黑龙江省齐齐哈尔市齐市第八高级中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题（含答案）

齐市第八高级中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试题
分值：150分时间：120分钟
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题四个选项中只有一个正确选项）
1.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知是上的偶函数，在上单调递增，且，则下列不等式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.若，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.或
C.或 D.
4.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，在堑堵中，，且，下列说法错误的是（ ）
A.四棱锥为“阳马”
B.四面体为“鳖臑”
C.四棱锥体积的最大值为
D.过A点作于点，过点作于点，则面
5.在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（ ）
A.等边三角形 B.钝角三角形
C.有一个角是的直角三角形 D.等腰直角三角形
6.若，则事件与的关系正确的是（ ）
A.事件与互斥 B.事件与对立
C.事件与相互独立 D.事件与既互斥又独立
7.新冠肺炎疫情发生以来，医用口罩成为抗疫急需物资.某医用口罩生产厂家生产三种不同型号的口罩，三种型号的口罩产量之比为.为了提高这三种口罩的质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.在样本中种口罩数量比种口罩数量多40只，比种口罩数量多80只，则（ ）
A.240 B.280 C.320 D.360
8.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢节日人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）.如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项正确选项，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9.下列说法正确的是（ ）
A.圆柱的侧面展开图是矩形
B.球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转所形成的曲面
C.直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台
D.圆柱 圆锥 圆台中，平行于底面的截面都是圆面
10.函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.图像的一条对称轴可能为直线
B.函数的解折式可以为
C.的图像关于点对称
D.在区间上单调递增
11.下列命题中是真命题的有（ ）
A.有三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为30
B.一组数据的平均数 众数 中位数相同
C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是甲
D.某一组样本数据为，则样本数据落在区间内的频率为
12.如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中（ ）
A.
B.和所成的角是
C.直线和平面所成的角是
D.如果平面平面，那么直线直线.
三 填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13.已知向量，若，则__________.
14.在四面体中，，且，则该四面体外接球的表面积为__________.
15.如图所示，已知在长方体中，，则和所成角的大小是，和BG所成角的大小是__________.
16.如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答过程应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（10分）已知复数为虚数单位.
（1）若，求的共轭复数；
（2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围
18.（12分）已知向量.
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
19.（12分）为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：
（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（2）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；
（3）已知学生成绩评定等级有优秀 良好 一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.
20.（12分）记的内角的对边分别为，已知__________.
在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求的大小；
（2）若的面积为，且，求的周长.
21.（12分）已知函数.
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）若函数在存在零点，求实数的取值范围.
22.（12分）在四棱锥中，，为正三角形，且平面平面.
（1）求二面角的余弦值；
（2）线段上是否存在一点，使得异面直线和所成的角的余弦值为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
开学考试答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A C A C A B ABD BC BD BCD
二、填空题
13. 14. 15.45°；60° 16.
三、解答题
17.（1）由
所以；
（2）由题意，复数，，
，
∵复数在复平面上对应的点在第一象限，
∴解得，
∴实数a的取值范围.
18.（1）因为（6，1），（，3），（2，2），
∴（6，1）+（，6） （2，2）=（0，5）.
（2）（10，5），（2 2k，2+3k），
∵，
∴10（2+3k） 5（2 2k）=0，
解得.
（3）与的夹角是钝角，
∴，且，
∵，
且，
解得且.
19.（1）本次考试成绩的平均数为.
（2）因为前3组频率之和为，前4组频率之和为，
所以第百分位数在第4组中，设为，
则，解得.
第百分位数是.
（3）第五组与第六组学生总人数为，
其中第五组有人，记为 ，第六组有人，记为 ，
从中随机抽取人的情况有： 共有种，
其中至少人成绩优秀的情况有种，
所抽取的人中至少人成绩优秀的概率.
20.解①选择①
由题意得.
得，
即.
选择②
由题意得，即.
所以.
即.
（2）由的面积.得.
由，得.
得，即.
故的周长为.
21.解：（1）对于函数6cosx（sinxcosx）sin2x﹣3
=3（sin2x cos2x）=3sin（2x），
故它的最小正周期为π.
令2xkπ，求得x，k∈Z，
故f（x）的对称轴方程为x，k∈Z.
（2）∵函数y=f（x）﹣a在存在零点，即sin（2x），在[，]上有解.
当x∈[，]，2x∈[0，]，sin（2x）∈[0，1]，
∴∈[0，1]，∴a∈[0，3].
22.（1）设是中点，为正三角形，
则，平面平面，
面，又∵，
，所以为正三角形，，
建立如图所示空间直角坐标系，则，
于是，，
（1）设平面的法向量为，
由得一个法向量为，
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，则
由图知为锐角，所以，二面角的余弦值为.
（2）设，则，
，
所以
解得或，所以存在点M为线段PC的三等分点.