2022-2023学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定 同步达标测试题(word版含答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．8
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．
4．如图，四边形ABCD是矩形，∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，若AD＝4，AE＝10，则AB的长为（　　）
A．4.2 B．4.5 C．5.2 D．5.5
5．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD
6．如图，在矩形ABCD中，F是BC中点，E是AD上一点，且∠ECD＝30°，∠BEC＝90°，EF＝4cm，则矩形的面积为（　　）
A．16cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
7．如图，点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F，连接MD，MB．若DE＝2，EM＝5，则阴影部分的面积为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．14
8．如图，点E为矩形ABCD的边BC上的点，作DF⊥AE于点F，且满足DF＝AB．下面结论：①DE平分∠AEC；②△ADE为等腰三角形；③AF＝AB；
④AE＝BE+EF．其中正确的结论有多少个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为　 　．
10．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝　 　度．
11．如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为　 　．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若AC＝4，∠BAC＝30°，那么AE＝　 　．
13．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，BC＝6，则GH的长度为 　 　．
15．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，E是AD上一点，AE＝1，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，延长DA至点F，使得EF＝DA，连接BF，CF．
（1）求证：四边形BCEF是矩形；
（2）若AB＝3，CF＝4，DF＝5，求EF的长．
18．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠BAD＝135°，CD＝2，AB⊥AC，求对角线MN的长．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使OE＝OD，连接AE，CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）若OE＝2，求AB的长．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝1，求△OEC的面积．
21．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝BO＝CO，∠BAC＝∠ACD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果点E在边AB上，DE平分∠ADB，BDAB，求证：BD＝AD+AE．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝BO＝OD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴BD＝2AD＝4，
∴AB2，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝4，
故选：C．
3．解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x，
即DE；
故选：B．
4．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠1＝∠E．
又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠E．
∴BE＝BD．
∵AE＝10，
∴BD＝BE＝10﹣AB．
在直角△ABD中，AD＝4，BD＝10﹣AB，则由勾股定理知：AB．
∴AB＝4.2．
故选：A．
5．解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
6．解：∵F是BC中点，∠BEC＝90°，
∴EF＝BF＝FC，BC＝2EF＝2×4＝8cm，
∵∠ECD＝30°，
∴∠BCE＝90°﹣∠EBC＝90°﹣30°＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
过点E作EG⊥CF于G，
则EGEF4＝2cm，
∴矩形的面积＝8×216cm2．
故选：C．
7．解：作PM⊥AB于P，交DC于Q．
则有四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，
∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，
∵DE＝CF＝2，
∴S△DEM＝S△MFB2×5＝5，
∴S阴＝5+5＝10，
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，
∵DF＝AB，
∴DF＝CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝∠DFE＝90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴∠FED＝∠CED，
∴DE平分∠AEC；
故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AE＝AD，
∴△ADE为等腰三角形；
故②正确；
∵△ABE≌△DFA，
∴不存在AF＝AB，
故③错误；
∵△ABE≌△DFA，
∴BE＝FA，
∴AE＝AF+EF＝BE+EF．
故④正确．
故正确的结论有①②④，三个．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴AD3；
故答案为：3．
10．解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠CAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E＝30°，即∠E＝15°，
故答案为：15．
11．解：∵四边形ABDE是矩形，
∴∠BAE＝∠E＝90°，
∵∠ADE＝62°，
∴∠EAD＝28°，
∵AC⊥CD，
∴∠C＝∠E＝90°
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠EAD＝∠CAD＝28°，
∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，
故答案为：34°．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝2，
∵∠BAC＝30°，OE⊥AC，
∴AE＝2OE，
∵AE2﹣OE2＝AO2＝4，
∴OE，
∴AE＝2OE，
故答案为：．
13．解：延长GH交AD于M点，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，
∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH＝FH，
在△AMH和△FGH中，
，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM＝FG＝1，MH＝GH，
∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，
在Rt△MDG中，GM2，
∴GHGM，
故答案为：．
14．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB＝4，BC＝6，
∴AEAB4＝2，CFBC6＝3，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝3，CH＝PH，
∴AP＝AD﹣PD＝3，
∴PE，
∵点G是EC的中点，
∴GHEP
故答案为：．
15．解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OMCDAB＝2.5，
∵AB＝5，AD＝12，
∴AC13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BOAC＝6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，
故答案为：20．
16．解：过点P作PM∥FE交AD于M，如图，
∵F为AP的中点，PM∥FE，
∴FE为△APM的中位线，
∴AM＝2AE＝2，PM＝2EF，
当EF取最小值时，即PM最短，
当PM⊥AD时，PM最短，
此时PM＝AB＝3，
∵MD＝AD﹣AM＝4，
在Rt△PMD中，PD，
∴当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是5，
故答案为：5．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵EF＝DA，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形，
又∵CE⊥AD，
∴∠CEF＝90°，
∴平行四边形BCEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，
∵CF＝4，DF＝5，
∴CD2+CF2＝DF2，
∴△CDF是直角三角形，∠DCF＝90°，
∴△CDF的面积DF×CECF×CD，
∴CE，
由（1）得：EF＝BC，四边形BCEF是矩形，
∴∠FBC＝90°，BF＝CE，
∴BC，
∴EF．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC＝2OM，
∴MN＝AC，
∴平行四边形AMCN是矩形；
（2）解：由（1）得：MN＝AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝45°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝2，
∴MN＝2．
19．（1）证明：∵点O是AC中点，
∴AO＝CO，
又∵OE＝OD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）解：∵四边形ADCE为矩形，
∴OE＝AO＝2，
∵点O是AC中点，
∴AO＝2，AC＝4，
又∵AB＝AC，
∴AB＝4．
20．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OCAC，OB＝ODBD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝1，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OFCD，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝1，
∴△OEC的面积 EC OF．
21．证明：（1）在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴BO＝DO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AO＝BO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EF⊥BD于F，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵BDAB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB＝∠EFD＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴FE＝FB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠FDE，
在△ADE和△FDE中，
，
∴△ADE≌△FDE（AAS），
∴AD＝FD，AE＝FE，
∴AE＝FB，
∵BD＝FD+FB，
∴BD＝AD+AE．