人教A版（2019)高中数学必修第一册 4.2指数函数 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
4.2　指数函数
第四章　指数函数与对数函数
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
一、上节回溯
有理数指数幂
n 次方根
整数指数幂
无理数指数幂
实数指数幂
运算性质
二、知识讲解
　　对于幂 ax (a>0)，我们已经把指数 x 的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数．
二、知识讲解
　　问题1　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A，B 两地景区自2001 年起采取了不同的应对措施，A 地提高了景区门票价格，而 B 地则取消了景区门票．表 4.2-1 给出了 A，B 两地景区 2001 年至 2015 年的游客人次以及逐年增加量．
4.2.1　指数函数的概念
二、知识讲解
309
11
702
2003


A 地景区
年增加量/万次
2009
2005
609
2006
661
2008
2007
631
2015
2001
2002
2004
641
620
600
650
2011
2010
2012
2014
2013
表 4.2-1
B 地景区

年增加量/万次
671
681
691
711
721
732
743
10
11
9
9
11
10
10
10
11
9
10
11
11
344
383
278
427
475
528
588
655
729
811
903
1 005
1 118
1 244
44
35
31
48
53
60
67
74
82
92
102
113
126
39
二、知识讲解
　　比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
　　为了有利于观察规律，根据表 4.2-1，分别画出 A，B 两地景区采取不同措施后的 15 年游客人次的图象（图 4.2-1 和图 4.2-2）．
2003
2001
2005
2007
2009
2011
2013
2015
时间/年
300
500
700
900
1100
1300
人次/万次
图 4.2-1
2003
2001
2005
2007
2009
2011
2013
2015
时间/年
300
500
700
900
1100
1300
人次/万次
图 4.2-2
二、知识讲解
　　观察图象和表格，可以发现，A 地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为 10 万次）；B 地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．

探究
二、知识讲解

二、知识讲解

二、知识讲解
　　x 年后，游客人次是 2001 年的 1.11x 倍．
　　如果设经过 x 年后的游客人次为 2001 年的 y 倍，那么
y＝1.11x (x∈[0，＋∞))． ①
这是一个函数，其中指数 x 是自变量．
二、知识讲解
　　问题2　当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量与死亡年数之间有怎样的关系？
　　设死亡生物体内碳 14 含量的年衰减率为 p，如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位，那么
　　死亡 1 年后，生物体内碳 14 含量为 (1－p)1；
　　死亡 2 年后，生物体内碳 14 含量为 (1－p)2；
　　死亡 3 年后，生物体内碳 14 含量为 (1－p)3；
二、知识讲解

二、知识讲解

二、知识讲解

二、知识讲解
例2　（1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来 1 000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况．
（2）在问题 2 中，某生物死亡 10 000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？
解：（1）设经过 x 年，游客给 A，B 两地带来的收入分别为 f (x) 和 g (x)，则
f (x)＝1 150×(10x＋600)，
g (x)＝1 000×278×1.11x．
　　利用计算工具可得，
二、知识讲解
　　当 x＝0 时，f (0)－g (0)＝412 000．
　　当 x≈10.22 时，f (10.22)≈g (10.22)．
　　结合图 4.2-3 可知：
　　当 x<10.22 时，f (x)>g (x)，
　　当 x>10.22 时，f (x)　　当 x＝14 时，g (14)－f (14)≈347 303．
　　这说明，在 2001 年，游客给 A 地带来的收入比 B 地多 412 000 万元；随后 10 年，虽然 f (x)>g (x)，但 g (x) 的增长速度大于 f (x)；
O
x
y
2
20
40
4
60
6
80
8
100
10
140
12
f (x)
14
120
16
g (x)
图 4.2-3
二、知识讲解

二、知识讲解
　　在实际问题中，经常会遇到类似于例 2（1）的指数增长模型：设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y，则 y＝N(1＋p)x (x∈N)．形如 y＝kax (k∈R，且 k≠0，a>0，且 a≠1) 的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
二、知识讲解
　　下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数．首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质．
　　先从简单的函数 y＝2x 开始．
　　请同学们完成 x，y 的对应值表 4.2-2，并用描点法画出函数 y＝2x 的图象（图 4.2-4）．
4.2.2　指数函数的图象和性质
二、知识讲解
　　为了得到指数函数 y＝ax (a>0，且 a≠1) 的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察．
x
y
－1.5
－2
－1
－0.5
0.5
0
1
1.5
2
0.35
0.71
1.41
2.83
表 4.2-2
x
y
O
图 4.2-4
-1
-2
-3
2
1
3
1
2
3
4
5
6
7
8
y＝2x
二、知识讲解


探究
二、知识讲解

y
x
O
y＝2x

P
P1
1
图 4.2-5
二、知识讲解
选取底数 a (a>0，且 a≠1) 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数 y＝ax (a>0，且 a≠1) 的值域和性质吗？
探究
二、知识讲解
　　如图 4.2-6，选取底数 a 的若干值，用信息技术画图，发现指数函数 y＝ax的图象按底数 a 的取值，可分为 01 两种类型．因此，指数函数的性质也可以分 01 两种情况进行研究．
y
x
O
y＝2x

1
图 4.2-6
y＝3x
y＝4x


二、知识讲解
　　一般地，指数函数的图象和性质如表 4.2-3 所示．
x
y
O
y＝1
y＝ax
(0，1)
x
y
O
y＝1
y＝ax
(0，1)
定义域
图象
值域
性质
（2）减函数
（1）过定点 (0，1)，即 x＝0 时，y＝1
（2）增函数
(0，＋∞)
R
0a>1
表 4.2-3
二、知识讲解

二、知识讲解
例4　如图 4.2-7，某城市人口呈指数增长．
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从 80 万人开始，经过 20 年会增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期．（2）要计算 20 年后的人口数，关键是要找到 20 年与倍增期的数量关系．
x/年
y/万人
20
O
10
30
40
50
60
70
80
20
10
30
40
50
60
70
80
图 4.2-7
三、小结
图象
指数函数
概念
性质

四、练习

四、练习

四、练习
y
x
O
1
y＝3x


四、练习
5．体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图．
答案：可用指数函数 S＝S0at 来刻画体内癌细胞数量 S 随时间 t 变化的规律，其中初始量 S0>0，增长比例 a>1，t≥0．
四、练习
S
t
O
S0
S＝S0at
谢谢观看