有理数的混合运算（2）
1. 若规定“!”是一种数学运算符号,且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=
4×3×2×1=24,…,则的值为（ ）
A. B. 99! C. 9 900 D.2
2．若a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,且 m的绝对值为2,则的值是（ ）
A.9 B.5 C.9或5 D.－7
3．如果存在有理数a ,b使得,那么下列选项中一定正确的是（ ）
A. a＋b是正数 B.a－b是负数 C. a＋b 是正数 D. a－b 是负数
4. 若xy z 的值是负数,则下列各式的值一定是正数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 不超过的最大整数是________.
6. 已知有理数a,b 满足ab<0，| a| >|b|,2(a+b)= |b—a|,则的值为_____.
7. 已知依据上述规律，则第n个等式=__________________=_________
8.观察下列各式：
根据上式观察计算：
9、符号“f”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下:
(1) f(1)=0,f(2)=1, f(3)=2, f(4)=3 , …;
(2) f()=2，f()=3，f ()=4，()=5….
利用以上规律计算:f ( 2021)－f()=________.
10. 2022减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，依次类推，一直到最后减去余下的，则最后的得数是________.
11.若规定一种新运算:a b=(a＋b)(a －ab+b ),则______.
12.“二十四点”的游戏规则如下:任取四个1至13之间的自然数,将这四个自然数(每个数都要用且只能用一次)进行加减乘除四则运算,使其结果等于24.例如对1,2,3,4可作如下运算:(1＋2＋3)×4=24[上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算].现有四个有理数3,4，－6,10,运用上述规则写出四种不同的运算式(可以使用括号)使其结果等于24.运算式如下:
（1）________________________________________________;
（2）________________________________________________;
（3）________________________________________________;
（4）________________________________________________;
另有四个有理数3,—5,7,—13,可通过运算式
（5）________________________________________________;使其结果等于24.
13. 如图是一个数值转换器,则当输入的x与y满足时，输处的结果为________.
14. 定义a*b=3a－b,a b=b－a .现有下列结论:①3* 2=11;②2 （－1）= －5;
③;④若a*b=b* a,则a=b.其中结论正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15.【概念学习】
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作,读作“2的圈3次方”, (－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作,读作“－3的圈4次方”,一般地,把 (a≠0)记作,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：=______.=________.
（2）关于除方,下列说法错误的是（ ）
A. 任何非零数的圈2次方都等于1
B. 对于任何正整数n, =1
C. =
D. 负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢
(1）试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
=______; =______; =______.
(2〉想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________.
(3)算一算:24÷2 ＋(－16)×.
16. 在1,2,…,2 019这2019个数的前面任意添上正号或负号,使所得的和为非负数,求这个非负数的最小值.
17. 在1,2,3,4,… ,n这n个数的前面任意添上正号或负号,使所得的和为非负数,求这个非负数的最小值.
18. 下面是按一定规律排列的一列数:
第1个数为；
第2个数为;
第3个数为;
…
第n个数为;
那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是（ ）
A. 第10个数 B. 第11个数 C. 第12个数 D. 第13个数
19. 观察下列两个等式:,给出如下定义:使等式a－b=ab＋1成立的一对有理数a ,b称为“共生有理数对”,记为(a ,b),如数对都是“共生有理数对”.
(1)数对(﹣2,1)，(3,)中是“共生有理数对”的是________;
(2)若数对(a ,3)是“共生有理数对”,则a的值为________;
(3)若数对(m,n)是“共生有理数对”,则数对(﹣n，﹣m)______“共生有理数对”(填“是”或“不是”);
(4)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为________.有理数的混合运算（2）
1. 若规定“!”是一种数学运算符号,且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=
4×3×2×1=24,…,则的值为（ ）
A. B. 99! C. 9 900 D.2
答案：C
【解析】原式=
2．若a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,且 m的绝对值为2,则的值是（ ）
A.9 B.5 C.9或5 D.－7
答案：D
3．如果存在有理数a ,b使得,那么下列选项中一定正确的是（ ）
A. a＋b是正数 B.a－b是负数 C. a＋b 是正数 D. a－b 是负数
答案：D
4. 若xy z 的值是负数,则下列各式的值一定是正数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
5. 不超过的最大整数是________.
答案：﹣4
6. 已知有理数a,b 满足ab<0，| a| >|b|,2(a+b)= |b—a|,则的值为_____.
答案：
7. 已知依据上述规律，则第n个等式=__________________=_________
答案：，
8.观察下列各式：
根据上式观察计算：
答案：
【解析】根据题意可知，原式====
9、符号“f”表示一种运算,它对一些数的运算结果如下:
(1) f(1)=0,f(2)=1, f(3)=2, f(4)=3 , …;
(2) f()=2，f()=3，f ()=4，()=5….
利用以上规律计算:f ( 2021)－f()=________.
答案：﹣1
【解析】由题中运算，得f(2)－f()=1－2=﹣1；f(3)－f()=2－3=﹣1；f(4)－f()=3－4=﹣1；f(5)－f()=4－5=﹣1；…依次类推，得f(n)－f()=﹣1,则f ( 2021)－f()=﹣1
10. 2022减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，依次类推，一直到最后减去余下的，则最后的得数是________.
