中，方程的解所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．给出下列函数，其中在上是增函数且不存在零点的函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
5．近几个月某地区的口罩的月消耗量逐月增加，若第1月的口罩月消耗量增长率为，第2月的口罩月消耗量增长率为，这两个月口罩月消耗量的月平均增长率为，则以下关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
7．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
8．已知函数有唯一的零点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是（ ）
A．1 B． C． D．
10．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（，、为常数）．若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是（ ）
A．
B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在的保鲜时间是小时
D．在的保鲜时间是小时
11．（多选题）已知函数，的图象分别如图1，2所示，方程，，的实根个数分别为a，b，c，则
A． B． C． D．
12．已知实数满足，则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择________方案.
14．函数满足以下条件：①的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线；②，；③当且，；④恰有两个零点，请写出函数的一个解析式________
15．某种放射性元素的原子数随时间变化规律是，其中、为正的常数． 由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间为___________．
16．当时，.若函数没有零点，则正实数的取值范围是___________.
四、解答题
17．已知函数为上的连续函数，判断在上是否存在零点？若存在，用二分法求出这个零点的近似值（精确到0.1）；若不存在，请说明理由．
18．吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
19．已知函数.
（1）在给定的坐标系中，作出函数的图象；
（2）若函数的图象与直线有4个交点，求实数的取值范围.
20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些风眼莲（其覆盖面积为），这些风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与）可供选择．
（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份．（参考数据：，）．
21．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？
22．某工厂以的速度生产运输某种药剂（生产条件要求边生产边运输且），每小时可以获得的利润为元．
(1)要使生产运输该药品获得的利润不低于4500元，求的取值范围；
(2)为何值时，每小时获得的利润最小？最小利润是多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】设函数，结合导函数判断单调性，利用根的存在性定理即可判定其解所在区间.
【详解】设函数，
所以是增函数，
，，
方程的解所在的区间为.
故选：B
2．A
【分析】结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.
【详解】根据图片处理过程中图像上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图像上每个像素的灰度值增加,所以图象在y=x上方，
结合选项只有A选项能够较好的达到目的，
故选：A.
3．A
【分析】利用初等函数的图像与性质以及图像的变换的知识进行判断.
【详解】对于A选项，函数在上是增函数且不存在零点，故A正确；
对于B选项，函数的零点是1，故B错误；
对于C选项，函数在上是减函数，故C错误；
对于D选项，函数在上是减函数，故D错误．
故选：A．
4．B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为，
，故至少需要志愿者名.
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5．D
【分析】求出的关系，再根据基本不等式判断．
【详解】由题意，，
时，，，
时，，
，，因此，
综上，．
故选：D．
6．D
【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
7．B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
8．B
【分析】分析出函数的图象关于直线对称，可得出，由此可解得实数的值.
【详解】，
所以，，
所以，函数的图象关于直线对称，
若，则函数的零点必成对出现，即函数的零点个数为偶数，不合乎题意.
由于函数有唯一零点，则，解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题利用函数有唯一零点求参数值，解题的关键在于分析出函数的单调性，通过分析出函数的零点成对出现而得出，从而求解，在解题时要注意对函数的基本性质进行分析，从而找到问题的突破点.
9．AD
【分析】由的零点求参数a、b，写出的解析式，进而可求其零点.
【详解】由题设知：是的两个根，
∴，
∴，若，可得零点为或.
故选：AD.
10．AC
【分析】本题首先可根据题意得出是减函数，则A正确，B错误，然后根据、得出，最后通过求出、即可得出C正确、D错误.
【详解】因为在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，
所以易知是减函数，结合复合函数的单调性可知，A正确，
则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；
，，
则，，
故，C正确，
，D错误，
故选：AC.
11．AD
【分析】根据图象，确定，，的值，代入验证即可．
【详解】由图，方程，，此时对应4个解，故；
方程，得或者，此时有2个解，故；
方程，取到4个值，如图所示：
即或或或，则对应的的解，有6个，故.
根据选项，可得A，D成立.
故选：AD．
【点睛】考查函数图象的对应关系，基础题．
12．ACD
【分析】根据，令，，，在同一坐标系作出函数图象求解.
【详解】因为，
令，，，
记与交点纵坐标为m，与交点纵坐标为t，
当y＝t时，A正确；
当y＝m时，B错误；
当t ＜y＜m时，C正确
当y＜t时，D正确
故选：ACD
13．乙、甲、丙.
