2022-2023学年北师大版数学九年级上册1.3正方形的性质与判定 同步达标测试题（解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．正方形有而矩形不一定有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．下列判断正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（，1）
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（　　）
A．16 B．17 C．18 D．19
7．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD边长为1．则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，P为边长为10的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF⊥CD于点F，连接EF，AP．给出以下4个结论：①AP＝EF； ②S△ABP＝S四边形BPFE；③AP+EF的最小值是5；④若∠BAP＝60°时，则EF的长度为1010．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共9小题，满分45分）
9．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的有　 　．①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的面积为 　 　．
11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离AE、CF分别是2cm、3cm，则线段EF的长为 　 　cm．
12．正方形ABCD，点P为正方形内一点，且满足PA＝3，PB＝2，PC＝5，则∠APB的度数为　 　度．
13．如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC的中点，G、H分别是边DC、AB上的动点，且GH⊥AE，连接AG、EH，则AG+EH的最小值为 　 　．
14．如图，正方形ABCD边长为2，F为BC上一动点，作DE⊥AF于E，连接CE．当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，DE的长为　 　．
15．如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠CEB和∠CFD都是直角且点C，E，F三点共线，BE＝2，则阴影部分的面积是 　 　．
16．如图，点E在正方形ABCD内，且EC＝BC，则∠BED＝　 　°．
17．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为6和2，点E，G分别在边BC，AB上，点H为DF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　．
三．解答题（共5小题，满分43分）
18．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．求证：
（1）△AHE≌△BEF；
（2）四边形EFGH是正方形．
19．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．
（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；
（2）求证：AE＝BE+DG．
20．如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于G，连接DG．
（1）求证：∠EDG＝45°．
（2）如图2，E为BC的中点，连接BF．
①求证：BF∥DE；
②若正方形边长为6，求线段AG的长．
（3）当BE：EC＝　 　 时，DE＝DG．
21．（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG＝4，GF＝6，BM＝3，求AG，MN的长．
22．已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
（探究建模）
（1）如图1，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线，求证：AE＝CF；
（类比应用）
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
B、正方形和矩形的对角线相等，故本选项错误；
C、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项错误；
D、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
故选：D．
2．解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，说法错误，不符合题意；
故选：B．
3．解：∵正方形ABCD的周长为8，
∴BC＝2，
又∵O是正方形对角线的交点，
∴O是BD的中点，
∵H是CD边的中点，
∴OH是△DBC的中位线，
∴OHBC＝1．
故选：D．
4．解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC＝∠ADO＝90°，
∴∠COE+∠ECO＝90°，
∵A的坐标为（1，），
∴AD，OD＝1，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∴∠AOD＝∠ECO，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE＝AD，CE＝OD＝1，
∴C（，1）．
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
6．解：如图，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB＝BC，DE＝DC，∠ABC＝∠D＝90°，
∴sin∠CAB＝sin45°，即ACBC，同理可得：BC＝CECD，
∴ACBC＝2CD，又AD＝AC+CD＝6，
∴CD＝2，
∴EC2＝22+22，即EC＝2；
∴S1的面积为EC2＝228；
∵∠MAO＝∠MOA＝45°，
∴AM＝MO，
∵MO＝MN，
∴AM＝MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3＝9，
