2022-2023学年北师大版（2019）高中数学必修第一册第五章章末检测B（含答案）

一、单选题
1．已知大于1的三个实数满足，则的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
3．已知函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知函数满足，且，则函数零点的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．0个
5．已知，若，分别是方程，的根，则下列说法：①；②；③，其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．定义在R上的偶函数满足，且当时，若关于x的不等式的整数解有且仅有9个，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若函数有13个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数f (x) =有两不同的零点，则 的取值范围是（ ）
A．( ∞，0) B．(0，+∞)
C．( 1，0) D．(0，1)
二、多选题
9．已知函数， 则以下结论正确的是（ ）
A．函数为增函数
B．，不等式恒成立
C．若， 在，上恒成立，则的最小值为
D．若关于的方程有三个不同的实根，则
10．已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知定义域为R的奇函数，满足，下列叙述正确的是（ ）
A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
B．当时，恒有
C．若当时，的最小值为1，则
D．若关于的方程和的所有实数根之和为零，则
12．函数的定义域为，若存在区间使在区间上的值域也是，则称区间为函数的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．设函数．若恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．
14．已知函数有且只有一个零点，则的取值范围是______.
15．已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是______．
16．某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：
①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐;
②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：
③如果购买罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数.（其中表示不大于x的最大整数）
则所有正确说法的序号是__________.
四、解答题
17．设a，b，c，d不全为0，给定函数，.若，满足①有零点；②的零点均为的零点：③的零点均为的零点，则称，为一对“K函数”.
（1）当a=c=d=1，b=0时，验证，是否为一对“K函致”，并说明理由；
（2）若a=1，，且，为一对“K函数”，求实数c的取值范围.
18．已知，函数
(1)若，求函数的定义域；
(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过2，求的最小值；
(3)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.
19．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．
(1)已知二次函数，，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；
(2)若为定义在R上的“局部奇函数”，求函数在的最小值．
20．如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．
（1）求函数解析式；
（2）当函数有且只有一个零点时，求的值．
21．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
(1)若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
(2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．
22．若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0．的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均好有，则称区间A为和的“区间”．
（1）写出和在上的一个“区间”（无需证明）
（2）若是和的“区间”，判断是否为偶函数，并证明；
（3）若．且在区间上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】令，则为的零点，根据判别式可得，就和分类讨论后可得的大小关系.
【详解】令，则为的零点且该函数图象的对称轴为，
故，
因为，故，所以即.
又，
若，则，故即.
若，则，所以或者，
即或.
故选：D.
【点睛】本题考查二次函数的零点，注意先根据方程的形式构建二次函数，再利用零点存在定理来讨论，注意合理分类，本题为中档题.
2．B
【分析】根据各选项只需研究、情况下的零点情况，由分段函数的性质求各区间上的零点，再讨论、判断满足题设条件下的范围.
【详解】结合各选项只需讨论：、，
设，，
由，得和；
由，得，
当时，至少两个零点0和恒成立，符合题设；
当时，可能有两个零点和，又至少有两个零点，
∴，均为零点，即，得，解得.
综上，.
故选：B.
3．D
【分析】解法一：根据代入排除法分析即可；
解法二：转化为|和的图像在上有3个交点，再画图分类讨论分析实数的取值范围即可
【详解】解法一：因为函数在（0，+∞）上有3个不同的零点，
所以，和的图像在（0，+∞）上有3个交点，代入，不合题意，排除A、C，又k取+∞显然不合题意，排除B；
解法二：因为函数在上有3个不同的零点，
所以|和的图像在上有3个交点，
画出函数g（x）的图像，如图.
的图像恒过点（0，2），且当时与x轴的交点为（，0），
当时，与g（x）的图像在上有3个不同的交点，如图.
当，即时，
与g（x）的图像在上仅有2个不同的交点，如图.
当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有1个交点，在（，∞）上有2个交点，如图.
当，即时，与g（x）的图像在（0，）上有3个交点，在上有0个交点，如图，
当，即时，与g（x）的图像在（0，+∞）上有2个交点，如图.
当时，的左支与g（x）的图像无交点，
当直线与相切时，联立方程得
令，得舍去），
所以
当，即时，与g（x）的图像在上有3个交点.
综上，可得k的取值范围为
故选：D.
