人教A版（2019)高中数学必修第一册 5.4　三角函数的图象与性质课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
5.4　三角函数的图象
与性质
第五章　三角函数
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
一、上节回溯
公式二
圆的对称性
关于原点的对称性
关于 x 轴的对称性
关于 y 轴的对称性
公式三
公式四
公式五
公式六
关于直线 y＝x 的对称性

二、知识讲解
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
　　 在 [0，2π] 上任取一个值 x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值 sin x0 ，并画出点 T（x0，sin x0）？
？
思考
A


π
2π
x
x0
T（x0，sin x0）
y
B
M
x0
y0
1
－1
O
二、知识讲解

A


π
2π
x
y
O
1
－1
二、知识讲解
　　利用信息技术，可使 x0 在区间 [0，2π] 上取到足够多的值而画出足够多的点 T（x0，sin x0）．将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 y＝sin x ，x∈ [0，2π] 的图象．
二、知识讲解
　　 根据函数 y＝sin x ，x∈[0，2π] 的图象，你能想象函数 y＝sin x ，x∈R 的图象吗？
？
思考
　　由诱导公式一可知，函数 y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z 且 k ≠ 0 的图象与 y＝sin x ，x∈[0，2π] 的图象形状完全一致．因此将函数 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象不断向左、向右平移（每次移动 2π 个单位长度），就可以得到正弦函数 y＝sin x ，x∈R 的图象．
二、知识讲解
　　正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．


π
2π
x
y
O
1
－1

3π

4π


- π
- 2π

-3π

- 4π
y＝sin x ， x∈R
二、知识讲解

　　在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
？
思考
二、知识讲解

　　你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数图象？
？
思考
二、知识讲解
　　余弦函数 y＝cos x，x∈R 的图象叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．


π
2π
x
y
O
1
－1

3π

4π


- π
-2π

-3π

-4π
y＝sin x ， x∈R
y＝cos x ， x∈R
二、知识讲解
类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间 [－π，π] 上相应的五个关键点，将它们的坐标填入下表中，然后画出 y＝cos x，x∈ [－π，π] 的简图．
探究
二、知识讲解
例1　画出下列函数的简图：
（1）y＝1＋sin x ，x∈[0，2π]；（2）y＝－cos x，x∈[0，2π]．
解：（1）按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线链接起来：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1＋sin x 1 2 1 0 1


π
2π
x
y
O
1
－1
y＝sin x ， x∈ [0，2π]
2
y＝1＋sin x ， x∈ [0，2π]
二、知识讲解
解：（2）按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线链接起来：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－cos x －1 0 1 0 －1


π
y
2
y＝－cos x ， x∈ [0，2π]
1
O
－1
2π
x
y＝cos x ， x∈ [0，2π]
二、知识讲解
　　你能利用函数 y＝sin x ， x∈ [0，2π] 的图象，通过图象变换得到 y＝1＋sin x ， x∈ [0，2π] 的图象吗？同样地，利用函数 y＝cos x ， x∈ [0，2π] 的图象，通过怎样的图象变换得到函数 y＝－cos x ， x∈ [0，2π] 的图象？
？
思考
二、知识讲解
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质——周期性
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？
探究
　　观察正弦函数图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔 2π 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．
二、知识讲解
　　一般地，设函数 f (x) 的定义域为 D，如果存在一个非零常数 T ，使得对每一个 x＋T∈D，且
f (x＋T)＝f (x)
那么函数 f (x) 就叫做周期函数．非零常数 T 叫做这个函数的周期．
　　周期函数的周期不止一个．例如，2π，4π，6π，…以及－2π，－4π，－6π，…都是正弦函数的周期．事实上， k∈Z 且 k ≠ 0，常数 2kπ 都是它的周期．
　　如果在周期函数 f (x) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f (x) 的最小正周期．
二、知识讲解
　　正弦函数是周期函数， 2kπ（k∈Z 且 k ≠ 0）都是它的周期，最小正周期是 2π．
　　类似地，余弦函数也是周期函数， 2kπ（k∈Z 且 k ≠ 0）都是它的周期，最小正周期是 2π．
二、知识讲解

　　你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
？
思考
二、知识讲解
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质——奇偶性
　　观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称，这个事实，也可由诱导公式
sin(－x)＝－sin x ，cos (－x)＝cos x
得到．所以
　　正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
　　知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
？
思考
二、知识讲解
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质——单调性


π
y
1
O
－1
2π
x


二、知识讲解
　　sin x 的值的变化情况如表：
x 0 π
sin x －1 0 1 0 －1

二、知识讲解
　　类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如 [－π，π]）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入下表：
　　函数 y＝cos x ，x∈[－π，π] 在区间 [－π，0] 上单调递增，在区间 [0，π] 上单调递减．
　　余弦函数在每一个闭区间 [－π＋2kπ，2kπ] （k∈Z）上都单调递增，其值从－1 增大到 1 ；在每一个闭区间 [2kπ，π＋2kπ] （k∈Z）上都单调递减，其值从 1 减小到 －1 ．
二、知识讲解
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质——最大值与最小值

二、知识讲解
例3　下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量 x 的集合，并求出最大值、最小值．
（1） y＝cos x＋1，x∈R；（2） y＝－3sin 2x，x∈R．
解：这两个函数都有最大值、最小值．（1）使函数 y＝cos x＋1，x∈R 取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y＝cos x，x∈R 取得最大值的 x 的集合
{x｜x＝2kπ ，k∈Z}；
使函数 y＝cos x＋1，x∈R 取得最小值的 x 的集合，就是使函数 y＝cos x，x∈R 取得最小值的 x 的集合 {x｜x＝π＋2kπ ，k∈Z}．
函数 y＝cos x＋1，x∈R 的最大值是 2 ，最小值是 0．
二、知识讲解

二、知识讲解


二、知识讲解
5.4.3　正切函数的性质与图象——周期性

　　（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
　　（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
？
思考
二、知识讲解
5.4.3　正切函数的性质与图象——奇偶性

　　你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
？
思考
二、知识讲解


x
y
O
二、知识讲解

二、知识讲解


π
2π
x
y
O
1
－1



-π
- 2π

二、知识讲解
5.4.3　正切函数的性质与图象——单调性和值域

二、知识讲解

三、小结
图象
三角函数的图象与性质
性质
正弦曲线
余弦曲线
正切曲线
定义域、值域
周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值
1．方程 10sin x＝x 的根的个数是（　　）
A．5　　　　　B．6　　　　　C．7　　　　　D．8
答案：C．
四、练习

四、练习

四、练习

四、练习

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