2022-2023学年人教版九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习题(word版含答案)

2022-2023学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．抛物线y＝x2﹣2x﹣1的图象与x轴交点有（　　）
A．两个交点 B．一个交点 C．无交点 D．无法确定
2．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（　　）
A．a＞0，Δ＞0 B．a＞0，Δ＜0 C．a＜0，Δ＜0 D．a＜0，Δ＞0
3．根据下表中关于二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图象与x轴（　　）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣1 ﹣2 …
A．只有一个交点 B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧 D．无交点
4．抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A、B，点P在抛物线上，若△PAB的面积为27，则满足条件的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是（　　）
A．1 B．2 C．0 D．不能确定
二．填空题
6．已知抛物线y＝x2﹣6x+a与坐标轴有两个公共点，则a的值是　 　．
7．抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴有　 　个交点．
8．如图，已知：一次函数图象y1＝kx+d与x轴交于点（m，0），与y轴交于（0，4），二次函数y2＝ax2+bx+c图象与x轴交于点（s，0）和（n，0），与y轴交于（0，6），且两个函数图象交点的横坐标分别为p、t，则y3＝ax2+（b﹣k）x+2的图象与x轴的交点坐标是　 　．
三．解答题
9．已知二次函数y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其中点A的坐标为（﹣1，0），AB＝4．求该二次函数的表达式．
10．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A（﹣3，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和点B坐标；
（2）结合图象回答，当y＞0时，自变量x的取值范围．
11．若抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，且该抛物线经过点（3，0）．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为　 　．
（3）若方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，则n的取值范围为　 　．
12．已知y关于x的二次函数图象经过点（0，﹣6），顶点坐标为（﹣1，﹣8）．
（1）求此二次函数的表达式．
（2）求此函数图象与x轴交点坐标，并直接写出当x取什么值时，y＜0？
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的函数解析；
（2）P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限内时，求线段PM长度的最大值．
14．抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求：
（1）A，B两点的坐标；
（2）抛物线的解析式．
15．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，顶点为D，交y轴于C．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在着一点M使得MA+MC的值最小，若存在求出M点的坐标．
16．已知二次函数y＝x2﹣mx+m﹣1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值和最小值．
17．已知：二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若图象经过原点，求二次函数的解析式．
18．如图，二次函数y＝ax2+4x+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，5）
（1）求二次函数的解析式，并求出当x＝1时的函数值．
（2）连接BC，AC，得到△ABC，现将抛物线图象只向下平移m个单位，使得顶点落在△ABC内部（不包括边界），请写出m的取值范围．
19．利用二次函数的图象求一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的近似根．
20．一元二次方程x2+7x+9＝1的根与二次函数y＝x2+7x+9的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来．
参考答案
一．选择题
1．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象与x轴有2个交点，
故选：A．
2．解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；
则a＞0且Δ＜0．
故选：B．
3．解：根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x＝0，x＝2时，y的值都等于﹣＜0，
又根据二次函数的图象对称性可得：x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值﹣2，
再根据表中的数据，可以判断出y＝0时，x＜﹣1或x＞2，
因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．
故选：B．
4．解：∵抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于点A、B两点．
∴0＝x2﹣4x﹣5，
∴x1＝﹣1，x2＝5，
∴AB＝5﹣（﹣1）＝6，
∵△PAB的面积为27，
∴点P的纵坐标的绝对值为2×27÷6＝9，
①当纵坐标为9时，
x2﹣4x﹣5＝9，
x2﹣4x﹣14＝0，
Δ＞0，
∴在抛物线上有2个点；
②当纵坐标为﹣9时，
x2﹣4x﹣5＝﹣9，
Δ＝0，
∴在抛物线上有1个点；
∴满足条件的点P有3个，故选：C．
5．解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点
△＝（﹣m）2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4
∵（m﹣2）2一定为非负数
∴（m﹣2）2+4＞0，
∴该抛物线与x轴有2个不同的交点，
∴二次函数y＝x2﹣mx+m﹣2（m为实数）的零点的个数是2．
故选：B．
二．填空题
6．解：当过原点时，可得a＝0，满足条件；
当不过原点时，
∵抛物线y＝x2﹣6x+a与坐标轴有两个公共点，
∴抛物线与x轴只有一个公共点，