【点睛】本题主要考查了数形结合分类讨论解决函数零点与参数范围的问题，需要根据题意转化为两个函数图像的交点，再分情况讨论分析.属于难题
4．B
【分析】根据，可得，即有，可推出，解方程，得或，判断零点个数即可.
【详解】，∴，，∵代入，得，∴.
或，
；，
如图所示，
函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个，
故选：B
【点睛】本题主要考查了导数公式的逆用，以及函数与方程问题，函数的零点个数，数形结合，属于难题.
5．D
【分析】由题意可得的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出3个函数的图象，可求得的范围，然后逐个分析判断即可
【详解】，
因为，所以，
所以，且在上单调递减，
，分别是方程，的根，
因为与互为反函数，
所以与的图象关于直线对称，
由，得，
画出函数，和的图象，
由图可得
，
因为当时，，
当时，，
所以，
所以，所以①正确，
对于②，由图可得，所以，
因为，所以，所以②正确，
对于③，因为的图象关于直线对称，
因为和互为反函数，
所以与关于直线对称，
所以或，化简得，所以③正确，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合的思想，解题的关键是正确画出函数图象，根据图象分析求解的范围，考查数学转化思想，属于较难题
6．C
【分析】根据题意画出示意图，根据数形结合解题即可.
【详解】因为定义在R上的偶函数满足，
所以，从而函数的周期为4，
根据函数性质画出函数的示意图，
关于x的不等式的整数解有且仅有9个，
从而满足 ，解得实数m的取值范围为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的对称性，奇偶性，周期性等函数性质，利用数形结合进行解题，数形结合思想是高中数学思想方法中非常重要的一个思想方法，平时在学习中注意理解消化吸收.
7．D
【分析】先根据题意将问题转化为数与函数的图象交点个数问题，再画出图形，数形结合即可解决.
【详解】解：函数有13个零点，
令，有，
设，
可知恒过定点，
画出函数，的图象，如图所示：
则函数与函数的图象有13个交点，
由图象可得：，则，
即，解得：.
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.
8．A
【分析】函数f (x) =有两不同的零点，可以转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，构造不等式即可求得 的取值范围.
【详解】由题可知方程有两个不同的实数根，
则直线与函数的图象有两个不同的交点，
作出与的大致图象如下：
不妨设，由图可知，，整理得，
由基本不等式得，（当且仅当时等号成立）
又，所以，解得，
故选：A．
9．BCD
【分析】根据解析式可整理得到当，时，；
根据可知A错误；根据且可知B正确；由恒成立可确定C正确；由方程根的个数可确定与有且仅有三个不同交点，根据在每一段上的值域可分析得到不等关系，解不等式可知D正确.
【详解】当时，；
当时，；
依次类推，当，时，；
对于A，，，不符合增函数定义，A错误；
对于B，，，
对于，不等式恒成立，B正确；
对于C，当，时，；
若，则，的最小值为，C正确；
对于D，由得：，
当时，则，方程无解，不合题意；
当时，则或；与有且仅有三个不同交点；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；，解得：；D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：本题考查函数中的类周期问题的求解，解题基本思路是根据解析式的变化规律确定函数解析式的形式及每一段解析式对应的值域，根据每个选项中的考点：单调性、最值、恒成立及方程根的个数问题，结合解析式和值域确定结果.
10．BC
【分析】根据指数式与对数式的关系由条件求出，，，构造函数结合零点存在性定理确定的范围，由此判断的大小关系.
【详解】∵，∴，，∴.
设，∵，，在上先增后减，
∴.
∵，
∴，，
∴，
∴.
∵，
∴
设，
∵，，在上先增后减，
∴.
∴.
故选：BC.
【点睛】本题解决的关键在于结合函数的单调性及零点存在性定理确定的范围.
11．AC
【分析】根据奇函数，利用已知定义域的解析式，可得到对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误，即可确定答案
【详解】函数是奇函数，故在R上的解析式为：
绘制该函数的图象如所示：
对A：如下图所示直线与该函数有7个交点，故A正确；
对B：当时，函数不是减函数，故B错误；
对C：如下图直线，与函数图交于，
故当的最小值为1时有，故C正确
对D：时，函数的零点有、、；
若使得其与的所有零点之和为0，
则或，如图直线、，故D错误
故选：AC
【点睛】本题考查了分段函数的图象，根据奇函数确定对称区间上函数的解析式，进而根据函数的图象分析命题是否成立
12．ABD
【分析】根据题意，可知若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，且，则或，再对各个选项进行运算求解，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.