答案：1
【解析】根据题意得，
11.若规定一种新运算:a b=(a＋b)(a －ab+b ),则______.
答案：
12.“二十四点”的游戏规则如下:任取四个1至13之间的自然数,将这四个自然数(每个数都要用且只能用一次)进行加减乘除四则运算,使其结果等于24.例如对1,2,3,4可作如下运算:(1＋2＋3)×4=24[上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算].现有四个有理数3,4，－6,10,运用上述规则写出四种不同的运算式(可以使用括号)使其结果等于24.运算式如下:
（1）________________________________________________;
（2）________________________________________________;
（3）________________________________________________;
（4）________________________________________________;
另有四个有理数3,—5,7,—13,可通过运算式
（5）________________________________________________;使其结果等于24.
答案：（1）3×[4＋10＋(﹣6)]= 24
（2）10－4－3×(﹣6)=24
（3）3×(10－4) －(﹣6)=24
（4）4－(﹣6)÷3×10=24
（5）[(﹣5)×(﹣13)＋7]÷3=24
13. 如图是一个数值转换器,则当输入的x与y满足时，输处的结果为________.
答案：1.5
14. 定义a*b=3a－b,a b=b－a .现有下列结论:①3* 2=11;②2 （－1）= －5;
③;④若a*b=b* a,则a=b.其中结论正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
15.【概念学习】
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方,如2÷2÷2,(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作,读作“2的圈3次方”, (－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作,读作“－3的圈4次方”,一般地,把 (a≠0)记作,读作“a的圈n次方”.
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：=______.=________.
（2）关于除方,下列说法错误的是（ ）
A. 任何非零数的圈2次方都等于1
B. 对于任何正整数n, =1
C. =
D. 负数的圈奇数次方结果是负数,负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢
(1）试一试:仿照上面的算式,将下列运算结果直接写成幂的形式.
=______; =______; =______.
(2〉想一想:将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________.
(3)算一算:24÷2 ＋(－16)×.
答案：【初步探究】（1），﹣8；（2）C
【深入思考】（1）；（2）
（3）原式=
16. 在1,2,…,2 019这2019个数的前面任意添上正号或负号,使所得的和为非负数,求这个非负数的最小值.
答案：0
【解析】首先确定所求和的最小非负数值的下限﹐然后通过构造法证明这个下限存在即可.整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是0.由于任意添正号或负号,形式多样,因此不可能一一尝试再作解答﹐故从奇偶性质入手.
因为a＋b与a－b的奇偶性相同,所以所求代数和的奇偶性与1＋2＋3＋…＋2019= =2019×1 010的奇偶性相同,即为偶数,所以所求和的最小非负数值可能为0.又因为(1＋2－3)＋(4－5－6＋7)＋(8－9－10＋11) ＋…＋(2 016－2017—2018＋2019)=0,所以所求和的最小非负数值为0.
17. 在1,2,3,4,… ,n这n个数的前面任意添上正号或负号,使所得的和为非负数,求这个非负数的最小值.
答案:当1＋2＋3＋4＋…＋n的结果为奇数时,任意添上正号或负号,其和的最小非负数值是1;当1＋2＋3＋4＋…＋n的结果为偶数时,任意添上正号或负号,其和的最小非负数值是0.
18. 下面是按一定规律排列的一列数:
第1个数为；
第2个数为;
第3个数为;
…
第n个数为;
那么,在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中,最大的数是（ ）
A. 第10个数 B. 第11个数 C. 第12个数 D. 第13个数
答案：A
【解析】本题属于找规律题,比较的是有限项的数的大小,故可通过计算确定,也可先确定规律后解答.
方法一：==；
同理，，，所以第10个数最大.
19. 观察下列两个等式:,给出如下定义:使等式a－b=ab＋1成立的一对有理数a ,b称为“共生有理数对”,记为(a ,b),如数对都是“共生有理数对”.
(1)数对(﹣2,1)，(3,)中是“共生有理数对”的是________;
(2)若数对(a ,3)是“共生有理数对”,则a的值为________;
(3)若数对(m,n)是“共生有理数对”,则数对(﹣n，﹣m)______“共生有理数对”(填“是”或“不是”);
(4)请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为________.
答案：；（3）是；（4）答案不唯一，如
【解析】本题属于新定义型题型﹐只要理解“共生有理数对”的性质是a－b=ab＋1就能解答问题.
(1)因为﹣2－1=﹣3,( ﹣2)×1＋1=﹣l,所以﹣2－1≠(﹣2)×1＋1,所以数对(﹣2,1)不是“共生有理数对”;
因为3－ ==3×+1,所以数对(3, )是“共生有理数对”.
(2)根据题意,得a－3=3a＋1,解得a=﹣2.
(3)因为(m,n)是“共生有理数对”,所以 m－n=mn＋1,所以(﹣n) －(﹣m)=m－n=mn＋1=(﹣n)(—m)＋1,所以(﹣n, ﹣m)是“共生有理数对”.