【分析】根据函数解析式，代值后比较函数值即可.
【详解】根据题意，列出当时，对应的函数值如下所示：
500 1000 1500
甲：y＝0.2x 100 200 300
乙：y＝log2x＋100 约等于108.96 约等于109.96 约等于110.55
丙：y＝1.005x 约等于12.1 约等于146.57 约等于1774.57
根据表中数据可知：
当投资时，应分别选择乙，甲，丙方案.
故答案为：乙、甲、丙.
【点睛】本题考查函数增长率的差异，属简单题；同时，本题也可以通过函数增长率直接进行判断.
14． （答案不唯一）
【分析】由题意可得函数是偶函数，且在上为增函数，函数图象与轴只有2个交点，由此可得函数解析式
【详解】因为，，所以是偶函数，
因为当且，，
所以在上为增函数，
因为恰有两个零点，
所以图象与轴只有2个交点，
所以函数的一个解析式可以为，
故答案为： （答案不唯一）
15．.
【分析】因为，所以,两边取以为底的对数，即可求出t.
【详解】因为，所以，两边取以为底的对数，所以．
【点睛】本题主要考查了指数式的运算，以及两边取对数的方法，属于容易题.
16．
【分析】将问题转化为函数与图象的交点问题，结合图象得出正实数的取值范围.
【详解】当时，
当时，可化为
作出函数与的图象
由图可知当时，要使得函数没有零点
必须满足，解得
当时，要使得函数没有零点
必须满足或者，解得或
综上，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将问题转化为函数图象的交点问题，结合数形结合的思想方法解决问题.
17．存在；近似值为－0.1．
【分析】根据零点存在性定理，由，，即，为上的连续函数，可知函数在上必存在零点，根据二分法，可得答案.
【详解】解析，．
因为，为上的连续函数，
所以函数在上必存在零点，设为．
区间 中点的值 中点函数值符号
0
－0.5
－0.25
－0.125
－0.0625
所以．
因为－0.125，－0.0625精确到0.1的近似值都为－0.1，故所求近似值为－0.1．
18．(1)
(2)70万盒
【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
（1）
当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为
（2）
当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
19．（1）图象见解析；（2）.
【分析】（1）根据分段函数的定义域依次作出图象即可；
（2）在同一坐标系中作出函数与直线图象，数形结合得到实数的取值范围即可.
【详解】（1）作图如下：
（2）如图，因为函数的图象与直线有4个交点，
所以.
所以实数的取值范围为.
20．（1）函数模型较为合适，且该函数模型的解析式为；（2）月份.
【分析】（1）根据两个函数模型增长的快慢可知函数模型较为合适，将点、代入函数解析式，求出、的值，即可得出函数模型的解析式；
（2）分析得出，解此不等式即可得出结论.
【详解】（1）由题设可知，两个函数、）在上均为增函数，
随着的增大，函数的值增加得越来越快，
而函数的值增加得越来越慢，
由于风眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型满足要求.
由题意可得，解得，，
故该函数模型的解析式为；
（2）当时，，故元旦放入凤眼莲的面积为，
由，即，故，
由于，故.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积倍以上的最小月份是月份.
【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
21．（1）500名；（2）.
【解析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解；
（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出的范围．
【详解】解：（1）由题意，得，
即，又，所以.
即最多调整500名员工从事第三产业.
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则，
所以.
所以，即在时恒成立.
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，
又，所以.所以a的取值范围为.
【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．
22．(1)；
(2)当为时，每小时获得的利润最小，最小利润为1300元.
【分析】（1）由题设可得2x＋1＋≥15，结合求不等式的解集即可.
（2）应用基本不等式求y＝100(2x＋1＋)的最小值，并求出对应的值.
（1）
依题意得：3×100(2x＋1＋)≥4500，即2x＋1＋≥15，
由3＜x≤10，故＞0，可得x2－9x＋18≥0，即(x－3)(x－6)≥0，解得x≤3或x≥6，
∴x的取值范围为[6,10].
（2）
设每小时获得的利润为y.
y＝100(2x＋1＋)＝100[2(x－2)＋＋5] ≥100[2＋5]＝100(8＋5)＝1300，当2(x－2)＝时取等号，此时x＝4．
于是当生产运输速度为4kg/h，每小时获得的利润最小，最小值为1300元．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页