∴x2﹣6x+a＝0有两个相等的实数根，
∴△＝36﹣4a＝0，解得a＝9，
综上可知a的值为0或9，
故答案为：0或9．
7．解：设y＝0
则0＝x2﹣4x﹣5
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣5）＝16+20＞0
∴方程有两个不相等实数根
则抛物线y＝x2﹣4x﹣5与x轴有两个交点
故答案应为：两
8．解：∵一次函数图象y1＝kx+d与x轴交于点（m，0），与y轴交于（0，4），
∴y1＝kx+4，
∵y2＝ax2+bx+c，与y轴交于（0，6），
∴y2＝ax2+bx+6，
当y1＝y2时，ax2+bx+c＝kx+4，
∴ax2+（b﹣k）x+2＝0，
∵两个函数图象交点的横坐标分别为p、t，
∴x1＝p，x2＝t，
∴y3＝ax2+（b﹣k）x+2的图象与x轴的交点坐标是（p，0）和（t，0）；
故答案为：（p，0）和（t，0）．
三．解答题
9．解：∵点A的坐标为（﹣1，0），AB＝4，点A在点B左侧，
∴B的坐标为（3，0），
将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝﹣x2+mx+n得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
10．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝x2+2x﹣3＝0，
得x＝﹣3或1，
∴B的坐标为（1，0）；
（2）∵A（﹣3，0），B（0，1），
∴由图可得，当y＞0时，自变量x的取值范围为：x＜﹣3或x＞1．
11．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∵抛物线经过点（3，0）．
∴9a+3b﹣3＝0，
把b＝﹣2a代入得9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，
∴b＝﹣2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴x＝1时，y有最小值﹣4，
当x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5，
∴当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为﹣4≤y≤5；
（3）当直线y＝n与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4有交点时，方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，
∴n≥﹣4．
故答案为﹣4≤y≤5，n≥﹣4．
12．解：（1）设二次函数表达式为：y＝a（x+1）2﹣8
把（0，﹣6）代入得：a﹣8＝﹣6，解得a＝2，
∴二次函数表达式为y＝2（x+1）2﹣8，
即y＝2x2+4x﹣6；
（2）解方程2x2+4x﹣6＝0得x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）
当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
13．解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝，PM有最大值．
14．解：（1）当y＝0时，mx2﹣4m＝0，即x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（2，0）；
（2）当x＝0时，y＝mx2﹣4m＝﹣4m，
∴C（0，﹣4m），
∵OA＝2，
∴OC＝2OA＝4，
∴|﹣4m|＝4，解得m＝1或m＝﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4．
15．解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x+3），
即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，则C（0，3），
连接BC交直线x＝﹣1于M，如图，
∵点A与点B关于直线x＝﹣1对称，
∴MA＝MB，
∴MA+MC＝MB+MC＝BC，
∴此时MA+MC的值最小，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，
∴满足条件的M点的坐标为（﹣1，2）．
16．解：（1）由题意二次函数图象与x轴只有一个公共点．
则方程x2﹣mx+m﹣1＝0有两个相等的实数解，
所以△＝m2﹣4（m﹣1）＝0．
解得m＝2；
所以该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+1，
（2）因为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
当0≤x≤3时，x＝1，y有最小值0；x＝3，y有最大值4，
所以y的最大值为4，最小值为0．
17．（1）证明：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0
∴无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点，
（2）解：把（0，0）代入y＝x2﹣mx+m﹣2得m﹣2＝0，解得m＝2，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x．
18．解：（1）将（﹣1，0）和（0，5）代入y＝ax2+4x+c得，解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+4x+5；
当x＝1时，y＝﹣1+4+5＝8；
（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9
∴抛物线的顶点坐标为（2，9），
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则B（5，0）
易得直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝2时，y＝﹣x+5＝3，
∴抛物线图象只向下平移m个单位，使得顶点落在△ABC内部（不包括边界）时m的范围为6＜m＜9．
19．解：方程x2﹣3x﹣6＝0根是函数y＝x2﹣3x﹣6与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y＝x2﹣3x﹣6的图象，如图所示，
由图象可知方程有两个根，一个在﹣2和﹣1之间，另一个在4和5之间．
先求﹣2和﹣1之间的根，
当x＝﹣1.4时，y＝0.16；当x＝﹣1.3时，y＝﹣0.41；
因此，x＝﹣1.4是方程的一个近似根，
同理，x＝4.4是方程的另一个近似根．
故一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的近似根为x＝﹣1.4或4.4．
20．解：一元二次方程x2+7x+9＝1的根是二次函数y＝x2+7x+9图象中y＝1时，所对应的x的值；
当y＝1时，x2+7x+9＝1，
∴作出二次函数y＝x2+7x+9的图象如图，由图中可以看出，当y＝1时，x≈﹣5.6或﹣1.4，
∴一元二次方程x2+7x+9＝1的根为x1≈﹣5.6，x2≈﹣1.4．