∴S1+S2＝8+9＝17．
故选：B．
7．解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM+∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，
∴∠PEM＝∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN＝S△EPM，
∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC，
∵EC＝3AE，
∴EC，
∴EP＝PC，
∴正方形PCQE的面积，
∴四边形EMCN的面积，
故选：D．
8．解：连接PC，如图所示：
在正方形ABCD中，AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝45°，∠BCD＝90°，
又∵PB＝PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝CP，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∴AP＝EF，
故①选项符合题意；
∵△ABP≌△CBP（SAS），
∴△ABP的面积＝△CBP的面积，
在矩形PECF中，△PEC的面积＝△PFE的面积，
∴S△ABP＝S△BPE+S△PEC＝S四边形BPFE，
故②选项符合题意；
∵正方形ABCD的边长为10，
∴AB＝AD＝10，
根据勾股定理，得BD，
当AP⊥BD时，AP的值最小BD，此时P为BD的中点，
∵AP＝EF，
∴AP+EF的最小值为，
故③选项不符合题意；
过点P作PH⊥AB于点H，
则∠AHP＝90°，
∵BAP＝60°，
∴∠APH＝30°，
设AH＝x，则AP＝2x，
根据勾股定理，得PHx，
∵∠PBA＝45°，
∴∠BPH＝45°，
∴BH＝PHx，
∵AB＝10，
∴xx＝10，
解得x＝55，
∴AP＝2x＝1010，
∴EF＝1010，
故④选项符合题意，
综上，正确的有①②④，
故选：C．
二．填空题（共9小题，满分45分）
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确，
当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，
当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，
当AC＝BD时，它是矩形，故④错误，
故答案为：④
10．解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF＝BF′，∠DAF＝∠BAF′，
∴∠EAF′＝45°，
在△FAE和△EAF′中，
，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF＝EF′，
∵△ECF的周长＝DF+EB+CF+CE＝CD+CB＝8，
∴AD＝4，
∴正方形ABCD的面积为16．
故答案为：16．
11．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∵AE⊥l，CF⊥l，
∴∠E＝∠F＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠FBC+∠BCF＝90°．
∵∠ABE+∠ABC+∠FBC＝180°，
∴∠ABE+∠FBC＝90°，
∴∠EAB＝∠FBC．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE＝CF＝3cm，BF＝AE＝2cm，
∴EF＝BE+BF＝3+2＝5cm．
故答案为：5．
12．解：将△APB绕点B旋转90°得到△BP′C，则∠PBP′＝90°，BP＝BP′，AP＝P′C，∠APB＝∠CP′B，
∵PB＝2，
∴BP′＝2，
∴PP′＝4，∠BP′P＝45°，
∵PA＝3，PC＝5，
∴P′C＝3，
∵PP′2+P′C2＝42+32＝52＝PC2，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C＝90°，
∴∠BP′C＝∠BP′P+∠PP′C＝135°，
∴∠APB＝135°，
故答案为：135．
13．解：过点G作GM⊥AB于点M，交AE于点O，设AE与GH交于点N，取CD的中点P，作PQ⊥DC且PQ＝1，连接GQ
∵GH⊥AE，
∴∠AHN+∠HAN＝90°，
又∵∠HAN+∠AEB＝90°，
∴∠AHN＝∠AEB，
在△ABE和△GMH中，
，
∴△ABE≌△GMH（AAS），
∴MH＝BE＝1，
即AM+BH＝1，
∵DG+PG＝1，且AM＝DG，
∴PG＝BH，
在△HBE和△GPQ中，
，
∴△HBE≌△GPQ（SAS），
∴GQ＝EH，
即AG+EH＝AG+GQ，
当A、G、Q三点共线时AG+GQ最小，最小值为AQ，
故答案为：．
14．解：过C作CG⊥DE于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED＝90°，
∴AD＞DE，
∴CD＞DE，
当△CDE是以CD为腰的等腰三角形时，此时只能CD＝CE，
∵CG⊥DE，
∴EG＝DGDE，
∵∠ADE+∠CDG＝∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠CDG＝∠DAE，
∵∠AED＝∠CGD＝90°，
∴△AED≌△DGC（AAS），
∴AE＝DGDE，
设AE＝x，则DE＝2x，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∵AD＝2，
∴x2+（2x）2＝22，
解得：x，
∵x＞0，
∴x，
∴DE＝2x，
当F与B重合，则E与A重合，△CDE是以CD为腰的等腰三角形，此时DE＝AD＝2，
故答案为：或2．
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠CEB＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE+∠DCF＝90°，∠BCE+∠EBC＝90°，
∴∠EBC＝∠DCF，
在△BEC与△CFD中，
，
∴△BEC≌△CFD（AAS），
∴CF＝BE，EC＝DF，
∵BC＝5，BE＝2，
∴EC，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
16．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵CE＝CB，
∴CD＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CED＝∠CDE，
∴∠CEB（180°﹣∠BCE），∠CED（180°﹣∠DCE），
∴∠CEB+∠CED＝180°（∠BCE+∠ECE），
即∠BED＝180°∠BCD，
∴∠BED＝180°90°＝135°．
故答案为135°．
17．解：延长GH交AD的延长线于N，如图：
∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，
∴BE∥GF∥AD，GF＝BG＝2，AB＝AD＝6，
∴∠FGH＝∠N，GA＝4，
∵点H是DF的中点，
∴DH＝FH，
在△FGH和△CNH中，
，
∴△FGH≌△DNH（AAS），
∴GH＝HN，GF＝DN＝2，
∴AN＝AD+DN＝8，
∴GN4，
∴GHGN＝2，
故答案为：2．
三．解答题（共5小题，满分43分）
18．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝90°，
又∵AE＝BF＝DH＝CG，
∴AH＝BE＝CF＝DG，
∴△AHE≌△BEF（SAS）；
（2）在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝DG＝CF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），
∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，
∴∠EHA+∠GHD＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
19．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠F，
∴AE＝EF，
设CE＝x，则BE＝4﹣x，AE＝EF＝8﹣4+x＝4+x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝1，
∴CE＝1；
（2）如图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB，AB∥CD，
∴∠AGD＝∠EAF+∠BAE，
∵AF平分∠DAE，
∴∠EAF＝∠FAD，∠AGD＝∠FAD+∠BAE，
在△ABM和△ADG中，
，
∴△ABM≌△ADG（SAS），
∴∠M＝∠AGD＝∠FAD+∠EAB，∠MAB＝∠FAD，
∴∠M＝∠MAB+∠EAB＝∠MAE，
∴AE＝ME＝BE+MB＝BE+DG．
20．（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝DA．∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，
∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3＝∠4，
∴∠EDG＝∠3+∠2∠ADF∠FDC，
（∠ADF+∠FDC），
90°，
＝45°；
（2）①证明：如图2，∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，E为BC的中点，
∴CE＝EF＝BE，∠DEF＝∠DEC，
∴∠5＝∠6，
∵∠FEC＝∠5+∠6，
∴∠DEF+∠DEC＝∠5+∠6，
∴2∠5＝2∠DEC，
即∠5＝∠DEC，
∴BF∥DE；
②解：设AG＝x，则GF＝x，BG＝6﹣x，
∵正方形边长为6，E为BC的中点，
∴CE＝EF＝BE6＝3，
∴GE＝EF+GF＝3+x，
在Rt△GBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得x＝2，
即，线段AG的长为2；
（3）∵DE＝DG，∠DFE＝∠C＝90°，
∴点F是EG的中点，
在Rt△ADG和Rt△CDE中，，
∴Rt△ADG≌Rt△CDE（HL），
∴AG＝CE，
∴AB﹣AG＝BC﹣CE，
即BG＝BE，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴BF⊥GE，
∴BE：EF，
即BE：EC．
故答案为：．
21．解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE＝∠GAE．
同理，∠GAF＝∠DAF．
∴∠EAF∠BAD＝45°．
（2）MN2＝ND2+DH2．
∵∠BAM＝∠DAH，∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠HAN＝∠DAH+∠DAN＝45°．
∴∠HAN＝∠MAN．
在△AMN与△AHN中，
，
∴△AMN≌△AHN（SAS）．
∴MN＝HN．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°．
∴∠HDN＝∠HDA+∠ADB＝90°．
∴NH2＝ND2+DH2．
∴MN2＝ND2+DH2．
（3）如图①，连接BD，由（1）知，BE＝EG，DF＝FG．
设AG＝x，则CE＝x﹣4，CF＝x﹣6．
在Rt△CEF中，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102．
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去负根）．
即AG＝12．
在Rt△ABD中，BD12．
在（2）中，MN2＝ND2+DH2，BM＝DH，
∴MN2＝ND2+BM2．
设MN＝a，则a2＝（123a）2+（3）2．
即a2＝（9a）2+（3）2，
∴a＝5．即MN＝5．
22．（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠DCF＝90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴AE＝CF．
（2）解：猜想：EA+ECDE．
理由：如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠ADC＝90°，
∵DE⊥DF，AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠EDF＝90°，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∵∠DCF+∠DCE＝180°，
∴∠DAE＝∠DCF，
∴△DAE≌△DCF（AAS），
∴AE＝CF，DE＝DF，
∴EFDE，
∵AE+EC＝EC+CF＝EF，
∴EA+ECDE．