【详解】解：由题得，若在区间上的值域也是，则存在“和谐区间”，
可知，，则或，
A：，若，解得：，
所以存在“和谐区间”；
B：，若存在和谐区间，
则，故在为增函数，
故，解得：，
所以存在“和谐区间”；
C：，若存在和谐区间，则，
若，则，故在上为增函数，
故，得，故无解；
若，则，故在上为增函数，
同上，无解.
所以不存在“和谐区间”；
D：，函数在 单调递减，
则 ， 不妨令，
所以存在“和谐区间”；
综上得：存在“和谐区间”的是ABD.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.
13．
【分析】根据解析式分析的性质，讨论、、，结合指数函数和二次函数的性质判断恰有2个零点情况下a的取值范围.
【详解】由解析式知：在上且单调递增；在上，的对称轴为且开口向上，
∴1、当，即时，则在上递增，，此时无零点；
2、当时，上存在一个零点，要使恰有2个零点，则在上也只有一个零点，而且，
∴当，即，只需，可得；
当，即，只需，可得；
∴此时，时恰有2个零点；
3、当时，上无零点，要使恰有2个零点，则在上有两个零点即可，而且，，
∴在上恒有两个零点.
综上，a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：根据在的零点情况讨论a的范围，并确定上零点个数，结合二次函数性质求参数范围.
14．
【分析】由题意，函数1个零点转化为无根，利用函数与的图象，数形结合即可求解.
【详解】显然，即时，等价转化为方程无实根，即与（图象在一、三象限）无交点，
故只需考虑在第一象限无交点，
因为，当且仅当时取等号，
，故需同时满足如下三个条件；
① ，即；
②，即；
③，即；
综上①②③可得，
令,
所以,
故答案为：
【点睛】关键点点睛：原函数的零点个数可转化为方程根的个数，可继续转化为与（图象在一、三象限）无交点，作函数图象，利用数形结合求解，属于难题.
15．
【分析】将函数恰有个零点，转化为函数的图象有个交点，分的左半段和右半段两种情况，结合函数图象分析求解.
【详解】因为函数恰有个零点，
所以函数的图象有个交点，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
当，即是，的左半段为，
由，消去y得，
令，解得或，
当时，，解得，不成立，
故，
当，即时，的右半段为，
由，消去y得，
令，解得或，
当时，，解得，不成立，
故，
综上：实数的取值范围是，
故答案为：
【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
16．②③.
【解析】①罐可乐有个可乐空罐，第一次可换罐可乐还剩个空罐，第二次可换罐可乐还剩个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；
②：先分析购买罐可乐的情况，再分析购买罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买的可乐罐数；
③：先分析购买到罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出的结果.
【详解】①：购买罐可乐时，第一次可换罐还剩个空罐，第二次可换罐还剩个空罐，所以最多可饮用罐可乐，故错误；
②：购买罐时，第一次可换罐可乐，第二次可换罐可乐还剩个空罐，
第三次可换罐可乐还剩个空罐，第四次可换罐可乐还剩个空罐，所以一共可饮用罐；
购买罐时，第一次可换罐可乐还剩个空罐，第二次可换瓶可乐还剩个空罐，
第三次可换罐可乐，第四次可换罐可乐还剩个空罐，所以一共可饮用罐；
所以至少需要购买罐可乐，故正确；
③：购买到罐可乐分别可饮用可乐罐数以及剩余空罐数如下表所示：
购买数 饮用数 剩余空罐数
由表可知如下规律：
（1）当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为，当购买的可乐罐数为偶数时，此时剩余的空罐数为；
（2）实际饮用数不是的倍数；
（3）每多买罐可乐，可多饮用罐可乐，
（4）实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的倍少或；
设购买了罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为，
所以，即，即，
又因为可看作，即不大于的最大整数，所以成立，故正确；
故答案为：②③.
【点睛】关键点点睛：解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数，另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数的关系，从而解决问题.
17．（1）不是，理由见解析；（2）.
【分析】（1）根据函数的定义进行判断.
（2）结合换元法以及函数的定义进行讨论，由此求得的取值范围.
【详解】（1），
得，，故不是的零点，所以、不是一对“函数”.
（2），，
，.
，
，
由得或.
