2022-2023学年苏科版九年级数学上册第1章 一元二次方程 培优试题（含答案）

第1章《一元二次方程》培优试题2022-2023学年苏科版九年级数学上册
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．把方程化成一般式，则正确的是　　
A．， B．， C．， D．，
2．下列方程中，一元二次方程共有　　
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知是一元二次方程的一个根，那么　　
A．4 B．10 C． D．
4．一元二次方程配方后可化为　　
A． B． C． D．
5．用因式分解法解一元二次方程，可分解得　　
A． B．
C． D．
6．已知，则的值为　　
A．12 B．4 C． D．12或
7．多项式的最小值是　　
A．20 B．17 C．10 D．0
8．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是　　
A． B．
C． D．
9．关于的一元二次方程的两根，，满足，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
10．已知一元二次方程，嘉淇在探究该方程时，得到以下结论：
①该方程有两个不相等的实数根；②该方程有一个根为1；③该方程的根是整数；④该方程有一个根小于．则其中正确结论的序号为　　
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是　 　．
12．一元二次方程中，　 　，　 　，　 　．
13．若是方程的根，则代数式的值是 　 　．
14．写一个你喜欢的实数的值 　 　，使关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
15．若方程较小的根为，方程较大的根为，则　 　．
16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是 　 　．
17．若一元二次方程的两个根分别是与，则　 　．
18．已知是正整数，且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根，则的值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分66分，其中19题6分，20题10分，21、22、23、24、25每小题8分,26题10分）
19．当是何值时，关于的方程．
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程．
20．解一元二次方程：
（1）； （2）．
21．已知关于的一元二次方程．
（1）若，求此方程的解；
（2）当时，试判断方程的根的情况．
22．化简：并求值，其中是一元二次方程的解．
23．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值．
24．仔细阅读下面例题，解答问题：
例：若，求和的值．
解：，
，
，
，，
，，
请你利用上题解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若，求的值；
（2）已知，，是的三边长，满足，是中最短边的边长，且为整数，那么可能是哪几个数？
25．解方程，这是一个四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，
解得，．
当时，，；
当时，，．
原方程有四个根：，，，．
以上方法叫做换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用该方法解决下列问题：
直角三角形中两条直角边分别为，，且满足，求这个直角三角形的斜边长．
26．某公司投资新建了一商场，共有商铺40间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每上涨0.5万元，就要少租出1间．
（1）当每间商铺的年租金定为15万元时，能租出多少间？
（2）当租出的商铺为32间时，求该公司年租金？
（3）若该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用2万元，未租出的商铺每间每年交各种费用1万元．当每间商铺的年租金定为多少万元时，给公司的年收益（收益租金各种费用）为380万元？
第1章《一元二次方程》培优试题2022-2023学年苏科版九年级数学上册参考简答
一．选择题（共10小题）
1．． 2．． 3．． 4．． 5．． 6．． 7．． 8．．
9．． 10．．
二．填空题（共8小题）
11．　　． 12．　2　，　　，　　． 13．　2023　． 14． 　0　．
15．　2　． 16． 　7　． 17．　49　． 18． 　2　．
三．解答题（共8小题）
19．当是何值时，关于的方程．
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程．
【解】：（1）是一元二次方程，
，
解得；
（2）是一元一次方程，
， 解得．
20．解一元二次方程：
（1）； （2）．
【解】：（1），
，
，
，
，
则，；
（2），
，
，，
则，．
21．已知关于的一元二次方程．
（1）若，求此方程的解；
（2）当时，试判断方程的根的情况．
【解】：（1）把代入原方程得：，
整理得：，
分解因式得：，
解得：，；
（2）△，
，
方程有两个实数根．
22．化简：并求值，其中是一元二次方程的解．
【解】：原式
，
，
，
原式．
23．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值．
【解】：（1）根据题意得△，
解得；
（2）根据根与系数的关系得，，
，
，
解得．
24．仔细阅读下面例题，解答问题：
例：若，求和的值．
解：，
，
，
，，
，，
请你利用上题解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
（1）若，求的值；
（2）已知，，是的三边长，满足，是中最短边的边长，且为整数，那么可能是哪几个数？
【解】：（1），
变形得，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，，
，
，
是中最短边的边长，
，3，4．
25．解方程，这是一个四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，
解得，．
当时，，；
当时，，．
原方程有四个根：，，，．
以上方法叫做换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用该方法解决下列问题：
直角三角形中两条直角边分别为，，且满足，求这个直角三角形的斜边长．
【解】：设斜边为，
，是一个直角三角形两条直角边的长，
，
根据勾股定理得：，
即，
，
，
解得：或（舍去）．
则直角三角形的斜边长为．
26．某公司投资新建了一商场，共有商铺40间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每上涨0.5万元，就要少租出1间．
（1）当每间商铺的年租金定为15万元时，能租出多少间？
（2）当租出的商铺为32间时，求该公司年租金？
（3）若该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用2万元，未租出的商铺每间每年交各种费用1万元．当每间商铺的年租金定为多少万元时，给公司的年收益（收益租金各种费用）为380万元？
【解】：（1）（间．
答：当每间商铺的年租金定为15万元时，能租出30间．
（2）（万元）．
答：该公司年租金为14万元．
（3）设每间商铺的年租金为万元，则能租出间，未租出间，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当每间商铺的年租金定为15万元或16万元时，给公司的年收益（收益租金各种费用）为380万元．