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章末综合测评(二) 一元二次函数、方程和不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为( )
A．f(x)>g(x) B．f(x)＝g(x)
C．f(x)
A [因为f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以f(x)>g(x)．]
2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
D [法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验，可知D正确．
法二：m＋n＜0 m＜－n n＜－m，又由于m＜0＜n，
故m＜－n＜n＜－m成立．]
3．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A [若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，④错，故选A.]
4．不等式|x|(1－2x)＞0的解集为( )
A．(－∞，0)∪ B.
C. D.
A [当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x(1－2x)＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪，故选A.]
5．已知＋＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
D [∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.
当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号．]
6．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为( )
A. B.
C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2或x＞1}
A [由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．
由根与系数的关系得
∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0.
解得－1＜x＜.]
7．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A>B
C．AB [∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，
即B≤2，∴A>B.]
8．不等式组的解集为( )
A．{x|－4≤x≤－3} B．{x|－4≤x≤－2}
C．{x|－3≤x≤－2} D．
A [
－4≤x≤－3.]
9．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
A [设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝，∴费用之和为y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．]
10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则( )
A．T>0 B．T<0
C．T＝0 D．T≥0
B [法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，
则T＝－<0，排除A，C，D，可知选B.
法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，
不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝＋＋＝＝＝.
∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0.]
11．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是{x|－4≤x≤3}的子集，则实数a的取值范围是( )
A．－4≤x≤1 B．－4≤x≤3
C．1≤x≤3 D．－1≤x≤3
B [原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为{x|a≤x≤1}，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为{x|1≤x≤a}，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3.综上可得－4≤a≤3.]
12．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2D [∵x>0，y>0，
∴＋≥8.
若＋>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解之得－4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
[方程x2－ax－b＝0的根为2,3.根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6.所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得解集为.]
14．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
a＜0＜b [若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.]
15．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是________．
[对于x2＋3xy－1＝0可得y＝·，
∴x＋y＝＋≥2＝(当且仅当x＝时等号成立)．]
16．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．
20 [由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以xmin＝20.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|2≤x＜5}，C＝{x|x＞a}．
(1)求A∩( UB)．
(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．
[解] (1)A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，
且B＝{x|2≤x＜5}，U＝R，
所以 UB＝{x|x＜2或x≥5}，
所以A∩( UB)＝{x|－1≤x＜2}．
(2)由A∪C＝C，得A C，
又C＝{x|x＞a}，A＝{x|－1≤x≤3}，
所以a的取值范围是a＜－1.
18．(本小题满分12分)若x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
[解] 由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，
∴＋＝1.∵x、y为正实数，
∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
＝10＋2≥10＋2×2×＝18，
当且仅当＝，即x＝2y时，取等号．
又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6.
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取得最小值18.
19．(本小题满分12分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解] (1)因为ax2＋2ax＋1≥0，恒成立．
①当a＝0时，1≥0恒成立；
②当a≠0时，则
解得0综上，a的取值范围为0≤a≤1.
(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.
因为0≤a≤1，
所以①当1－a>a，
即0≤a<时，
a②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；
③当1－a1－a综上所述，当0≤a<时，解集为{x|a＜x＜1－a}；
当a＝时，解集为 ；
当20．(本小题满分12分)某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p＞q＞0，
方案 第一次(提价) 第二次(提价)
甲 p% q%
乙 q% p%
丙 (p＋q)% (p＋q)%
经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？
[解] 设商品原价为a，设按甲、乙、丙三种方案两次提价后价格分别为N甲、N乙、N丙，则
N甲＝a(1＋p%)(1＋q%)，
N乙＝a(1＋q%)(1＋p%)，
N丙＝a
＝a2.
显然甲、乙两种方案最终价格是一致的，因此，只需比较a2与a(1＋p%)(1＋q%)的大小．
N甲－N丙＝a1＋＋＋－1－－
＝(2pq－p2－q2)
＝－(p－q)2＜0.
∴N丙＞N甲，
∴按丙方案提价比甲、乙方案提价幅度大．
21．(本小题满分12分)已知函数y＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式(2)设x>a时，y＝有最小值为6，求a的值．
[解] (1)∵y＝，整理得(ax＋3)(x－a)<0.
当a>0时，(x－a)<0，
∴解集为；
当a<0时，(x－a)>0，
解集为.
(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，
∴y＝
＝t＋＋2a
≥2＋2a
＝2＋2a.
当且仅当t＝，
即t＝时，等号成立，
即y有最小值2＋2a.
依题意有2＋2a＝6，
解得a＝1.
22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
[解] (1)y＝＝≤＝≈11.08.
当v＝，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64.
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64这个范围内．
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章末综合测评(二) 一元二次函数、方程和不等式
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为( )
A．f(x)>g(x) B．f(x)＝g(x)
C．f(x)2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
3．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：
①若a>b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b，则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d，则ac>bd.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．不等式|x|(1－2x)＞0的解集为( )
A．(－∞，0)∪ B.
C. D.
5．已知＋＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为( )
A. B.
C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2或x＞1}
7．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )
A．A≥B B．A>B
C．A8．不等式组的解集为( )
A．{x|－4≤x≤－3} B．{x|－4≤x≤－2}
C．{x|－3≤x≤－2} D．
9．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5 km处 B．4 km处
C．3 km处 D．2 km处
10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则( )
A．T>0 B．T<0
C．T＝0 D．T≥0
11．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是{x|－4≤x≤3}的子集，则实数a的取值范围是( )
A．－4≤x≤1 B．－4≤x≤3
C．1≤x≤3 D．－1≤x≤3
12．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
14．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
15．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是________．
16．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|2≤x＜5}，C＝{x|x＞a}．
(1)求A∩( UB)．
(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．
18．(本小题满分12分)若x，y为正实数，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
19．(本小题满分12分)已知ax2＋2ax＋1≥0恒成立．
(1)求a的取值范围；
(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
20．(本小题满分12分)某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案如下，其中p＞q＞0，
方案 第一次(提价) 第二次(提价)
甲 p% q%
乙 q% p%
丙 (p＋q)% (p＋q)%
经过两次提价后，哪种方案提价幅度大？
21．(本小题满分12分)已知函数y＝(x≠a，a为非零常数)．
(1)解不等式(2)设x>a时，y＝有最小值为6，求a的值．
22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
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