，
依题意的零点均为的零点，
当时，，，，符合题意.
当时，依题意可知没有实数根，
设，则没有实数根，
当时，，，
所以，即，解得.
当时，，，
所以，即，解得（舍去）.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】有关函数新定义的题目，解题关键是围绕着新定义去进行求解.
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】(1)由对数函数定义域为正实数集，列出不等式，解之即得；
(2)由函数f(x)的单调性求出其最大、最小值，再列出关于t的不等式，转化成在[]上恒成立的问题；
(3)将给定的对数方程等价转化为一个不等式和一个方程组成的混合组，求出方程的解，由题设条件分类讨论得解.
【详解】(1)解得.
所以函数的定义域为
(2)解：由题意得因为在上为减函数，
所以
又因为在为增函数，
所以
所以
在恒成立
即在恒成立，
即在恒成立，
等价为在的最小值大于等于0，
因为在为增函数，所以
即，所以的最小值为
(3)方程，即
可转化为，且
①当即时，，符合题意；
②当即时，
(i)当时，符合题意
(ii)当时，且时，要满足题意，则有
或无解
综上可得，的取值范围.
【点睛】(1)指定区间上恒成立问题，转化为某个函数在该区间上的最大、最小值问题，即f(x)≤a恒成立 a≥f(x)max，f(x)≥a恒成立 a≤f(x)min；
(2)解对数方程，等价转化为方程与不等式组成的混合组是关键.
19．(1)为“局部奇函数”，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）直接解方程，方程有解即得；
（2）由方程有解，设换元后转化为关于的二次方程在上有解，可结合二次函数的性质或二次方程根的分布知识可得，然后通过分类讨论求函数的最小值.
(1)
当时，方程，即有解，
解得，
所以为“局部奇函数”.
(2)
当时，可化为
，
令，则，
从而关于的方程在上有解即可保证为“局部奇函数”，
令，
①当时，在上有解，
由，即，解得；
②当时，在上有解等价于
此时无解.
则所求实数的取值范围是.
令，因为，所以，
则，
令，对称轴为，
当时，在单调递增，所以时，取得最小值，，即时；
当时，时，取得最小值，，
即时，.
综上，当时，；
当时，.
20．（1）；（2）.
【分析】（1）根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数的解析式．
（2）求出的表达式，根据有且只有一个零点，即，分类讨论即可求出的值．
【详解】解：（1）当时，；
当时，；
当时，；
所以.
（2）由（1）知，
当时，若有且只有一个零点，即有且只有一个根，则有，
因为，所以，即；
当时，若有且只有一个零点，即有且只有一个根，化简得有且只有一个根，
所以，解得或，
当时，，所以内，
当时，；
当时，若有且只有一个零点，即有且只有一个根，
则有，
因为，所以，所以；
综上，当时，有两个零点，不合题意；
当时，有且只有一个零点，符合题意；
所以．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据有且只有一个零点，即，分类讨论求出的取值范围．
21．(1)当时血液中药物的浓度最高，最大值为6
(2)
【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；
（2）讨论和两种情况，
(1)
当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为
①当时，．
②当时，因为（当且仅当时，等号成立），
所以．
故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．
(2)
由题意得
①当时，，
设，则，，则，故；
②当时，，
由，得，
令，则，，则，故．
综上，．
22．（1），（2）不是偶函数，证明见解析，（3）证明见解析
【分析】（1）根据“区间”的定义求出和在上的一个“区间”即可；
（2）根据函灵敏的奇偶性的定义证明即可；
（3）根据“区间”的定义以及函数的单调性，证明即可
【详解】（1）解：由题意得和的定义域为，
当时，，满足“区间”的定义，
所以在上的一个“区间”可以是及其非空子集；
（2）不是偶函数，
证明：由题意，当时，，故；
当时，，故，
因为在任意区间上不恒为零，所以存在，使得，
因为，所以，
所以不是偶函数；
（3）证明：当时，，
当时，因为，且在区间上单调递增，
所以存在唯一，使得， 且当时，，当时，，
所以当时，，则且存在使得，
当时，，则且存在使得，
所以存在，使得，
所以在区间上存在零点．
【点睛】关键点点睛：此题考查新定义问题，考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查三角函数的性质，考查数学转化思想，解题的关键是正确理解题目中的新定义，属于难题
答案第1页，共2页
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